Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Не так обстоит дело с потенциальной энергией, !(ак частица В, так и частица В' будут проходить через плоскость РО слева направо над уровнем СС', а справо налево под уровнем СС' и, следовательно, будут переносить потенциальную энергию, При этом очевидно, что потенциальная энергия будет перемешаться одновременно с формой волны, следовательно, со скоростью с. Так как потенциальная энергия равна половине полной энергии, то полная энергия будет перемещаться со скоростью с!2, а последняя скорость и есть как раз групповая скорость. ф 19. Волновое сопротивление. Движение тела под свободной поверхностью.
С вопросом о переносе энергии волнами тесно связан вопрос о волновом сопротивлении. Пусть, например, волны образуются позади корабля, перемещающегося со скоростью с, тогда скорость распространения этих волн будет равна с. Если энергию волн, приходящуюся на единицу длины, обозначить через Е, то каждую секунду у нас будет образовываться добавочное количество волновой энергии сЕ (так как за единицу времени корабль будет перемеша~ься на с единиц длины). Но часть этой энергии была пере- ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 461 ь 101 иессна волнами, ранее образовавшимися, з именно, з~н волны переносят через каждую плоскость в единицу времени количество энергии с с ОЕ=-;-Е.
Остающаяся часть энергии (с — (/)Е = — -„-Е должна была получиться за счет какого-то другого источника энергии, в данном случае за счет корабля, Итак, каждую единицу времени корабль производит работу сЕ/2, идущую на образование волн. А так как перемещение корабля в единицу времени равно с, то испытываемое им сопротивление Й определится по формуле сЕ с)с = †, , и значит, 2 Разберем вопрос о волновом сопротивлении несколько подробнее. Как всюду до сих пор, будем считать жидкость однородной, несжимаемой, идеальной и подверженной только действию силы тяжести, а движение жидкости будем считать безвихревым.
В этих предположениях определим вынужденные волны, возникающие прн движении тела с постоянной скоростью в горизонтальном направлении под свободной поверхностью жидкости, а тзкже сопротивление, испытываемое телом, которое называется волновым, так как в рассматриваемом случае вся затрачиваемая телом энергия идет на образование волн. Мы ограничимся при этом изучением случая плоской задачи и бесконечно глубокой жидкости, В этом случае очень удобно пользоваться комплексными переменными.
Поэтому целесообразно несколько изменить предыдущие обозначения. А именно, мы будем обозначать через Ох горизонтальную ось координат, лежащую на свободной поверхности жидкости, нахолящейся в состоянии равновесия, и через Оу — вертикальную ось, направленную вверх, Введем, кроме того, комплексную У переменную в= х+)у и комплексный потенциал скорости Рис. 171 ш = т + 'г'. Решим прея<де всего задачу о вьиужденных волнах, возникающих при движении вихря интенсивности Р, находящегося на глубине д под свободной поверхностью жидкости и движущегося с постоянной скоростью с параллельно положительной оси Ох (рис.
171). Как " и 7. нам удобнее будет рассматривать установившееся движение. получающееся при наложении на предыдущее течение равномерного течения в направлении отрицательной оси Ох со скоростью с. Ооозначая потенциал этого установившегося движения через )' = '1".Т-)Чг, будем имеетси ))г=ш — сг, Ф=су — сх, '1г=ф — су. (19. 2) 462 волновые движения идеальном жидкости !гл.ш!! В этом установившемся движении свободная граница жидкости Е служит одновременно и линией тока и линией постоянного давления. По формуле Бернулли мы имеем для давления р выражение 2 р = С вЂ” — р ( '+ о') — Иу; подставляя сюда выражения дФ дт дФ д о= — = — — с, о= — = —, дх дх ' т ду (19.3) легко получим: р = С вЂ” — рса-!- рс — — — я [ ~ вЂ~ + ~ †) ~ — рду, (19,4) Мы будем считать образующиеся волны столь малыми, чтобы можно было на линни 7 пренебречь квадратами составляющих скорости дт)дх и дртду в предыдущей формуле; тогда она примет вид Р=С рс +рс т — рА'у (19.5) !~ш е(х)=0, где у = а(х) есть уравнение свободной границы жидкости Е.
Тогда из равенства (1 9.5) ясно, что 1 ре= С вЂ” — рс, 2 2 и следовательно. на свободной линии 7. до.ажно выполняться равенство дй(х) = с дт, дт (1 9.б) Ввиду малости величины В, мы можем считать это равенство выполняющимся на оси Ох. Итак. мы получили граничное условие Ф(х) =с "',„". (19. 7) Второе условие мы получим, выразив, что линия Е есть линия тока для установившегося движения, так что нз линии Е имеет место равенство % =сопз1. Обозначим постоянное на линии 7. давление через )та и будем считать, что впереди перед вихрем, т. е. прн х — ь + со, жидкость не взволнована, т.
