Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Для конечных колебаний и при отсутствии вихрей в выше- указанном случае перемешения профиля волны без изменения своего вида траектории частиц будут более сложного характера, чем круги, Это будут незамкнутые кривые. Прп этом оказывается, что имеет место замечательное явление, а именно: при волновом движении рас- сматриваемого вида происходит (незначительный, правда) перенос жидкости в сторону перемещения профиля волны. Это обозначает, что если провести плоскость, перпендикулярную к направлению пере- мещения профиля волны (например, плоскость Оуг), то за большой промежуток времени через эту плоскость пройдет больше жидкости с одной стороны, чем с другой.
9 15. Трохоидвльиые волны Герстнера. Случай круговых тра- екторий отдельных частиц в волновом движении с коне<ной ампли- тудой был рассмотрен Герстнером и Ранкином. Из вышесказанного следует, что рассмотренные ими движения не были безвихревыми. Это уменьшает физический интерес полученного ими решения, так как в начале этой главы мы видели, что волновые движения идеаль- ной жидкости, обусловленные силами, имеюшими потенциал, непре- менно должны быть безвихревыии, Применим для решения рассматриваемой задачи переменные Ла- гранжа.
Направим ось Ох горизонтально, ось Оу вертикально вверх. Лаграпжевы координаты какой-либо частицы, т. е. параметры, отли- чаюшие одну частицу от другой, обозначим через а и д, Формулы 16.9) дифференцируя вдоль поверхности, написать д(о~ д'г~ !о~ — — я — -.— =О на линни О=О. дв оу Но ил+ге 1 М вЂ” — = — е, дм )о) так что де ми 0 ду ~о~ Поэтому мы получим , д~о! йэш0 ~ о , '— — — = О. до ~о~ С другой стороны, если А = — !и ) о И то 1 и 0 будут гармонически сопря жеиными функциями, так что дауду = — дб!дэ. Окончательно получим дв — =ее 'Мп0 при Ф=О.
дф Это нелинейное условие и принимается обычно в исследованиях волн кв вечной амплитуды в безвихревом случае, ТРОХОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ГЕРСТНЕРА 449 4 !б! дх дк да дЬ ду ду да дЬ 12(х, у) О(а, Ь) Иге сояЯа+аг) л)се" я!Е(Фа+а!) я!и(!ел+ а!) 1 — лгсе" соя(!еа аг !1+ Ь2)22 2ММ !12!се' + ) следовательно: Р ' ' — р (1 ь2!22е2ьь) Гу Г», у) 12(а, Ь) (1 5.2) не зависит от времени, а зто и выражает уравнение неразрывности в форме Лагранжа. Проверяем основные уравнения двиисення: (1 5.3) у у + р — о У нас Х=О, У= — с; умножая первое уравнение на 2!х, второе на г!у и складывая, получим: дьх д'у 1 х+ —, ау + ~ ду + — др = О.
дР дбь Р (15.4) Из (15.1) имеем: д'х — — )!атель я(п (Ьа + аг) = — а (х — '2) дьь дьу — = 12авеььсоя(йа + аг) = — а (у — Ь) дбь позтому д'» " ! — — а ((х — а) ь(х + (У вЂ” — ая ((х — а) и (х — и) '+ У цд,+(у — Ь) дд! = аь д)2! а'((х — п) и" + (у 29 з.ь ияо. наводят на мысль рассмотреть движение, в котором координаты х и у частицы, обладающей параметрами а и д, будут к моменту г: х = и + !Геьь я!и (ма+ аГ), (15.!) у = д — )»ель соя(йа+ аб). ) Проверим, выполняются ли основные уравнения движения !глава 11, (3.1) и (10.3)). Затем надо будет удовлетворить еще граничному условию; давление р на свободной поверхности должно равняться постоянной величине ре (атмосферному давлению). Прежде всего уравнение неразрывности (10.3) выполняется, ибо волновыв движания идеальной жидхости 1гл, уггт Но (х — а)'+ (у — Ь)2 = — )сгегаа, (х — а) а а + (у — Ь) 2(Ь = = гсеее а(п (й а + ат) г(а — гс еее сов (па + а() г(Ь = = — ---2((е" а соз (йа+ 22)1.
)р а' Итак: Дгх лгу 2 аг)122222 2212220 — Йс+ — 2)у = — 2( ( — — — соз (йа+ а() )(, аг дтг ( 2 а Поэтому уравнение (15.4) можно проинтегрпроватчл Р аг)сге™ь 22Кеьа — +ау— Р 2 + сов(/га+а() =С; а вставляя сюда аначение у, получим окончательно: Р аг2 22)Р22222 — = — дЬ+~у — — ) )те~асов(22а+аг)+ 2 + С, (15.5) Р так что уравнения (15.3) удовлетворяются.
если в них подставить найденное значение Р. На свободной поверхности жидкости давление должно быть все время постоянным, т. е. при всяком г должно быть р = Р„, значит, Ра I а22 агД22222 — ' = — ГГЬ+ 1П вЂ” — ) ггееа соз (да+ от) + —,— + С, а) 2 Так как время т входит только через косинус, то козффнциент при нем должен быть равен нулю: аг = 22Ь,, (15.
