А.В. Финкельштейн, О.Б. Птицын - Физика белка - Курс лекций с цветными и стереоскопическими иллюстрациями и задачами (1123404), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Переход от одногообъема v1 к соседнему требует смещения на расстояние ~(v1)1/3. согласноуравнению (8.20), время такого элементарного перехода путем диффузииесть t1 ≈ (v1)2/3 / [2kT / πDη]. Полное же время поиска своего «сайта связывания» путем диффузии в объеме V займет время t ~ t1 [V / v1] = (v1)2/3 / [2kT / πDη]× (V / v1) = V (πη / 2kT) (D / v11/3).Величина πη / 2kT = 0,4 × 10–9 с / нм3 = 0,4 с / мк3, если η ≈ 0,01 г / (см⋅с)и T = 300 к [см. 8.21 и 8.22].Значит, t ~ 0,4 с / мк3 × V (D / v11/3), и, при V = 1 мк3, D = 30 Å и v1 = 30 Å3,(D / v11/3) ≈ 10, время поиска сайта t ~ 4с.Задача 8.10считаем, что протон мгновенно связывается с центром его связыванияпосле того, как он подойдет к этому центру на расстояние заметного электростатического взаимодействия, где электростатическая энергия порядка kT.За какое время центр связывания протона поймает протон в водепри 27 °с и рН7?РешениеВремя связывания протона: ~ 10–3 с.Пояснения.Формула t ~ 0,4 с / мк3 × V(D / v11/3) получена в задаче 8.9.
Осталосьопределить V, D, v11/3.так как протон Н+ путешествует по воде в виде (Н3О)+, можно считать,что D ≈ 3 Å.433так как Н+ «чувствует» отрицательный заряд своего акцептора на расстоянии r ≈ 8Å от последнего (где энергия взаимодействия e2 / εr = kT),то v11/3 ≈ 16 Å.V = 1/(10–7моль/литр) = 107 литр/моль = 107 × 1015 мк3/6 × 1023 ≈ 1/60 мк3.К лекции 9Задача 9.1какова константа равновесия К (спираль / клубок) между спиральными клубковым состоянием цепи в куске из n = 23 звеньев, если фактор элонгации спирали s = 1,1, фактор инициации спирали σ = 0,001, а рассматриваемый кусок окружен в своей цепи:(а) клубковыми участками и с N-, и с с-конца;(б) клубковым участком с N- и спиральным участком с с-конца;(в) спиральным участком с N- и клубковым участком с с-конца;(г) спиральными участками и с N-, и с с-конца.для случая (а) оценить также минимальную длину стабильной спирали,положение концов которой в полипептидной цепи не флуктуирует.РешениеК (спираль/клубок) = σsn = 0,009 в случае (а), когда образование спиралидобавляет две границы (в ее начале и в ее конце) спирали и клубка; при этомминимальная длина стабильной спирали, положение концов которой в полипептидной цепи не флуктуирует, составляет –ln(σ)/ln(s) ≈ 73 остатка.
Обратите внимание, что длина стабильной спирали с флуктуирующими концамимного меньше даже при s = 1, где она составляет (см. (9.6)) лишь σ –1/2 ≈ 32.К (спираль / клубок) = sn = 9 в случаях (б), (в), когда удлинение спиралине меняет число границ спирали и клубка.К (спираль / клубок) = σ-1sn = 9000 в случае (г), когда образование спирали ликвидирует две границы спирали и клубка.Задача 9.2 (довольно сложная)Предположим, что в системе имеется очень большое число M частиц,что время инициации некой структуры вокруг данной частицы равно tinit,причем tinit много больше, чем характерное время вовлечения еще однойчастицы в уже растущую структуру.Оцените характерное время, за которое возникающая структура охватитпрактически всю систему:434(а) если время присоединения новой частицы к растущей структуре равно τ вне зависимости от размера этой структуры?(б) если скорость присоединения новой частицы к растущей структуре, уже охватившей m частиц, растет пропорционально поверхности этойструктуры (т.
е. пропорционально m2/3 в трехмерном пространстве), а времяприсоединения одной новой частицы, соответственно, падает как τ / m2/3?РешениеХарактерное время перехода всех частиц в новую структуру составляет:(а) ~ tinit / M при M < (tinit / τ)1/2;~ τ(tinit / τ)1/2 при M ≥ (tinit / τ)1/2.(б) ~ tinit / M при M < (tinit / τ) 3/4;~ τ(tinit / τ)1/4 при M ≥ (tinit / τ)3/4.Объяснение.
