Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 81
Текст из файла (страница 81)
соз(а! — !гх). /ля (31.7) (3!.8) Л 2к с лс период же возмущающей силы равен 2ч а Поэтому / 1 1 '~ 4,Р (,Я -') лзсз а = 4п~ т / 1/ г: '! Сравнивая уравнения (31.5) и (31 7), мы увидим, что период возмущенного движения совпадает с периодом возмущающей силы. Из уравнения (31.7) видно, далее, что горизонтальное смещение имеет ту же самую фазу, что и возмущающая сила, если /е'с' — а' ) О. Выясним физическое значение этого условия.
Свободные колебания, для которых длина волны определяется по формуле ).=2п(/е, т. е. совпадает с длиной волны рзссматрнваемых вынужденных колебаний, распространяются со скоростью с, следовательно, период этих свободных колебаний равен 524 волновыс двпхсагп~я идеальной жндкосгп 1гл. шп таким образом, если период возмущающей силы больше периода свободных колебаний, имевших ту же длину волны, что и рассматриваемые вынужденные колебания, то последние совпадают в фазе с возмущающей силой; в противном случае эти фазы будут различаться на к. При т = -., будет иметь место резонанс, так как формула (31.?) показывает, что в этом случае выну>кденпые колебания будут бесконечно велики.
На самом деле это решение перестает быть верным и должно быть заменено следующим: В 2ч , '= — — соз (а1 — их), (3 1.9) ч = 0 при х = + 11'2 (31.10) (так как на этих копнах движение воды монгет происходить только в вертикальном направлении, то горизонтальное смещение 1 должно обращаться в нуль). Найденное выше решение 1= .. г яп(аг — йх) У (31,11) уравнения дЧ д% — — са — '=у яп(а1 — Фх) дта дха не удовлетворяет пограничным условиям (31.10). Решение олнородгшго уравнения — — са — =О, дЧ дЧ дге дх' 2а имеющее тот же период -.= —, что и возмущающая сила, имеет ч вид 5= Аяпа1соз~ — + а +Всозатз1п ~ — +~), ( с ) ~ с где А, В, и и р — произвольные постоянные. Поэтому мы можем написать следующее решение неоднородного уравнения (31,11): , з1п (а1 — Йх)-1- А 3!и Ог соз ~ — +а)+ У l ах -)-Всоза1з(п ~ —.+~).
показывающим, что амплитуда вынужденного колебания булет расти пропорпиопально времени Г. Рассмотрим еше вынужденные колебания в канале конечной длины 1, ограниченном стенками х = + 112, на которых должно поэтому выполняться условие я1 вынужденные кОлеБАния В Клнлллх ностОгнпгОИ глуБгшы 525 Для определения А, В, а и р используем погрзничные условия 131.! 0), которые ладут четыре уравнения 1на кажлом конце полу- чаем два уравнения, так как члены, содержащие яп 01, н члены, содержащие сова1, лолжны обрзтиться в нуль по отлельности); И 1 аг —,сов — + А сов гв — +а) = — О, Исв — а' 2 'в 2с У .и .11 — яп — +Вял~ — +р) = — О, Исв — ав 2 'в 2с г И И Исв — а' 2 сов — +Асов~ — — -г-а =О, 2 ' ) И, ~ И Исв — ав 2 яп — +В51п~ — — +р) =О, 2с Очевидно, мы уловлетворим этим уравнениям, если примем: И И 2 У 2 С05— вгп —— а=р=О, А= —,, —, В = С05— 5гп —— 2с 2с 110 тогда выражение для 1 можем нзписать в виде И .
ах в сов — яп 51 савв яп 1а1 — ггх)— 2 ' с а1 + СПВ— 2с И . ах яп — сов 51 Нп— + — '- „'- ), 131А2) а1 2с г По формуле 131.3) мы определим: И ах ага а 2 сов — в!и И вгп— с сов 1а1 — 1гх) —— Ис' — ав Ггс а1 С05 —, 2с И ах а 2 51П вЂ” С05 51 Сов— с лс И 131. 13) я1п— 2с Мы отметим только одну особенность этих выражении. Если аЕ 51 51п — = О или соз — = О, то величины ! и 1, обращаются в беско2с ' 2с печность.
Это показывает, что при некоторых определенных размерах канала будет происходить явление резонанса и вынужденные колебания будут очень большими. Для наличия этого явления должно быть; 2С 526 волновые движения идалльнап жидкости [гл ши где и — целое число. Решзя зто уравнение относительно С найдем: >31.
14) Это условие можно представить в другом виде. Период возмуп>аюшей силы равен т=2к1а; далее, основной период собстве>ных колебаний жидкости в канале длины 1 был вычислен нами в й 25, формула (25.3): т> = 2!/с; поэтому, выражая с через -. н с через тн получим: (31. 15) Поэтому явление резонанса будет про>кходить для всех тех длин канала, для которых основной период собственных колебаний в целое число раз превышает период возмушаюшей силы. Это обстоятельство является частным случаем общего закона; резонанс происходит, если одни нз периодов собственных колебаний жилкости в данном сосуде в целое число раз превосходит период возмушзюшей силы (в нашем случае все периолы собственных колебаний являются целымн частями основного периода, поэтому если какой-либо период собственных колебаний является целым кратным периода возмущающей силы, то и основной период будет его целым кратным).