6) и тогда Ра агУЕ222 — '= — дь+, +с. 2 Таким образом, для частиц, составляющих свободную поверхность, параметр Ь должен иметь одно и то же значение. Мы предположим для простоты, что зто значение равно нулю, тогда Ра Π— +С р 2 вычитая это уравнение из (15.5), получим для определения давления Р формулу р Р Ра ~Ь ' (1 егее) 2 (15.7) Итак, если а определяется формулой аг = д)2, СВОЙСТВА ТГОХОИЛАЛЬНЫХ ВОЛН 451 эга! ох = — = )саееь сов(йа+ ас) = — а(у — д), дх дг О = д — — гтае~~ в(п (йа+аЬ)=а(х — а), ду (16.1) поэтому де дьх Г да дЬ 1 У да да2 22 = — 2 — — = а !11 — — +-1 — — ! =а(2 — — — — ), дх ду ) дх ду ~ (, дх ду)' Чтобы вычислить да/дх, проднфференцируем уравнения (16.1) по х, считая правые части сложными функциями от х и у: дх да дх дЬ ду да ду дЬ 1= — — + — —; 0= — — + — —.
да дх дЬ дх) да дх+дЬ дх' Решаем эти уравнения относительно да/дх: 1 дЬ ду О В(х, у) да ду дЬ ' 22(а, Ь) дх точно так же найдем: 22(х, у) дЬ дх 22(а, Ь) ду да ' поэтому дх ду — +— да дЬ да дЬ дх+ ду 22 (х, У) 1 Л2)22222ь 1'.2 (а, Ь) н, значит 2 1 22Ь22222е222 Я,=а 2 1 — Л2)!2е222 ! 1 Л 1122222 ' „,1 Вихрь получился отличным от нуля, следовательно, имеем дело с вихревым движением; иа формулы вилно, что на свободной поверхности вихрь наибольпшй, при стремлении же д к — со (что отвечает Улалению в глубь жидкости) вихрь стремится к нулю. Перейдем к исследованию полученного движения. На свободной "оверхностк жидкости Ь = О, следовательно: х = а + )т' в!и (Ьа -+ аТ), у = — Я соа (йа+ ат).
(16,2) то формулы (15.!) и (15.7) опрелеляют волновое движение, уловлетворяющее как точным дифференциальным уравнениям, так и условию на своболной поверхности. ф 16. Свойства трохонлальных волн. Покажем, что полученчое нами движение есть вихревое. Для этого вычислим вихрь скорости; для составляющих скоростк имеем: 452 волновые движюшя идалльиои жидкости !гл иги в а= —, а' получим: х = — 0+ /7 з(п О, у = — й соз 9. 1 л Как известно, зто суть уравнения гирохоиды, т. е. кривой, вычерчиваемой некоторой точкой круга, катящегося по прямой линии. В самом деле, рассмотрим качение без скольжения круга ралиуса 1//г по прямой, параллельной оси Ох и отстоящей от нее на расстоянии 1//г кверху (рис. 167). Если круг повернется на угол 9, то центр круга переместится на расстояние 00' = ЛВ = ВА = — 9, 1 л и потому каорлинаты точки М', в которую пергйлет точка Л, булут.
очевидно, как раз х = — — 9+/7 гйп О, ! а — /7 соз 9. Если /7 ( 1//г, то получается трохоида без петель, при /7 = 1/й поРис. 167. лучается циклоила (она имеет точку возврата первого рода), наконец, при В ) 1/л получается трохоида с петлями. Послелний случай, очевидно, физически невозможен. Итак, мы должны считать м ~ м/ мг ! /7 ~( —.
а ' Очевидно, профиль волны перемещается влево со скоростью с=!/т. Это было иллюстрировано рис. 159 9 6, на котором показан также способ получения профиля волны, очевидный из чертежа. В 9 6 такое движение частицы было исследовано. 5!ы видели, что каждая частица описывает окружность радиуса /7 в направлении против часовой стрелки (рис. 159), причем период вращения; = 2я/а, а скорость частицы равна Ва.
Две частицы с разными а будут находиться в одинаковой фазе, если разность углов /га + а/ будет равна 2п; эти две частицы отстоят лруг от друга на расстоянии Х = 2х//г, которое, очевилно. есть ллина волны. Профиль волны (пунктирная кривая рис. !59) в определенный момент времени представляется в параметрической форме уравнениями (16.2), причем параметром является а. Примем для простоты / =.
О; тогда, вводя угол 453 гнои> тпА тпохонллльных волн Сопоставим формулы, определяю>цие важнейшие элементы волны через длину волны >.; '2в Ь .: — ", й ггловая скорость вращений частиц: е= $/ периол волн: (16.3) Гг 2в>, 4' скорость распространения волн: Численные значения с и т в зависимости от б были даны в й 6. Возьмем теперь любое значение Ь < О. Если положить г = )сееб, то получается; х = а + г з1 и (/га + е1), у = Ь вЂ” г соэ 11ба+ е1), и, слеловательно, мы можем повторить все наши рассуждения. Частипы, > которых Ь олпо н то же, образуют трохоиду, перемещающуюся влево с той же скоростью с. Как мы знаем, давление во всех точках этой трохонды олно и то же, а именно: з бг/'>> р= р,— бд.Ь вЂ” — — — (1 — е ).
заб 2 Так как г = >с'е еб то радиусы окружностей, описываемых частицами, будут тем меньше, чем глубже лежит рассматриваемая частица. Вся картина движения прелата- Рис. 1Г>8. з.чается рнс. 168. Жирные линии представляют трохоиды, отвечаю>цие равностоящим значениям Ь (любая из этих трохоил является поверхностью уровня, т, е. поверхностью Равного лавлення, и может потому служить своболной поверхностью жидкости); радиусы кр>гов убывают поэтому в геометрической прогрессии; наконец, пунктирные линии представляют линии, на которых лежат частицы, имеющие одинаковые координаты а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
