Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Итак, определенные значения тс, и ч распространяются параллельно оси Ох вправо со скоростью с. Важно подчеркнуть, что частицы жидкости совершают очень малые колебания, а потому сами частицы перемещаются в ту или другую сторону на очень малые расстояния. Это смещение какой-либо частицы легко вычислить; оно, очевидно, равно за промежуток времени 1з — С,: с~ "з — с= / 'пспс= ( сГ(х — сг)с(т= — / сс(х — ст)с((х — ст)= к-сс, к-сс, / Е'(х) ссх = —, у Г. псх. 1 к-сС, к — сС Последний интеграл представляет, очевидно, объем жидкости, ограниченный осью Ох н той частью волны, которая пройдет нал рассматриваемым местом за промежуток времени (Сн Сз).
Таким образом, после прохождения волны каждая частица окажется смещенной вправо яли влево. Если, наоборот, с'=О, то О = с с (х + с(), ч = — ссс (х + ст)1 10 ~ 100 ~ ПЮО РОООО Л,м 1 9,90 31,32 ~ 99,05 313,2 см/сех ~ 3,13 ! 34 зак, нзз эти уравнения представляют распространение возмущений параллельно оси Ох влево с той же самой скоростью с.
В общем случае формулы (28.4) представляют наложение друг на лруга обеих систем волн, из которых одна система волн перемещается вправо, а другая влево с одинаковой скоростью с. Следующая таблица показывает зависимость скорости распространения длинных волн от глубины: 518 ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕЛЛШ[ОП ЖИДКОСТИ !ГЛ. Е!И Как было показано в Э 17, потенциальная энергия воли равна — др/С (х, 1 2 в то время как кинетическая энергия волн выражается, очевидно, шпегралом — Р ! ЬОТ1х (вертикалю!ая скорость гораздо меньше горизонтальной и потому членом и~ можно пренебречь в сравнении с О',). Для волн, распространяющихся в одном направлении, например направо, будет по формулам (28.5) следовательно, с'",' с' ВО2 — /! — Е2 8 (2 к г!2 д" к д".
д". д (Лек) д) "дх' дс дх Исключая сначала О, потом С, найдем, что ч и /2О удовлетво- ряют уравнениям дгк к' дх ( дх) ' г)'(Лок) Л д'(Лех) д! =к д. (29. 1) Рассмотрим теперь плоское движение в канале, дно которого имеет параболический вид, так что глубина Ь представляется урав- нением 0( 2) а это показывает, что кинетическая и потенциальная энергии длинных волн, распространяющихся в одну сторону, равны между собой. 9 29.
Стоячие колебания в каналах переменной глубины. В Э 24 была рассмотрена теория стоячих волн на жидкости постоянной г.лубины. Мы покажем на примере, ограничиваясь случаем длинных волн, как определяются стоячие колебания жидкости, заключенной в сосуде, дно которого не горизонтально. Этот последниИ случай имеет место, например, для сейш, происходящих в озерах и представля!ОЩИХ СВОбодные колебания всей жидкости, находящейся в озере. Уравнения свободных колебаний жидкости получаются из (27.8), если в последних уравнениях положить Х=рл 2 221 СТОЯЧИЕ КОЛЕБАНИЯ В КАНАЛАХ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ 519 где дм очевидно, есть наибольшая глубина озера, 2а — его длина (ширина его в направлении оси Оу не играет для рассматриваемых движений никакой роли н может быть принята за единицу).
Чтобы рассмотреть стоячие колебания жидкости, положим: Ьп„= гйп ет Р(х), (29.2) гогда для определения Р (х) из последнего уравнения (29.1) получается уравнение и2Р д'Ьз(1 — — 2) — „, + е Р(х) =О. (29.3) Введем для простоты новую переменную а=х/а и обозначим: Р(х) = Р(аи) =(Э(и), р = —, (29.4) А'122 тогда для определения 9(и) будем иметь: (1 — и ) —, +(2(с = О. а2г2 ии' (29.5) ибо ()(и) может отличаться от ив — 1 только постоянным множителем, который, вследствие линейности уравнения (29.5), никакой роли не играет.
Но тогда и2Г2 — =2, до2 и чтобы уравнение (29.5) выполнилось, надо взять 9=2. Это урав- нение определяет период колебания: )/2уЬ~ а 2ва т = !'2ФЬ Найдем вит профиля волны; пз д (12вх) — — — — = -- в1п ет— д1 дл' йх (29,8 ~ При х = + а левая часть уравнения (29.2) обращается в ну;и„ следовательно, п правая часть, т. е, Р( + а) = О или, что то же, () (+ 1) = О. Вид уравнения (29.5) показывает, что мы можем искать решение этого уравнения в виде полинома а-й степени (ибо Фф2(из будет 2огда полиномом степени (л — 2)-й и по умножении на 1 — ив даст поливом л-й степени, который сократится с р(,2). В силу условия с)( '-1) =О этот полипом 2,2(и) делится на ив — 1. Будем последовательно испытывать полиномы второй степени, третьей и т. д.
