Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Это показывает, что волны рассматриваемого нами типа могут существовать только в том случае, если более легкая жидкость лежит над бо.чее тяжелой; в противном случае амплитуда каждого малейшего возмущения будет сильно возрастать, т. е. основное движение обеих жидкостей будет неустойчиво, Но даже при р) о' для некоторых длин волн будет неустойчивость основного движения. Предположим для простоты, что обе жидкости будут очень глубоки, так что можно принять с(п)гл.= 1 и с(п М' =- 1; тогда уравнение для определения с примет вид р (с — У)з -(- о' (с — У ')з = (~ л и легко может быть решено ри+а'и' „, /(ри+р'Гт,' рУ'+р'У" + (, р)л з+р — ~г ~ р+р~ ) р+а а(р+р) илв зУ+з'У +,/ д(р — з) „(У вЂ” Г) я+р 1' а(р+р ) (р+р~)2 Чтобы с было вещественным, необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным.
Это приводит к неравенству (у — у)т < и(г',г ', дар' н если скорости потоков неодинаковы, то найдутся такие большие (г, для которых это неравенство не будет выпо.знаться. Но большим )г отвечают малые длины волн, следовательно, основное движение будет неустойчиво по отношению к малым длинам волн. На самом деле при малых длинах волн нужно учитывать еще действие капиллярных сил (см.
следующий параграф), которые действуют стабилизирующим образом и обеспечивают устойчивость основного движения при не очень больших разностях У вЂ” У'. Отметим, что в еще более частном случае У = У'=О, т. е. при отсутствии потоков, скорость распространения волн длины 'л будет определяться по формуле а(з а) л (з а) а (з + т') 1' 2 (т + а') При р'= 0 мы получим знакомую формулу =~В Так как плотность воды в 770 раз больше плотности воздуха, то для системы воды и воздуха 444 волновые движения идвлльнон жидкости 1гл шн поэтому без болыпой ошибки можно не учитывать наличие воздуха прн вычислении скорости распространения волн на воде, ф 13.
Капиллярные волны. В $ 11 мы вывели (см. (11.5)1, рассматривая жидкость глубины л, для скорости распространения прогрессивных воли длины Л, происходящих под действиелг силы тяжести, выражение Г йх 2ял с=У вЂ” Й— =У йл Л однако оказывается, что лля очень малых длин волн эта формула неверна, ибо для малых длин волн необходимо учитывать егце влияние так называемых капиллярных сил.
Последние происходят от а взаимодействия молекул жидкости друг на друга и имеют значительную величину только в очень тонком поверхностном слое жилкости, Возьмем какой-нибудь элемент поверхности жидкости, ограниченный кривой С. Действие капиллярных снл на этот элемент 1 таково, как если бы к каждому элементу ллины да рдх кривой С была приложена растягивающая элемент поверхности сила а дг, перпендикулярная к дз и Рис. 1бб.
лежащая в касательной плоскости к поверхности жидкости. Величина а называется поверхностным натяжением жилкостщ она зависит от рода жидкости и от ее температуры (вернее, от рода двух смежных жидкостей, так как обычно прихолится рассматривать соприкосновение двух жидкостей, например волы и воздуха). Для воды и воздуха прн температуре 20' С а= — 74 дн(см, Рассмотрим влияние капиллярностн на гравитационные волны.
Ограничимся случаем плоских безвихревых волн, причем примем глубину жидкости равной л. Потенциал скорости 4~ должен уловлетворять уравнениям д'ч д'у —.+ — =О, дх' даа (13,1) ду дх — В =О при я= — л, при этом давление р определяется внутри жидкости по формуле р — рч дт дс = — — — л'я. Чтобы найти условие, которое должно выполняться на свободной поверхности, рассмотрим элемент поверхности длиною г(х (ширину этого элемента в направлении оси Оу принимаем, как обычно, равной единице). Давление над элементом поверхности обозначим через ре (его считаем всюду постоянным), давление под тем весьма тонким слоем, в котором проявляются капиллярные силы, обозначим через р.
Тогда четыре силы рас(х, р ах, а и а, указанные на рис. 1бб, клпнллярныи Волны а \3! должны находиться в равновесии, следовательно, сумма проекций этих четырех сил на вертикальную ось должна равняться пулю. Это дает: ( — „) — ( — „) +(Р— Ре) 'х — О Считая волны бесконечно малыми, мы можем заменить г(з через г(х и, следовательно, написать предыдущее равенство в виде л (" ~ )+Р— РВ=О Поэтому условие на свободной поверхности напишется в следующей форме (а, как постоянную, выносим за знак производной): др а дзь — '+д(.
— — — =-О дг р дхз дзт ду ~ дззр — — +К вЂ” —— =О дгз дг р дг ггхз (13,2) при г= О. Итак, р должно удовлетворять уравнениям (13.1) и (13.2). Двум первым уравнениям удовлетворяет, как известно из й 11, функция гр = С срг 1г (г+ й) з!п (йх — ар).
