А.В. Финкельштейн, О.Б. Птицын - Физика белка - Курс лекций с цветными и стереоскопическими иллюстрациями и задачами (1123404), страница 96
Текст из файла (страница 96)
е. k ≥ M1/N.Задача 18.3 (сложная)В задаче 16.3 описана «модель случайных энергий» и, в частности, тотвариант этой модели, что широко используется в теоретических исследованиях белков. В нем «нативная» укладка цепи гетерополимера резко отличается от прочих («ненативных») своей высокой стабильностью.Математически эта модель формулируется так: М –1 из M>>>1 укладокцепи гетерополимера обретают свою «случайную» энергию E c вероятностью 462P(E) = (2πσ 2)–1/2 × exp [–E2 / 2σ 2],(18.3.1)а оставшаяся одна («нативная») укладка имеет более низкую, чем всепрочие, энергию EN = EC – |∆E|, гдеEC = –σ (2lnM)1/2(18.3.2)— энергия, типичная для нижней границы «случайного» энергетическогоспектра «ненативных» укладок.
[Здесь и ниже речь идет только о координатной части энергии, энтропии и т. д., т. к. их кинетические составляющиене меняются при конформационных переходах]Эта модель имеет три параметра: М — число укладок цепи гетерополимера; σ — среднеквадратичное отклонение энергий «ненативных» укладокот средней, принятой за 0 величины; |∆E| — ширину энергетической щели,отделяющей «нативную» укладку от «ненативных».Установить, как связаны эти параметры с основными наблюдаемымипараметрами плавления белка: температурой плавления ТМ; теплотой плавления ∆Н; скачком теплоемкости при плавлении, ∆СР.Особо рассмотреть случай «узкой щели», когда |∆E| << |EC|: он, видимо,наиболее характерен для белковых глобул.Решениерассмотрим сначала энергетический спектр «ненативных» укладокцепи.Если P(E) — вероятность того, что данная «ненативная» укладка имеетэнергию E, то mE = (M – 1)P(E)dE ≈ MP(E)dE — среднее число «ненативных» укладок, имеющих энергию в диапазоне E – E + dE.
следовательно, S(E) = k⋅ln(mE) = k(–E2 / 2σ2 + const) — энтропия «ненативных» укладок, имеющих энергию E. Постоянная const определяется из того условия,что S(Eс) = 0, так как спектр энергий ненативных укладок начинается с Eс(и кончается в районе –Eс), а EC = –σ(2lnM)1/2. Итак, энтропия «ненативных» укладокS(E) = k(EC2 / 2σ2 – E2 / 2σ2) ≥ 0(18.3.3)определена в диапазоне энергий Eс ≤ E ≤ –Eс, где существует в достаточноплотный энергетический спектр «ненативных» укладок, а вне этого диапазона «ненативных» укладок нет и там S (E) не определена.каждой энергии E спектра «ненативных» укладок соответствует температура Т(E) = [dS / dE]–1 = σ 2 / (–kE)(18.3.4)(при Eс ≤ E ≤ –Eс), и свободная энергия при этой температуре Т(Е) естьF(E) = E – Т(E) ⋅ S(E) = E + (EC2 – E2) / 2E.(18.3.5)463теперь вернемся к нативной укладке.
Ее энергия EN = EC – |∆E|, а энтропия ее равна 0 (так как она одна); значит, ее свободная энергия равна ENпри любой температуре.термодинамическое равновесие нативной и ненативных укладок наступает при той энергии E ненативных укладок, когда F(E) = EN, т. е.E / 2 + EC2 / (2E) = EN.(18.3.6)решением возникающего при этом уравненияE2 – 2E EN + EC2= 0(18.3.7)E1 = EN + [EN2 – EC2]1/2(18.3.8)является(второй корень, E2 = EN – [EN2 – EC2]1/2, не имеет физического смысла, т.
к.он меньше EN, а при этих энергиях никаких укладок нет вообще).следовательно, теплота плавления∆Н = E1 – EN = [EN2 – EC2]1/2 = |∆E|1/2⋅ [|∆E| + |2EC|]1/2,(18.3.9)температура плавленияТМ = Т(E1) = σ2 / (–kE1) = (σ 2/ k) / [|EC| + |∆E| – ∆H], ∆СР = (dT / dE)–1|E = E1 = kE12 / σ 2,— или, с учетом того, что ТМ ≡ Т (E1) =σ2 / (–kE1),—∆СР = σ 2/ (kТМ2).(18.3.11)Уравнения (18.3.9), (18.3.10), (18.3.11) связывают все три параметра|∆E|, σ и |EC| «модели случайных энергий» с тремя основными наблюдаемыми параметрами плавления белка (∆Н, ТМ, ∆СР), причем соотношение(2lnM)1/2 = |EC| / σ [см. (18.3.2)] позволяет оценить и М, число укладок белковой цепи.Если |∆E| << |EC|, то уравнения (18.3.9), (18.3.10) приобретают совсемпростую форму: ∆Н ≈ |2∆E / EC|1/2⋅|EC|,(18.3.12)ТМ ≈ {σ 2/ (k|EC|)} / {1 – |2∆E / EC|1/2} ={σ 2 /k}/{|EC| - ∆H}.(18.3.13)(18.3.14)|EC| = ∆H + ∆СРТМ,(18.3.15)|∆E| = ½∆H2 / [∆H + ∆СРТМ].(18.3.16)Добавление.Возникает вопрос: можно ли использовать выведенные в этой задачеуравнения для получения параметров М, σ и |∆E| той «модели случайныхэнергий», что соответствует белку, основные термодинамические параметры плавления которого (ТМ, ∆Н, ∆СР) известны из опыта.Ответ:Формально — да.
