Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 66
Текст из файла (страница 66)
е. для которых [г — а' б — а' — х — [ = пя (и — целое число) 2 2 или а — а' 2ла сс —, с+в [г — [г' й — А' Отсюда видно, что группа волн с наибольшей амплитудой перемещается в направлении положительной оси Огс со скорсстью (8.5) С такой же скоростью будут перемещаться группы волн с какой-либо определенной амплитудой.
Это означает, что если в момент а в точке х находилась группа волн с амплитудой а, то в момент г+е группа волн с амплитудой а будет находиться в точке х + Ут. Поэтому скорость (/ называют групповой скоросгпью волн. То обстоятельство, что скорость распространения волн с может быть отлична от групповой скорости У, кажется на первый взгляд несколько странным, Так например, по формуле [8.5) а'б аг уг д/г 1 / гИ гИ 2 гг й 423 ГРуппОВАя скоРость 4 з! в то время как значит, 1 (У = — с (8. б) т, е. Групповая скорость распространения волн в два раза меньше скорости распространенна отлельных волн. Это показывает, что в то время как определенная волна, например 1, распространится на расстояние двух волн и перейдет в положение 7', вся группа передвинется только на расстояние одной волны, поэтому амплитуда рассматриваемой волны / увеличится.
В дальнейшем будет прололжаться увеличение амплитуды рассматриваемой волны, покз амплитуда не достигнет максимума, после чего амплитуда будет убывзть, и т. д, Мы видим, таким образом, что при распространении определенной волны эта волна булет в группе волк перемещаться в направлении положительной оси Ох. Отсюда и становится понятно, что истинная скорость рзспространения волны пожет отличаться от групповой — разность этих двух скоростей показывает, с какой скоростью волна распространяется опгпосигпелвпо группа волн. Обратим внимание на то, что отличие групповой скорости от скорости распространения волн булет только в том случае, котла скорость распространения волн зависит от их длины; в этом случае говорят о дисперсии волн.
Групповая скорость волн определяется формулой ЛГ = дз)й)г, ио 2з 2яс й= — с=Лес=в Л Л следовательно, с Л Лдс — сдЛ и с Ис ПЛ ' 1 — ЛЛ Л откуда получаем важное выражещие для групповой скорости, указанное Рэлеем: дс 'ил' ~8.7) Можно дать этой формуле простое геометрическое значение, а именно — начертим график для с в функции Л и в точке с коор- динатами Л.
с проведем касательную; уравнение последней будет: сГс йс дс у — с=- — (х — Л) иля у=х — +.с — Л вЂ”, сЕЛ дЛ дЛ ' ис откупа видно, что У= — с — Л вЂ” есть отрезок, отсекаемый эгон ка- сЛ сательной па осн с. 424 волновьш движения идеальном жидкости 1гл чнг Найдем еше вид траекторий частиц в рассматриваемом движении. Так как последнее можно рассматривать как составное из двух движений вида »» = — — а е»» з[п (йх — ег), ае для которого х = ха + ае»* з1п (Ф хе — е1), г=»а — ае»' соз()»ха — ес), то мы будем иметь: х = хе-1- а [е"' з1п(йхе — ес)+ е» ' з[п(й'хе — а'1)[, » = »е — а [е™ соз(йха — а1)+ е»' соз (х'хе — сС)[.
»,=»е — ае»» соз(ахв — е1) описывает окружность радиуса ае"" около точки (хе, ге). Примем эту точку (х,, »,) за центр новой окружности радиуса ае» 'Ч по этой окружности и будет двигаться наша частица с периодом 2я)е'. Траекторией частицы будет служить так называемая удлиненная или укороченная эпициклоида. Частица описывает приблизительно окружность изменяющегося радиуса, при этом мы имеем двоякую периодичност»с с одной стороны, имеется период пробега одной окружности, а с другой стороны, есть период изменения радиуса окружности. Это отвечает наличию скорости распространения отдельной волны и групповой скорости волн.
Г!ри рассмотрении вопроса о групповой скорости мы ограничились для простоты сложением двух волн одинаковой амплитуды, но разной длины волны. При сложении многих волн приблизительно одинаковой длины волны вычисления несколько усложняются, но суть дела остается той же самой. ф 9. Общий случай плоской задачи. Теперь мы рассмотрим самый общий случай плоских безвихревых волк.
В Я 2 в 3 было выяснено, что в этом случае задача сводится к отысканию решения уравнения Лапласа: д»т д»э бу= —,+ — '=О, дх' д»» (9.1) удовлетворяющего на свободной поверхности условию 1 д»т (9.2) Движение каждой частицы можно представить следующим ооразом: пусть точка х» — — хе+ае»» з[п(йхе — ас), овшип слтчлн плоском задачи 425 и и а = 0 и начальным условиям у=~( ): —,', =У( ) (9.3) при д — 0 и 1=0. При этом 1 (х) и г'(х) имеют следующее физическое значение. Вели г = ь(х, 1) есть уравнение свободной поверхности, то У(х).= — д".(х, 0); (9.
