Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Проекции скорости в полярных координатах равны о, = — = А соз а1с)г Й(а + 72) 10(дгу ог = — -„— „- =- О. дв 1 ду Отыскиваем линии тока из уравнений дг 1 да д гг0 или а. Ог 7„'(ДГ) О Таким образом, линиями тока являются радиусы, исходящие из начала координат 0=сопз1., и концентрические окружности Г=Г, 2 л' где г есть корень уравнения /е(7гг) = О. Пусть нам дан цилиндрический сосуд радиуса а. Тогда из усло- вия а = г мы определим lг, Уравнение уе(х) = О имеет бесконечное количество корней, пер- вые из которых суть: х, = 3,8317, х = 7,0156, хз= 10,1735.
Поэтому 72 будет определяться нз уравнений лз = 7га =— Х2 а ' з соответственные периоды колебаний будут лля бесконечно глубо- -,=„;=, =-2и '-— ,.—. Мы ограничимся отысканием решения этого уравнения, не зависящего от 0; если ввести новую переменную 22= ЙГ, то для определения Ф(Г) получается уравнение Бесселя 511 КПРЛЖНЕНИЯ б тб! Д.тя жидкости малой глубины: 2яа хр~ дй Узловые линии вертикального движения определяются из уравнения 7хрг ! Ф(г) =/о(й г) = lо( — ) =0 — о р — о( а ) и так как первы»и корнями уравнения .7„(х) = 0 являются х', = 2,4048, х,' =- 5,5201, х' = 8,6537, то радиусы этих узловых линий будут, например, для р = 3; х, г,= — и=0, 36а; г,=-0,543и; г,=-0,851а.
й 20. Упражнения.!. Рассмотреть стоячие колебания однородной жидкости пос~оянной глубины й, происходящие под действием силы тяжести, для которых потенциал скорости о имеет внд т =-. С сов тх соз ту соз вт сй й (е+ й) (ср. й 25). Набии уравнение линий тока на плоскости Оху и показать, что за вертикальные стенки, ограничивающие жидкость, можно взятть помимо указанных в й 25, еще такие, уравнением которых является х .
у = ыс/т (ы — целое число). Вывести отсюда период т самых медленных колебаний в цилиндрическом сосуде, поперечным сечением которого является равнобедренный треугольник с катетами, равными а, считая жидкость бесконечно глубокой, Ответ. Уранпенне линий тока вш тх = С Ын ту, т = 21 ае/ 2. Рассмотреть стоячие колебания однородной жидкости йостоянной глубины й, происходящие под действием силы тяжести, предполагая, что потенциал скорости о имеет внд о = С сов ОФ (г) сов в!с!т й (е+ гт), где г, 0, е — цилиндрические координаты точен (начало координат взято на свободной поверхности жалкости при равновесии последней, ось Ое направлена вертикально ввеох). Найти Ф (г) и в. Какими вертикальными' стенками можно ограничить жидкость, чтобы она могла провзводить указанные колебания) Рассмотреть случай колебаний в цилиндрическом сосуде, поперечным сечением которого является полукруг радиуса а, и определить периоды -., и -., одноузловых и двуузловых колебаний в таком цилиндре для случая жидкости малой глубины.
Указание. Первые два корня уравнения й,(х) = 0 равны х! —— 1,841, х, = 5,332 [у,(х) — Функция Бесселя первого порядка). Ответ. Ф (г) = У, (йг), в = )Гяй !Рй йй; котино ограничить жидкость цилиндром г = а, или цилиндром г = а и плогкостщо 0 = О н 0 = я ., =- 37!!а)1~4(й тв = 1,18и!)' ьуйт. 512 Родновы! движения !Игяльнои жидкости 1гл. щг! 3.
Проверить, что движение с потенциалом скорости Г 2 . а т = С ~/ — ипягсозжсояегеья(я+а), кяг 2 Г. ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ ф 27. Основные уравнения. В 9 11 при рассмотрении волн, распространяющихся на жидкости конечной глубины, была выведена формула (!1.7) лля скорости распространения волн с в том случае, котла длина волны ), весьма велика в сравнении с л: с=Уйтг, причем эта скорость оказывается не зависящей от длины волны. Такие волны называются длиннымя. Практическая важность отдельного изучения длинных волн кроется в двух обстоятельствах: во-первых, в силу независимости скорости распространения волн от длины волны длинные волны могут быть изучены гораздо подробнее.