Однако, к сожалению, это нельзя сделать прямо,без введения дополнительных поправок, так как экспериментальные термодинамические параметры зависят не только от перестроек укладок цепи(принимаемых во внимание моделью случайных энергий), но и от изменения гидрофобных и электростатических взаимодействий с температурой,которое не учитывается моделью случайных энергий, но дает большойвклад в измеряемые величины (в особенности — в величину ∆СР, фигурирующие в каждом из уравнений 18.3.14–18.3.16).(18.3.10)а скачок теплоемкости при плавлении (от CN = dEN / dT ≡ 0 до Cdenat == (dE / dT)|E = E1 = (dT / dE)–1|E = E1) естьσ 2 = (kТМ2) ∆СР,К лекции 19Задача 19.1Предположим, что выбор одной из 2100 структур происходит в 3 кинетических этапа.
На первом цепи выбирают себе какие-то структуры из состоящего из 270 структур поднабора, соответствующего первому интермедиату.На втором, не выходя из этого поднабора, цепи выбирают какие-то из 240структур поднабора, соответствующего второму интермедиату. И на последнем этапе выбирается единственная структура.Предполагается, что в рамках каждого этапа выбор структуры происходит путем полного перебора, а «ложные» (не соответствующие «правильным» интермедиатам сворачивания «правильной» структуры) энергетические минимумы отсутствуют.(а) считая, что переход от структуры к структуре занимает 10–10с, —оценить, сколько времени займет весь процесс.(б) какое падение энергии на первом, втором и третьем этапе требуетсядля того, чтобы цепь не возвращалась на предыдущую стадию? [считать,что kT = 0,6 ккал / моль.]Отсюда:464465Задача 19.3Решение(а) Перебор на первом этапе требует выбора одной структуры из 2100 / 270 =109≈структур; этого достаточно для попадания в 1-й интермедиат.=Этот процесс займет 10-10 с × 109 ~ 0,1 с, если цепь не будет «проваливаться»в не соответствующие «правильному» интермедиату энергетическиеминимумы (а если будет — то больше).
Перебор на втором этапе (этапепопадания во 2-й интермедиат) требует выбора одной структуры из 270 / 240 == 230 ≈ 109 структур; при том же условии, он тоже займет ~ 0,1 с. Переборна третьем этапе требует выбора одной структуры из 240 ≈ 1012 структур:он займет 10-10с × 1012 ~ 100 с (опять-таки при условии отсутствия«неправильных» энергетических минимумов). Итого — порядка 100 секундкак минимум.(б) На первом этапе: хотя бы на kT больше, чем kT ln(230) ≈ 12.5 ккал/моль;на втором: столько же; на третьем: хотя бы на kT больше, чем kT ln (240) ≈≈ 16,7 ккал/моль; итого — не менее 3kT + kT ln (230) ≈ 44 ккал/моль.230Задача 19.2 (сложная)теплоемкость нативной белковой глобулы C = 5 ккал / (к⋅моль) при комнатной температуре.
каков средний размер тепловых флуктуаций энергииE этой глобулы?Решениесредний размер тепловых флуктуаций энергии любой системы,по определению, есть δE = [Σi wi(εi – E)2]1/2, где E = Σi wi⋅εi — средняя энергия системы, εi — энергия i-го микросостояния этой системы, аwi⋅= exp(–εi/ kT) / [Σiexp(–εi/ kT)] — вероятность i-го микросостояния при температуре Т; все суммы здесь берутся по всем микросостояниям рассматриваемой системы. Значит,Вычисленный в предыдущей задаче размер флуктуаций энергии E нативной белковой глобулы много больше, чем разность свободных энергийденатурированного и нативного белка, составляющая около 10 ккал / мольпри комнатной температуре.