е. что при х — ь + оо величины д~/дх и д<р)ду стремятся к нулю и что ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ или, вследствие (19.2), ей=ф(х, 8). Исключая из (19.7) и (19,8) величину е, приходим к слелуюшему граничному условию для определенна функции тв(г): — = — о при у=О дт а дх с' дт при у=О (19.9) где для краткости введено обозначение (19.10) Вводя символ Рея для вещественной части комплексного числа и !та для мнимой части этого числа, будем иметь: дт дм дге — =Ке =!т! —; Ф=!Рою, дх дх дг ' и следовательно, условие (19.9) записывается в комплексной форме так: ды !т ~! — — тте) =О при у = О, дх (19. 11) Из этого условия вытекает, в частности, следующее; Фы дмт [п1 (! — —, — т — ! = О при у = О. мхе дг / (19.12) Как было сказано, функция сгю/с(х должна стремиться по модулю к нулю при х — ь+-ОО. Кроме того, пало, очевидно, считать ~дтс/с(л~ ограниченным при )В! †»ОО.
В том частном случае движения вихря, который мы сейчас рассматриваем, функция с(тс/с(а должна быть голоморфна во всей полу- плоскости у ( О, за исключением той точки, где находится вихрь. Пусть это будет точка г = — гл с координатами х = О, у = — — И. Около этой точки функция тс(х) должна иметь вид тс (л) = —,—. ! п (е + 18) + д (В). Г 2я! (19.13) Ваменяя в правой части этого равенства а через О, что можно сдедать вследствие малости 8, мы приходим ко второму граничному условию: сЬ=ф(х, О).
(1 9.8) 464 волиовыв движения идеальном жидкости !гл, чш где д(г) — голоморфная функция в окрестности точки з= —. И. Лля функции г(тлфг мы получили представление иге Г ! Пл 21ч а+И+6 ( )' Образуем теперь функцию Ле „Лн, у(г) =ю' — — ч —. иле Ле ' Г 1 ~( ) 2 (е+! )' — „+Л( ), (1914) где г,(г) — голоморфная функция в окрестности точки г = — И. Вследствие условия (19.! 2) функция у (я) принимает вещественные значения на вещественной оси независимого переменного я. Но тогда эта функция, заданная в полуплоскости у ( О, может быть аналитически продолжена в верхнюю полуплоскость у) О по принципу симметрии Шварца. А именно, значения функции у(з) в двух точках, симметричных относительно оси Ох, должны быть комплексно сопряженнымн„так что надо принять: (19.15) у (х.+ Еу) = г (х — (у). При этом получится функция, аналитическая уже во всей плоскости комплексного переменного г.
Эта функция имеет особенность в точке г= — И, определяемую формулой (19.14); кроме того, она будет иметь особенность в точке в = И, ибо из формул (19.14) и (19.15) вытекает, что в окрестности этой точки мы будем иметь представление 1, У (в) — — 2 „, + 2 '. —.-+ У1 (Я), показывающее, что точка я=И является для функции у(г) полюсом второго порядка. Никаких других особых точек на конечном расстоянии эта функция не имеет. Считая эту функцию голоморфной в окрестности бесконечно удаленной точки и обращающейся в нуль при я=со, мы приходим к следующему ее выражению: .
неге лге у'(г) =! — — — ч — = л'е' ле — — — — — — — (19,16) 2я ( +и) 2ю. е-(-ГЛ 2. ( — и) + 2 ! — и ' Эта функция голоморфна во всей полуплоскости у ( О, кроме точки я = — И, в окрестности которой мы имеем: ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 465 Общим решением одноро гного уравнения г(гнг г(ы — — — — О Ылг Лл является тв (л) = А+ Ве-'"'. Применяя для решения неоднородного уравнения (19.16) обычный метод вариации произвольных постоянных, считаем А н В функциями от л и приходим к следующим уравнениям для их определения: лА г( — + — е-'"=О, г(л г(л 1 и' \ в+И + (л — И)' л — И 2л 1 (л+ггш)г Считая функции А и В стремящимися к нулю, когда точка л уходит на бесконечность в направлении положительнои вещественной оси, что мы будем кратко обозначать символом л — э-)-ОО, легко получим, что 2лг,) ~ (М+ И)' (М вЂ” И)' Г+ гв Г:Гй ) Но интегрирование по частям дает формулы г г г ег ги ~-г» Ьгг "озтому после очень простых вычислении находим следующую фор- мулу для определения комплексного потенциала: л енг "'"егко проверить, что Вто выражение комплексного потенциала удовлетворяет всем поставленным требованиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