рассмотрим проблему в общем виде. Время присоединения одной новой частицы к растущей структуре, уже охватившей m частиц,составляет τ / mL [где L = 0 в одномерном случае (а), и L = 2 / 3 в трехмерномслучае (б)]. тогда время, за которое в растущую структуру (после ее инициации) включится m частиц, составляетm∫ (τ / mL1)dm1 = τ ⋅ m1− L / (1 − L) [т. е.0τ⋅m в случае (а) и 3τ⋅m1/3 в случае (б)].Предположим, что один центр инициации втягивает в структуру, в концеконцов, m частиц. тогда на образование этой структуры уйдет время t(m) == tinit / m + τ⋅m1-L / (1 – L) — так как тó, что центр инициации может находиться в любой из m частиц финальной структуры, ускорит инициациюв m раз, а дальнейшее распространение структуры на m частиц займетτm1–L / (1 – L).Видно, что инициация занимает основное время при малых m, а распространение — при больших m.
Видно также, что образование структурызаймет меньше всего времени, когда в эту структуру вовлечено такое числочастиц N, что d [t(m)] / dm|m=N = 0, т. е. когда –tinit / N2 + τ / NL = 0. Итак, N =(tinit / τ)1/(2 – L) [т. е. N = (tinit / τ)1/2 в случае (а) и N = (tinit / τ)3/4 в случае (б)].следовательно: при M < N время экспансии второстепенно, и весь процесс в целом определяется временем инициации М-частичной структуры,т.
е. он занимает ~tinit / M и в случае (а), и в случае (б). — Однако при M > Nсистема разбивается на ~M / N доменов, где структурообразование происходит независимо и — в каждом ~N-частичном домене — занимает времяпорядка1− L2−Lτ ( tinit / τ ) / N + N 1− L / (1 − L) =τ ⋅ ( tinit / τ ) 2 − L ,1− L4351− Lт. е. ~ τ ⋅ ( tinit / τ ) 2 − L (множителем (2 – L) / (1 – L) можно пренебречь: в обоихслучаях он ~1).
Значит (ввиду независимости того, что происходит в одном1− Lдомене, от происходящего в другом) — за то же время ~ τ ⋅ ( tinit / τ ) 2 − L возникающие структуры охватят практически всю систему в целом. [В железе и многих других твердых телах хорошо видна стохастическая доменная структура, возникающая вследствие такого процесса. Однако доменыв белках имеют другое происхождение, так как они возникают не в «случайных», а в точно определенных местах цепи.]Задача 9.3 (довольно сложная)свободная энергия клубка равна 0, свободная энергия изгиба U = +3ккал / моль, добавочная свободная энергия края β-листа Δfβ = +0,3 ккал / моль,а свободная энергия остатка в центре β-листа fβ равна: (а) –0,54 ккал / моль;(б) –0,18 ккал / моль; (в) –0,06 ккал / моль.Оценить минимальный размер цепи, в которой такой β-лист может бытьстабильным, и, считая, что время элонгации β-листа на один остаток τβ = 10–8 с,оценить время образования β-листа в цепи из такого числа аминокислотных остатков при температуре T=300 K.
Числом аминокислотных остатковв β-изгибе пренебречь. Не β-структурными взаимодействиями и взаимодействием между разными цепями (агрегацией и т. д.) тоже пренебречь.РешениеПредварительно отметим, что данные в задаче величины отвечают условиям fβ < 0 (в противном случае β-лист нестабилен) и fβ > -2Δfβ (в противном случае клубок нестабилен против отдельного β-тяжа).рассмотрим теперь возможность образования отдельной стабильнойβ-шпильки.Условие этого — Δfβ + fβ < 0.
Ему отвечает только случай (а). Минимальное число M звеньев в цепи при этом находится из условия M (Δfβ ++ fβ) + U = 0, что, при заданных в случае (а) значениях U, Δfβ, fβ, приводит —для шпильки — к Mmin = 12,5.Максимум свободной энергии (#) при инициации β-шпильки приходится на образование изгиба.