чем в общем случае; во-вторых, длинными волнами являются некоторые важные типы волн, например приливные волны, возникающие под действием притяжения Луны и Солнца. Рассмотрим сначала плоскую задачу, т. е. предположим движение происходящим в плоскости Охг, причем направим ось Оя вертикально вверх, ось Ох по горизонтали, а начало координат возьмем на свободной поверхности жидкости в ее положении равновесия.
Напишем основные уравнения движения в форме Эйлера для случая плоского движения несжимаемой жидкости: дел 1 др — ' =- Х вЂ” —— дг в дх др дт я дг де, — + —. а=-О. дл дя (27.1) где г, В, я — цилиндрические координаты, при е =) яд!Ей кг! представляет происходящие иод действием силы тяжести стоячие колебания однородной жидкое~и постоянной глубины Л, если в этой жидкости поставлена вертикальная стенка, уравнение которой а = О.
Показать, что можно ограничить жидкость еще вертикальной стенкой и = а и найти для данного а период самого медленного колебания для случаев бесконечно глубокой и очень мелкой жидкосп!. 2г Га Га Ответ. Для гл) бокой жидкости . = —,= !гав — = 5,82 аг —, для мея) йя а а кой -. = — == 5,39 =, где я есть наименьший положительный корень Я У'Яй Ррй уравнения !И а = 2« и равен 1,1556. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 513 Сделаем следующие допущения. 1, Вертикальным ускорением частиц можно пренебречь, т.
е. во второй формуле можно принять г(п,/г(7=0. Это означает, что вертикальная скорость частиц меняется очень медленно. 2. Вертикальными силами можно пренебречь, за исключением силы тяжестгг, т. е, во второй формуле можно пршшть л = — г. 3. Амплитуда колебаний частиц жидкости очень мала в сравнении с глубиной жидкости.
Глубину жидкости в равновесном положении мы обозначим через /г ,'рис. 179). В разных пестах она может быть разной, так как дно жидкости может быть не прямолинейным. Обозначим, как обычно, через ь ординату профиля волны, т. е. возвышение свободной поверх- х ности жидкости над ее равновесным положением. Очевидно, что " является функцией х и г. Второе уравнение (27.1) примет, в силу сделанных допущений, вид др — = — Рд дх и легко проинтегрируется: 7г= — РАЯ-+С(х, 7), Рис, 179. но на свободной поверхности, т.
е. при в=ь, давление р должно равняться постоянной ро (давлению атмосферы). Поэтому Ро = РК" +С(х г). Исключая С, окончательно получим: 7г гво=рй'(ч ) дгг дь = РК— дх дх ' (27.2) Подставляем найденное значение р в первое уравнение системы (27.1): ггох дС вЂ” =Х вЂ” Š—. ггг дх ' (27.3) 33 зок. ггоо 3!ы будем считать горизонтальную силу Х не зависящей от а, т. е, функцией только х и 1, тогда горизонтальное ускорение г(п,/ггг будет одинаково для всех частиц, лежащих в одной вертикальной плоскости (т.
е. имеюгцих одинаковые х), а следовательно, если скорости этих частиц в начальный момент времени были одинаковы, то они во все время движения будут одинаковы. Таким образом, пх волновые движения идалльнон жидкости (гл шп является функцией только х и П поэтому дч дп де„ вЂ” = — + и —.", ст дт х дх но последним членом можно пренебречь вследствие условия 3) и значит: дс'» ~~~к дс Поэтому уравнение (2?.3) принимает окончательно вид де, д." — = — д — '+- Х.
дГ дх (27.4) Обратимся к последнему уравнению (27А). Это есть уравнение неразрывности. Мы выведем другое уравнение, заменяющее это уравнение, причем воспользуемся методом, похожим на метод, примененный для вывода уравнения неразрывности, А именно, рассмотрим обьем жидкости, заключенный между двумя неподвижна.ми в пространстве вертикальными плоскостями АВ и А'В', перпендикулярными к осн Ох и отстоящими на расстоянии г(х (толщину жидкости в направлении оси Оу, перпендикулярной к осям Ох н Ол. считаем равной единице).
За время г(Г через плоскость АВ войдет, очевидно, количество жидкости, равное (ьц (гг+-6))вдг, где значок х обозначает абсциссу точек плоскости АВ, через плоскость А'В' за то же время выйдет количество жидкости (аи„(7г+ ".)), х г)Г (х -(-ггх — абсцисса точек плоскости А'В'), Поэтому количество жидкости между плоскостями АВ и А'В' уменьшится на д [ре.