4) что же касается г" (х), то 1 Г(х)= — — п(х, 0), Р (9. 5) где п(х, г) обозначает тот импульс сил давлений, который мог бы вызвать начальное распределение скоростей. Вследствие линейности уравнений (9.1) и (9.2) сумма двух решений ~з, и 9, этих УРавнений также бУдет Решением. ФУнкции У, и еа мы будем отыскивать по начальным условиям стт, д1 при а= — О, (=О; р,=Г(х); 'д, — О 'И при а=О, Г=О. При этом достаточно ограничиться отысканием он В самом деле, чтобы найти ом мы можем поступить следующим образом. Отыщем решение системы уравнений (9.1) и (9.2), удовлетворяющее начальным условиям — "' = Е(х) дг 13= О' при а=О и а=О. РассмотРим фУнкцию от= — '.
эта фУнкциа, конечно, бУдет Удодтз . т лт влетворять уравнениям (9.1) и (9.2). Кроме того, в начальный момент при =О и 1=0; от= — =г (х); т3 дг нзконец, в начальный момент при я=О дт~ д'т, дтз . — ь Д1 Д12 ь Да но из того, что в начальный момент Рз — — 0 пРи г = 0 " что 'тз удовлетворяет уравнению Лапласа, следует, что в начальный момент 426 волновыв движения идеальном жидкости !гл.
ч!и !Уз тождественно Равно нУлю. ПоэтомУ в начальный момент д1!з/дз = О, и, зна!ит, д!»»(д1=0. Таким образом, функция !р»=д„»з/д1 является требуемым решением. Итак, мы будем отыскивать решение уравнений (9.1) и (9.2) по начальным условиям ср=О; — ~= 7(х) э, (9.6) при г=О, 1=О. Обозначим начальные значения !~ и дфд1 соответственно через 1!з и !у!! е(х, г, О)=уз(х, г), Тогда, по сказанному выше, вследствие первого из условий (9.6) будет: уо(х, е)ш О. Отыщем теперь !у!1х, г). Очевидно, что дед~ удовлетворяет уравнению Лапласа: Ь вЂ” = — Ьо = О, значит, дт д дг дг Ь~! = О.
Но мы уже многократно пользовались следующим решением уравнения Лапласа: !»! =- Се"* сов Ф (х — 6), где С и $ были произвольные постоянные. Вычисляя косинус разности и вводя обозначения С соз!г! = А, С вша = В, мы можем этот интеграл переписать в другом виде: е! = Ае" соз их+ Ве»' з1п лх, у!(х, з)= ~~'., е»! )А!сов/ггх+В, з1плгх). 1=! (9.7) Чтобы образовать самое общее решение уравнения Лапласа, нужно взять всевозможные !г! от О до оо, причем величины А, и В! где А и  — произвольные постоянные. Вследствие линейности уравнения Лапласа мы можем образовать более общее решение уравнения Лапласа: 428 ВОлнОВые дВижения идеАльнОЙ жидкости и'л. чн! Предположим, что в последнем двукратном интеграле можно переменить порядок интегрирования; тогда го, о= — !" го![) ° ° г! — гггг) и.
~гдгг 1 о Но определенньгй интеграл гч/ егг соз дх с!ге о легко вычисляетсв интегрированием по частям (помним, что е у нас отрицательно): Н= / е"сг о яо лх ог ~ еггми лх]» ~ мз лх г х / (соз лх'1 о о со! хх г ~ Л г-о 1,/ е е — / —;ЕагСОЗЛХггй = — —; — —, ГГ, Х Х откуда е — г 1 г Поэтому е"'соз д(х — с) гГЛ = — г+1 о и значит, 1 Г' хУ (Б) гт! 'Рг(х е) — „ / ег+ Гх г)г ' (9.11) Эта формула определяет решение уравнения Лапласа в области е < О, обращающееся при е — еО в заданную функцию Г Гх). Перейдем теперь к решению нашей гидродинамической зздачи, Мы рассмотрим следующий частный случай начальных условий.
Г!усть Г'(х)= — 0 и пусть Г(х) всюду равна нулю, за исключением малого участка оси Ох, окружающего начало координат, причем на этом участке (концы которого пусть имеют координаты — е ОБШИЛ СЛУЧАЙ ПЛОСКОЙ ЗАДЮГИ 4 а1 н 4- в) функцию г (х) предположим столь большой, что интеграл /'(х)сгх сохраняет конечное значение ) Ях)г1х =- — Яд. ~(Х, 7, 0)=0, дч(к, 7, Г) 1 дт ( г. (7'+ хе) (9. 12) Покажем, что уравнение — - -ь- — — — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
