Лекции Рубина (1123233), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Мы увидим, что регуляция даже сравнительно простых ферментативных процессов указанными способами приводитк появлению нетривиальных типов динамического поведения.39Открытая ферментюпвная система с субстратным угнетениемkвключает необратимую реакцию притока субстрата(S0 ~S),оттокаk,продукта( Р~)из сферы реакции и образования неактивного комплек-саk1S0~k2k4S +E~ES~E+ Р~,k_1(3.11)kз2ES+S~ES •k_3Скорость vp образования продукта в схеме(3.11) имеет вид, отлич(3.10), а именноный от стационарного уравнения Михаэлиса-МентенVp=2sKм+S+ks(3.12)где ks= kfkз.
Заметим, что члены, содержащие S во второй степени(S/k), обусловливают сильную нелинейность системы и появлениев уравнениях кубичных членов (s'). При малых S (S « 1), когда величиной S2/ks в знаменателе можно пренебречь, уравнения (3.11) и(3.12) совпадают. Однако при росте S образуется уже неактивный комплекс ES и скорость образования продукта vp~ О при S ~ оо. Графикзависимости vp(S) имеет вид колоколообразной кривой с максимумом.Скорость изменения субстрата концентрации S складывается из скорости v8 притока его извне vnplfГvnplfГS) =а= k (So -(3.13)- kSоттока в ходе ферментативной реакцииV5=VnplfГ-( v0тт=vр):Vp.График зависимостиvnplfГ=а- kSимеет вид прямой линии. Встационарном состоянии в открытой системе(3.11 ),когда концентрациясубстрата поддерживается постоянной, должно выполняться равенствоVnplfГ -Vp=О.Стационарные точкиресечения кривых40vp(S)Sприv s = О представляют собой точки пеи vnpm(S).
На рис.3.3различным значениям асоответствует семейство параллельных прямых. Изменяя а или внешнюю концентрацию субстратаSo, легковидеть, что система может иметьот одного до трех стационарных состояний.Изменяя значение управляющего параметра а, можно менять число стационарных точек. В интервале а 2<а<а 4 каждому значению аотвечают три различных стационарных состояния системы,а2 и а4,приа значениякоторых изменяется число стационарных точек,являютсябифуркационными.f1np="'-kSsРис.3.3.Зависимость числа стационарных состояний от значенийпараметра а и их устойчивость в системе с субстратным угнетениеми обратимым притоком субстратаСтационарные точки отличаются по своей устойчивости. Так приа=азиз трех стационарных точектойчива, аs;иs;S"3иS{"точкаS{'неус-устойчивы. В этом легко убедиться проведя анаS{' -лиз на устойчивость (см.
рис.3.4). В самом деле, пусть в результате некоторого отклонения ЛS<s; величина S сталаs; . В области S < s; скорость притоО от стационарной точкименьше стационарного значенияка субстрата больше скорости его оттока( vnplfГ > vp)и, следовательно,переменная S будет расти, вновь приближаясь к S{ .
Если же отклоне-41s > s;ние ОТ стационарной ТОЧКИ ЛS> О, т. е.vp иSs; .будет уменьшаться, возвращаясь к стационарному значениюТаким образом, при любом отклонении отs;'ТО в этой области VnplfГ<стационарного состояниясистема будет в него возвращаться и, следовательно, состояниеs;устойчиво. Аналогичные рассуждения показывают, что точкаs;тойчива, астроитьнеусустойчива. У СТОЙЧИВЫе ТОЧКИ расположены на Кр ИВОЙ11-на участках АВ иvp(S)1s;графика неустойчивые на участке ВС. Можно поCD,S3 (азависимости)от величины управляющего параметра а.
Изстационарныхрис. 3.4 видно,состоянийкак при изменении а система может переключаться из одного устойчивого режимав другой.Предположим, что в исходном состоянии система находится в точке А на верхней ветви кривойS 3 (а).При снижении скорости притока иуменьшении а система будет "перемещаться" влево вдоль верхней устойчивой ветви АВ стационарных состояний. При достижении бифуркационного значения параметра а 2 система покинет неустойчивую точку В исовершит скачкообразный переход В ~Dна нижнюю ветвь устойчивыхстационарных состояний. Увеличивая вновь значение параметра от а 2до а1, можно перевести систему вдоль устойчивой ветвиDC добифуркационной точки С.