(й-+ С)) (27.6) дх Но это уменьшение, вследствие несжимаемости жидкости, может произойти только за счет понижения уровня жидкости между АВ дг. и А'В'. Но за время дГ уровень повышается на — Ж, значит, мы дг имеем приращение количества жидкости между АВ и А'В', равное р — ' дх ат. дт (27. 6) Приравнивая два выражения (27.5) и (27.6) одного и того же количества, только взятого с разинь~и знаками, получим: д". д((л+"=) ") д(»о ) ° д . ': (27 7) дг дс дх "дх "г)х' ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ В КАНАЛАХ ПОСТОЯННОЙ ГЛУВИНЪ| 515 Но последними двумя члензми, представляющими произведение двух малых величин, можно пренебречь, и значит, получаем окончательное равенство д".
д(А „) 'дГ дх Итак, уравнюсия движения длинных волн для случая плоского движения имеют следуюшнй вид: д"х д'- . д'» д (Лсм) (27.8) см дх ' дС дх где Х вЂ” горизонтальная сила, действуюшая на единицу массы, й — глубина жидкости, Π— высота жидкости над ее равновесным положением. Введем в рассмотрение горизонтальное смешение с(х, г) какой-либо частицы от ее равновесного положения (оно одинаково для всех частиц лежавших в начальный момент на одной вертикали). Очевидно, что д$ пх= —.
дГ ' (27. 9) Из вгорого уравнения (27.8) мы выведем, что д'-. д' (/Й) дс дх дс н, интегрируя это уравнение по Г, получим: = — — — + С(х). д (ле) дх Но произвольная функция С(х) должна равняться нулю, ибо если нет горизонтальных смешений, то нет и вертикальных, т, е. если 5=0, то си ".=О, значит, С(х) =О. Поэтому д (л'.) дх (27.10) дех дг ь дх (28.1) д'. — —.,' = — — (с ОС дх Интегрирование уравнений (27,4), (27 9), (27.10) н определяет ,орнзонтальное смешение частиц жидкости.
ф 28. Длинные волны в каналах постоянной глубины. Рассмотрим сначала свободные колебания жидкости, происходяшие при отсутствии внешних сил, т. е. положим Х = О. Примем сначала «лубсшу л постоянной. Тогда уравнения прсшпмают вид 516 волновыв движвния идвальноп жидкости 1гл. шн Исключим одну из неизвестных функций, например о„для чего продифференцируем первое уравнение по х, второе по Г и вычтем первое уравнение, умноженное на Ь, из второго: — — дй — =О, д'С даь ды е ддх» (28.2) Лля о» получается такое же уравнение.
Положихо с = ~lдИ. (28.3) Чтобы решить уравнения (28.1), введем новые независимые перекенные х, и х, по формулам х, = х — сс, хя = х+ с1, тогда, рассматривая о„и ч как функции от х, н х, получим по правилу дифференцирования сложных функций: де» до„дх, дв» дх2 /де» дв»1 дв» дв» де» дс дх~ дт дх, дг 'т дх» дх, ) ' дх дх» дх, и аналогичные формулы для ".. Вставляя эти выражения в уравнения (28.1), получим: дн» де» д', дй д д" дс» де» с — — с — + д —. + л — = О; с —" — с =+ л ='-+ Ь вЂ” —." = О.
дх» дх, дх, дх, ' дха дх, дха дх, Образуем сумму и разность этих уравнений, предварительно помноженных первое на Ь, второе на с: дн» дг д —" — с — ' =О. дх, дх, Из этих уравнений видно, что — + — есть произвольная фуикв» с Ь ция одного х,, точно так же — — — есть произвольнав функция с а одного хз.' — ».+ — "„= 2Р(х,) = 2Р(х — ст), — '." —: = 2у'(х,) = 2у'(х+ ст).
с (28.4) Решая этн уравнения относительно о„и г., окончательно находим: о =с (Р(х — сг)+ г(х+-сс)), Г. = Ь (Р (х — с() — Г" ( х + с() ), как самое общее решение системы (28.1). ДЛССННЫГ ВОЛС!Ы В КЫСЗЛАХ ПОСТОЯННОЙ ГЛХВПСГЫ 5!7 а ео Рассмотрим частный случай движения, когда /=О и, следовательно: и„= сГ(х — сс); ч= ьп (х — с(). (28.5) Легко выяснить физическое значение формулы (28.5); в геометриЧЕСКОй ТОЧКЕ, КООРДИНата КстОРОИ К МОМЕНТУ С ЕетЬ Х = Хз+ С(, бУДЕт: пк = сР (х ), г, = лс'(хз), т. е. тс имеет одно и то же значение в геометрической точке, передвигающейся параллельно оси Ох вправо со скоростью с. То же имеет место и лля г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