Поэтому ΔF# = U, а время инициации β-шпилькив одной точке цепи есть: τβ ехр (+U / kT) ≈ 1,5 × 10–6с.так как после инициации β-шпилька охватывает все Mmin звеньев цепиочень быстро, за τβ⋅Mmin ≈ 10–7с, то τβ ехр (+U / kT) и есть, фактически, времяобразования стабильной β-шпильки в столь короткой цепи, что, только перегнутая пополам, она образует стабильную шпильку: этот процесс можетначинаться с изгиба только в одной ее точке — в центре цепи.436Это отличает β-шпильку от спирали, которая с равным успехом можетначать сворачиваться с любой точки цепи.теперь рассмотрим образование β-листов.Минимальное число Mmin звеньев в цепи, в которой β-лист с заданными значениями U, Δfβ, fβ может быть стабильным, находится из уравнения(9.11) при условии равенства нулю свободной энергии β-листа, условии(9.12) и вышеупомянутом условии fβ > –2UΔfβ.Получаем:Mmin = [2UΔfβ / (–fβ)2] ⋅ {1 + [1 + ½fβ /Δfβ)]1/2}2.(9.3.1)(Второй корень, [2UΔfβ/(-fβ)2]⋅{1 - [1 – ½fβ/Δfβ)]1/2}2 привел бы к тому, чточисло β-тяжей в листе m = 2/{1 + [1 + ½fβ/Δfβ)]1/2} < 2, что невозможно.)то есть:(а) Mmin ≈ 11 звеньев при U = +3 ккал / моль, Δfβ = +0,3 ккал / моль,fβ = –0,54 ккал / моль;(б) Mmin ≈ 190 звеньев при U = +3 ккал / моль, Δfβ = +0,3 ккал / моль,fβ = –0,18 ккал / моль;(в) Mmin ≈ 1900 звеньев при U = +3 ккал / моль, Δfβ = +0,3 ккал / моль,fβ = –0,06 ккал / моль.свободную энергию инициации β-листа (ΔF#) и время инициацииβ-листа в одной точке цепи находим по формулам (9.10), (9.15),tinit_β ~ τβ exp {+ΔF#/ kT} = τβ exp{+[2UΔfβ / (–fβ)] / kT},(9.3.2)а время образования β-листа путем его инициации в какой-то точке цепии его дальнейшего роста естьtβ ~ tinit_β / M + Mτβ.Инициация образования β-структуры во многих точках, возможнаятолько если τβ / M << Mτβ, т.
е. если exp ([2UΔfβ / (–fβ)] / kT) << M2, практически исключена во всех рассматриваемых случаях (проверьте на числах!).Получаем:(а) ΔF# ≈ 1,1U = 3.3 ккал / моль, tinit_β ~ 2,5 × 10–6с, tβ ~ 0,5 × 10–6с (произвольный лист образуется чуть быстрее, чем четко очерченная отдельнаяшпилька);(б) ΔF# ≈ 3,3U = 10 ккал / моль, tinit_β ~ 0,2 с, tβ ~ 1 × 10–3с;(в) ΔF# ≈ 10U = 30 ккал / моль, tinit_β ~ 5 × 1013с, tβ ~ 2 × 1010с.Задача 9.4Предполагая, что (–fβ / ) / (2Δfβ) << 1, исключить величину fβ из уравнений(9.3.1), (9.3.2) и связать между собой полученные в предыдущей задаче величины tinit_β / τ β и Mmin.437РешениеПри (–fβ / ) / (2Δfβ) << 1, Mmin ≈ [8UΔfβ / (–fβ)2], т. е. (–fβ) ≈ [8UΔfβ / Mmin]1/2,так что2UΔfβ / (–fβ) ≈ (UΔfβ / 2)1/2Mmin1/2,tinit_β / τ β ~ exp[U ∆f β / 2kT× M min ] ,(9.4.1)т.
е. время образования β-структуры экспоненциально растет с корнемквадратным из числа аминокислотных остатков в минимальном стабильном β-листе — фактически, с потерей свободной энергии на периметретакого β-листа, растущей пропорционально M1 / 2.Задача 9.5Вклад аминокислотного остатка в контурную длину цепи составляетоколо 3,5 Å, а длина куновского сегмента (т. е. расстояние, на котором цепь«помнит» свое направление) — 35 Å. каково расстояние между концамиклубкообразной цепи (т.
е., примерно, диаметр клубка) из 150 аминокислотных остатков?Решениеквадрат расстояния между концами клубкообразной цепи L2 = 3,5Å ×× 150 × 35 Å = 18375,5 Å2.Значит, L ≈ 136Å.К лекции 10Решение(а) 140 Å3; (б) 34 Å; (в) ≈ 1 : 4; (г) глобулы начинают интенсивносоприкасаться при концентрации ~650 мг / мл (= 0,04 моль_цепей / литр),клубки — при ~10 мг / мл (= 0,0006 моль_цепей / литр).Пояснение:Если ρ — плотность белка, а m — средний молекулярный вес аминокислотного остатка, то его объемV = m / ρ = 110 г/моль/1,3 г/см3 = = [110 г/(0,6 × 1024)]/[1,3г/(1024Å3)] ≈ 140 Å3.диаметр глобулы из 150 аминокислотных остатков D = (150 × 140Å3 ×× 6 / π)1/3 ≈ 34 Å3. Это — в 4 раза меньше, чем диаметр клубка из той жецепи (см. задачу 9.5), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