Подстановка этой функции в уравнение (13.2) дает для опреде пения а при заданном гг уравнение зхз — ег с!з пп+ д1г зп гггг+ — з!з 'нРг = О Р илп ег = д/г Й зги.+ — 13 /гд. чьз Р 2 Для квадрата скорости прогрессивных волн сз= —, мы получим выражение (1 3.3) с =( — '+ — ")1ййй Для случая очень глубокой жидкости можно принять 1(г1ггг=! и, следовательно: с = — +— 2— л р и. ли, вспоминая, что гг = —: 2ч, Х АА (13.4) при г= О.
Продзфференцируем это уравнение по 1 и заменим, как в й 2, гг'./др через до/дг. Мы получим окончательно дчя АР следующее условие: 446 ВОлнОВые дВижения идеАльнОЙ жидкОсти !Гл. еи! Исследуем последнюю формулу; рис. 166 дает график с())'): как при очень малых, так и при очень больших Л скорость с весьма велика; далее, производная йсз л,' 2ли йЛ 2з рЛ' обращается в нуль при Г а )ч =2я~/ — ф' р„ (13.5) с2 =21/ — И; (!3.6) легко проверить также следующие равенства: 2 з„, 4™ Принимая их во внимание, можем переписать общую формулу (13.4) короче: л 22 и и ги п ги ги 7 г 1 а о г —.= — ~ — + 'м ), (13.7) сз 1 г Л Л,! с2 2(Л Л ) Рис. 166.
причем сравнение с (13.4) показывает, что первый член происходит от гравитационных сил (так как в него не входит поверхностное натяжение а); второй же член происходит от капиллярных сил (в него ие входит ускорение силы тяжести и). Из формулы (13.7) видно, что при Л, больших в сравнении с Лии яграет роль только первый член, следовательно, действием капиллярных сил в сравнении с действием силы тяжести можем пренебречь; наоборот прн )., малых в сравнении с Лио первый член играет очень мал)ю роль и, значит, можно пренебречь действием силы тяжести. Волны с малая длиной волны ().
( Л ) называют калилллрными волнами, или рябью. ') Численные значения параметров взяты для случая воды н воздуха (см. ниже). Лгз при Л ( Лм производнзя †„- отрицательна; при А ЛЙ зта производная полояситсльна. Значит, скорость распространения с при возрастании Л от 0 до ОО сначала убывает от бесконечности до некоторого минимума с , а потом возрастает от см до бесконечности. Этот с минимум с достигается при Л = Л„ и определяется по фор- муле 4 Н> ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Итак, скорость распространения гравитационных волн пе может быть меньше некотоРого минимУма све Отметим еще, что с одной и тоЙ же скоростью с ) см могут распространяться волны двух различных длин, ибо если некоторая длина Л удовлетворяет уравнению (13.7), то очевидно, что и длина Л,'ю>Л будет удовлетворять тому же уравнению, При этом одна из эгпх длин все~да будет больше, а другая меньше Л„, (ибо нх про.
2> пзведение равно Л 1. Так, например, со скоростью с = 2с будут распространяться волны, длины коих удовлетворяют уравнению ( — ) — 8 — + 1.=- О, отк> да Л=(4 Ь. Р' 15)Л, Л = 7,873 >,в„), = О,!27 Ла, укажем еще численное значение Л и с„, для случая воды и воздуха.
В этом случае а=74, Р=!, А"=981 (в системе С05); поэтому Л,„= 1,78 слк сч, = 23,5 см/сек. Рябь обычно образуется впереди тела, перемещающегося в жидкости, если скорость этого перемещения не менее сю. ф 14. Волны конечной амплитуды. Во всех рассмотренных вами волновых движениях мы предполагали движения жидкости безвихревыми и колебания частиц бесконечно малыми.
Только при этом предположении будут справедливы полученные нами результаты. Так например, мы вывели, что в движении с потенциалом скорости ф = Се"'з(п (72х — е() (14. 1) профиль волны имеет вид синусоиды, амплитуда которой бесконечно мала. Эта синусоида перемещается вправо с постоянной скоростью с. !то если рассмотреть движение, в котором в первоначальный момент времени профиль волны имел вид синусоиды конечной амплитуды, то окажстся, что такой профиль с течением времени будет изменять свою форму (конечно, мы не можем при изучении конечных колебаний жидкости пользоваться приближенными формулами).
Профиль волны, который будет перемещаться без изменения своей формы, будет кривой более сложного типа, чем синусоида; мы ограничиваеьщя этими указаниями, не имея возможности входить в более подбб б> б В .б .ь „„„, бб --- б б -ьб ° лянейныбш: так же как н в й 7, мы можем искать комплексный потенциал ~ = у + >ф — аналитическую функцию от х + сю Трудность здесь заключается а >ом, что краевое условие будет нелинейным. В качестве краевого условия мм имеем вдоль свободной поверхности на основании интеграла Берпулли— ~с>лера (стр.
116) — йа+ — ~, в р = сова!. В теории струй (гл. Ч1, й 17) мы не и ва прпнямалн в расчет силы тяжести н там 2>оста>оч>бо было потребовать 'Руе условие, в! = — сова>. В случае гравитационных волн мы должны, 448 волновыь движьния ндслльнон жидкости 1гл. тн Точно так же мы вывелп, что бесконечно малые колебания бес- конечно глубокой в<пакости, определяемые (14.1), таковы, что частицы жидкости движутся по круговым траекториям, радиус которых быстро убывает по мере того, как рассматриваются все более глубокие частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