Почему эти тепловые флуктуации не разваливают нативную глобулу?РешениеЭнергия тепловых флуктуаций нативного состояния белка действительно может превзойти разность свободных энергий денатурированногои нативного белка, причем энергия нативного состояния, возбужденноготепловыми флуктуациями, может превзойти среднюю энергию денатурированного состояния белка (разность средних энергий этих состояний составляет всего ~ 10 ккал / моль в точке максимальной стабильности белка,см. задачу 17.5, хотя при температуре теплового плавления она на порядок больше).Однако тепловые флуктуации не разваливают нативную глобулу, таккак нативное состояние (включая его флуктуации) занимает одну областьконформационного пространства, а денатурированные состояния занимаютдругую область этого пространства.
Переход же из одной области в другую(поскольку в белках это — переход типа «все-или-ничего») требует преодоления активационного барьера, причем это требует не только подъема энергии, но движения не в любую сторону, а лишь в определенном, ведущемк другому состоянию направлении (что ограничивает энтропию переходного состояния).Впрочем, нельзя сказать, что тепловые флуктуации вовсе не могут разрушить стабильную нативную глобулу: изредка и на короткое время им этоудается — см. задачу 20.3.δE2 = Σi wi⋅εi2 – (Σi wi⋅εi)2.К лекции 20В то же время, теплоемкость системыС = dE / dT = Σi (dwi/ dT)εi = Σi wi ⋅εi/ kT2 – (Σi wi⋅εi)2 / kT2. следовательно,С = δE2 / kT2 и δE = [С⋅kT2]1/2. При С = 5 ккал /( к· моль) и T = 300 к, δE = 30 ккал / моль.466Задача 20.1Предположим, что в неком белке мутация одного аминокислотногоостатка дала тот сдвиг шевронного графика мутанта относительно шевронного графика белка «дикого типа» (д. т.), что показан на схеме а, а мутациядругого — тот, что показан на схеме б.Что мы можем сказать о вовлеченности этих остатков в ядро сворачивания белка?467(ж) как выглядит процесс сворачивания-разворачивания отдельной молекулы этого же белка, если, в описанном выше опыте, мы долго следимза отдельной молекулой белка?РешениеРешениеПоказанный на схеме а сдвиг шевронного графика свидетельствуетоб изменении скорости сворачивания (kf) при практическом отсутствииизменения скорости разворачивания (ku) белка.
Значит, мутация влияетна стабильность ядра сворачивания так же, как на стабильность нативнойструктуры белка, определяемую соотношением kf / ku. Значит, первыйрассматриваемый остаток в это ядро вовлечен полностью.Обратная ситуация, показанная на схеме б, свидетельствует, что второйрассматриваемый остаток в это ядро не вовлечен совсем.Задача 20.2В точке термодинамического равновесия нативного и развернутого состояний лизоцима, каждая молекула которого испытывает переход типа«все-или-ничего», скорость приближения раствора белка к равновесию состояний равна примерно 0,0003 с–1 (см.
рис. 20-4).(а) какова при этом скорость сворачивания белка?(б) каково характерное время сворачивания белка?(в) какова скорость и каково характерное время разворачивания белка?(г) как выглядит кинетика процесса приближения раствора белка к равновесию, если белок первоначально находился в 8М растворе мочевины,а в момент времени «0» этот раствор был разбавлен водой до концентрации4.2 М мочевины, соответствующей точке термодинамического равновесиянативного и развернутого состояний белка?(д) как выглядит процесс сворачивания-разворачивания, если, в описанном выше опыте, мы долго следим за отдельной молекулой белка?(е) как выглядит кинетика процесса приближения раствора белкак равновесию, если белок первоначально находился в чистой воде, а в момент времени «0» в этот раствор влили мочевину, доведя ее концентрациюдо 4,2 М, что соответствует точке термодинамического равновесия нативного и развернутого состояний белка?468(а) скорость сворачивания белка: ½ × (скорость приближения к равновесию) = 0,00015 с–1.(б) Характерное время сворачивания белка: 1/(скорость сворачиваниябелка) = 6,7 × 103 с ≈ 2 часа.(в) В точке термодинамического равновесия скорость разворачиванияравна скорости сворачивания, т.
е. она равна 0,00015 с–1, характерное времяразворачивания есть 1 / 0,00015 с-1 = 6,7 × 103 с ≈ 2 часа.(г) доля нативного белка: = 0 до момента «0» разбавления мочевины,а после него (в точке термодинамического равновесия нативного и денатурированного белка) эта доля составляет 0,5 × [1 – exp (–0,00015⋅t)], гдеt — время (в секундах), прошедшее после момента «0».(д) После разбавления мочевины отдельная молекула белка остаетсяразвернутой порядка двух часов, потом практически мгновенно сворачивается, потом остается свернутой порядка двух часов, потом практическимгновенно разворачивается, потом остается развернутой порядка двух часов, потом практически мгновенно сворачивается… и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