ф 32. Статическая теория приливов. Применим предыдущие рассуждения к теории приливов. Предварительно мы изложим так нззываемую ста>лическую теорию приливов, основателями которой являются Ньютон и Даниил Бернулли. Эта теория носит гидростатическнй характер и дает картину явления приливов только в общих чертах. В основе статической теории приливов лежит допущение, что в каждый данныИ момент океан, покрывающий твердую земля> находится в равновесии под действием силы тяжести и возмущаю. ших сил, происходящих от Луны и Солнца.
Поэтому свободная пс. верхность воды примет форму поверхности уровня: )г>х, у, я) = соп$1,, где )à — потенциал всех сил, действующих на жидкость. Мы будем рассматривать только одно возмущающее тело, например Луну, Влияние Солнца учитывается совершенно аналогично, и общее воздействие Луны и Солнца получится как сумма воздействий, оказываемых ими по отдельности. Допустим сначала, что возмущающего тела нет совсем.
Обозначим потенциал силы тяжести (в которую включена и центробежная сила вращения Земли) через 1',(г, с>, ф). Здесь через г, >у и ф обозначены сферические координаты точки, а именно, через г — расстояние ло пентра Земли, через е — широта точки, через ф — западная долгота.
327 а 51 СТАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРИЛИВОВ Г!усть уравнение поверхности океана при отсутствии возмущающего тела есть г=го(Ф Ф) тогда, так как поверхность океана лолжна быть поверхностью уровня, мы должны иметь; Гг,(го, Р, Ф) =сопи. Обозначим еще через Г'т(г, Ф, Ф) потенциал приливообразующей силы Луны. При наличии Луны уравнение поверхности океана будет уже г=го(Ф Ф)+д(Ф Ф) и так как потенциал действующих на океан сил теперь равен Гг,+ Гго, то полино быть: 1'1 (го + Тн т, Ф) + Г"т (га -+ Ь, У, Ф) = с оп 51.
(32. 2) 11а самом деле потенциал силы тяжести )г, изменится вследствие перемещения масс воды, составляющих океан, но этим изменением 1', мы будем пренебрегать. Вычитая из этого уравнения уравнение (32.1), мы получим: 1 1(го+'ь т' Ф) 1 5 (го 9' Ф)+1'о(го+ К т, Ф) = сов51. Вследствие малости высоты приливов й в сравнении с г, можно в функции 1'е заменить го+ й просто на средний радиус земли а; далее, 1 ~(го+" 'т' Ф) )гг(го Ф Ф) = ~ д но — д)гь1дг есть составляющая по радиусу Земли силы, действующей на единицу массы, значит, д)г, У вЂ” — = — У дг поэтому получаем окончательно следующее основное уравнение статической теории приливов: 0 д а уй+ 1'а — — С, (32.3) Рнс. 131, из которого. и может быть вычислена высота приливов. Остается вычислить приливообразующую силу.
Обозначим; рас- стояние от центра Земли О до Луны Ь через О = ОГ. (рис. 181); угол, образуемый ОГ. и радиусом-вектором О(1 =г, проведенным в некото- рую точку жидкости я, через 91 расстояние от Луны до рассматриваемой 828 волиовыв движщзия идвл,чьиоп жидкости (гл щи точки () через аз= ЕЯ, массу Луны через т, массу Земли через М, радиус Земли черев а. Тогда действующая на единицу массы, находящуюся з з,з, сила притяжения к Луне Р определится из следующей пропорции: Р таз Мдз ' ибо сила притяжения прямо пропорциональна массам притягиваюшнхся тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, Поэтому тазаз Р=— Мдз ' Возьмезз пз время оси координат Оху, проведя их, как показано иа рис. 18!.
Тогда проеккии силы Р на оси координат, очевидно, будут: гааза Р— х таза у Рх = Р с052 = Мдз „Ру = Р 51п а = — Мдз д- Так как мы рассчитываем силы, приходящиеся на единицу массы, то таковы же будут и проскпии ускорения жидкой частицы, вызываемого лунным притяжением. Но последнее действует на всю Землю, и если мы предположим, что при вычислении действия Луны па тверд)чо Землю можно считать Землю состоящей из сферических одноролпых слоев, то ускорение Ро, сообщаемое Луной всей Земле меликом, будет определяться по формулам глаза Рох М рз Роу — (). Так как рассматриваются только смешения частиц жидкости относилзельно земного шара, то приливообразующей силой будет являться, очевидно, только разность Р— Р: тай (Р— х 11 таза у Є— Р х ох= М ( дз рз) у Оу= М дз' Ро Достаточно рассмотреть первое приближение: так как г очень мало в сравнении с Е), то угол а очень мал, поэтому Е) — х приблизительно равно аз, но тогда: Р— х 1 1 1 Р' — дз (Р— д) (Р+ д) 2(Р— д) 2х дз рз дз Е)з дзрз дзрз рз рз поэтомУ пРиливообРазУюший потенциал )го надо опРеделЯть из УРавпений: д)зз 2х таза д) "з х таза дх Рз М ду Рз М СТЛТНЧЕГХЛЯ ТРОР1!Я ПРНЛПГОВ '!29 когорые лают: лза'А (г = — — - (2х' — у'), 2 232 !з Заменив, наконец, х и у по формулам х.=гсо59, у=гз)п9 и заметив, что 2хз — уз= г'(2со529 — 5!п29) =-г'(3соз' Ь вЂ” 1), полунж! окончательно: а!3лзгз (г = — —,— — (3 со52 Ь вЂ” 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