1. Если !',1(и) — полипом второй степени, то можно взять: 2,)(и) = сР— 1, (29.6) 520 ВОлнОВые: движения идьлльнои жидкости !гл. у11! следует Е (х, !) = — соа а! — = — соз а! —, 1 с!Р ! ссс0 р ссх ра с!а значит, ч(х, !)= — сова! и = — сова!. 2 2х ра = рас (29.9) Отсюда видно, что свободная поверхность жидкости все время осгается плоскостью, причем ось Оу(х =О) является линией узлов; Рпс. !80. мы имеем дело с самым медленным одноузловым колебанием (рис. 180).
Горнзонталс ная скорость определится по уравнению (29.2) 1 О = — — — в!п ас; х лр горизонтальное смещение 1 будет поэтому определяться интегрированием уравнений (27.9) и (27.10); оно оказывается равным 1 с = - — соз а!. = /ср Таким образом, вся масса жидкости колеблется вправо и влево, совершая гармонические колебзния с амплитудой !сс7сеа.
2. Если с;С(и) — полипом третьей степени, то, вследствие его делимости на иа — 1, можно принять: С.) (и) = (иа — 1) (и + а), (иа — 1) С,са (и) = (и' — 1) (2 Зи+ 2а), РЯ (и) = (ас — 1) (рсс + !сз), следовательно, надо взять: р =- 2 . 3, а =- О, Я(и) = и (иа — 1). (29.! 0) !1ериоа колебания будет: йла 'г' 2 загса (29. 11) СТОЯЧИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЦИЛИНДПИЧЬСКОМ СОСУДЕ 4 зо1 521 Профилем волны будет служить: 5(х, 1)= — (Зиз — !)= —,(Зхг — а'), (29.12) т. е.
парабола второй степени (рис. 180). Узловых линий будег две, именно: х = + — = + О,о774а. Точно так же отыскиваются колебания трехузловые, четырех- узловые и т, д. Периоды этих колебаний будут становиться все короче и короче, причем закон их изменения следующий: 1 1 1 )г1 2 1 У2 3 1 уз 1 ' ' '' = 1,000: 0,577: 0,408: ... = 450 сек. = 7,5 мин. 2а )г д)г Сейшн наибольшего периода (около 23 часов) наблюдались в Аральском море, которое при большой длине (около 400 кж) имеет малую глубину. О ЗО. Стоячие колебания в цилиндрическом сосуде малой глубины. Основные уравнения в общем случае наличия длинных волн имеют следующий вида дех дь — "= — гг — +Х дс дх де дь — У = — л' —.+ 1', дГ ду д: д (ле„) д д(де,) дг дх ду (30.1) Так как вывод их совершенно аналогичен выводу 3 27, то на нем мы не останавливаемся.
1(ля случая свободньгх колебаний Х= У=О. Примем еше глубину жидкости постоянной, Тогда, исключая е и е„, легко найдем: дгг дге дге г' дгг дг( 1 и, вводя опять скорость распространения длинньгх волн с = 1ЯГ1, найдем: дгь / д"., дгс г дтг (дхг д,уг)' (30.21 Укажем примерный период сейш. Леманское озеро имеет ширину около 10 кзг и глубину около 200 зг, при этом наблюдаются поперечные сейшн с периодом в 1О минут. По формуле же (24.3) 9 24 должгю быть: 522 волновып движения идеальном жидкости 1гл. яиг Чтобы отыскать стоячие колебания жидкости, надо положитгп (=Ф(х, у)созаД (30.3) но тогда для определения Ф (х, у) получится уравнение (30.4) где введено обозначение а=в а с (30.5) На боковых стекках сосуда нормальная составляющая скорости равна нулю: о„=О, но из уравнений де,.
д1 доу д'; дх' дг ду следует, что дел д" дг дл' следовательно, на цилиндрической стенке аф — =0 дп (30.б) Если 1 обозначает смещение частицы из равновесного ее положения, то д."- дг ' 131.2) поэтому последнее уравнение дает: д: . д% — = — й— дг г)1 ох ' и, таким образом, для Ф (х, у) получаются те же уравнения, что в ф 24 (что, конечно, и надо было ожидать, пбо изученный там общий случай включает, как частный, случай малой глубины). ф 31. Вынужденные колебания в каналах постоинной глубины. Пусть теперь на жидкость действует внешняя возмущающая горизонтальная сила Х; тогда жидкость будет совершать под действием этой силы вынужденные колебания.
Таково именно происхождение приливов и отливов, причем в этом случае возмущающей силой является сила притяжения частиц воды к Луне и Солнцу. Уравнения движения для случая канала постоянной глубины л принимают вид дм~х д1 д: двх — = — н' — + Х; — = — гг — '. дг дх ' дг дх , "зн вынхукдеииыг колеелния в клилллх постоянноп глхвииы 523 и после интегрирования получаем [см. формулу (27.10)): ь = — (г— дх ' (3!.3) Подставляя найденные значения о и ь в первое уравнение (31.1), найдем: д~ =-" — -+Х(~=)/дд) (31,4) Примем для простоты, что сила изменяется периодически по формуле Х = / з(п (аг — Фх), (31.5) тогда соответствующее вынужденное колебание имеет вид с = а з1п (е! — Ах), (3 1.8) где а определяется из уравнения (31.4) в виде У Лес' — а' ' Поэтому — з з г мп(а! — Йх) У н нз уравнения (31.3) (= л...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