После достижения этой точки система скачкообразновернется в исходное состояние на верхнюю ветвь АВ.Таким образом, наша система может функционировать в одном издвух устойчивых стационарных состояний и, следовательно, она обладает триггерными свойствами. Направление переходов и реализация одного или другого устойчивого состояния зависятуменьшениеилиние параметра. Это свойство системы-совершатьот того,происходитувеличе-различнымиS(a)путями переход ИЗ ОДНОГО СОСТОЯНИЯ вдругоевзависимостиот предыдущего увеличенияАВ)илиуменьшения(DC ~DC)(АВ ~параметра или от предыстории системы-называется гистерезисом.Периодическоедвижениевдольгистерезисного цикла А ~ В ~~ С ~ АноситDколебательныйхарактер.Сильнаянелинейность,обусловленная механизмами субстратного42угнетения,атакженаличие"·"':1."з"4«s "'Рис.3.4.
Кривая стационарныхсостояний S (а) в системе с субстратным угнетением и обратимым притоком субстратабыстрых и медленных переменных служат причиной появления в системе множественных стационарных состояний и триггерных и гистерезисных свойств.Колебания в ферментативных системах обусловлены аналогичными причинами. Поскольку в ферментативных система обычно концентрация субстрата намного превышает концентрацию фермента, тоэто создает условие существования двух сильно различающихся масппабов времени для субстрата и ферментсодержащих комплексов. Для незатухающих колебаний непременным условием является открытый характер системы, поскольку в замкнутых ферментативных системах наблюдаются лишь затухающие колебания.Наиболее распространенная причина нелинейности биохимических систем связана с наличием обратных связей в цепи реакций, когдапродукт угнетает или активирует реакцию, а также при условии субстратного угнетения.
Эти факторы оказывают сильное дестабилизирующее действие на системы, способствуя появлению в ней неустойчивойособой точки, около которой может образовываться предельный цикл.У слови ем устойчивого автоколебательного режима является наличиенеустойчивости в системе.Рассмотрим схему реакции с субстратным и продуктным угнетением(3.14)Изменениеконцентрациймедленныхпеременныхпродуктаи субстрата описывается уравнениямиdSdt=dP-dtV1-v(S,P),(3.15)= v(S,P)-Заметим, чтовеличин ( S / S,S,V2.Р должны быть представлены в виде безразмерныхР/ Р).Однако для простоты мы везде опускаем операцию введения безразмерных переменных.
В этой системе угнетение происходит в результате неконкурентного ингибирования продуктом и субстратом по схемеS+ES?.ESS,P+ES~ESP,Р+Е~ЕР,P+ESS~ESSP43В случае, когда реакция притокасубстратаобратима,отток продукта линейный. Зависимостьv(S)носитвидS=Oрколоколообразной~-----7."])кривой с максимумом.Анализ показывает, что числостационарных состояний системы иих устойчивость зависят от глубиныпродуктного угнетения. При слабомугнетениипродуктомsотносительнаяконцентрация субстрата будет быстРис.на фазовой плоскостирой переменной по сравнению с концентрациейсистемепродукта.Приэтом3.5. Предельный циклмыв(3.14)систепри малой глубинепродуктного угнетенияреализуется единственноестационарноенеустойчивоесостоя-ние, расположенное на неустойчивой части характеристикиv(S).В системе возникают автоколебания вокруг неустойчивого состояния на фазовой плоскостиS,Р (рис.3.5) при движенииее вдоль цикла С ~А ~~ В ~ С.
Точки А и В лежат на границах устойчивых (АС иустойчивой (АВ) ветвей квазистационарной кривой(SDB)Dи не=О). Движение поветви СА совершается по направлению к точке А( С ~А) с накоплениемпродукта, так как в области СА скорость v2 оттока продукта меньше скорости его образования. В критической точке А при v=v2 система теряет устойчивость и скачком переходит в точкуDветвиDB,на которойскорость оттока v2 становится больше скорости реакции. Вследствие этого концентрация продукта начинает вновь убывать, а скоростьДостигнувточкиВ( v=v2),система вновьтеряетv растет.устойчивостьи"срывается" в быстрое движение по направлению к исходной точке С.Далее цикл повторяется, а система совершает автоколебания.Общие условия возникновения колебаний в ферментативных реакциях предполагают наличие большого числа промежуточных стадий воткрытой цепи. Анализ показал, что это реализуется в полиферментныхкольцевых системах, где конечный продукт влияет на скорость начальной стадии.
Эти системы называются кольцевыми.UoU1U2ttЕ1UnU3---+So---+S1---+S2---+ ... Sп---+.Е,(3.16)1Стрелка обратной связи показывает угнетающее влияние конечного продукта на активность ключевого фермента Е1.Нелинейная кинетика, регуляция по принципу обратной связи, иерархия характерных времен, изменения переменных определяют различные типы динамического поведения биологических процессов. Отлич-44ные по своей природе биологические процессы характеризуются тем неменее близкими динамическими свойствами, типологически сходнымифазовыми портретами и их зависимостями от управляющих параметров.На основании этого возможно разработать классификации биохимических систем по типам их динамического поведения. Например, несколько типовых математических моделей, аналогичных по своей структуресхеме(3.14),к которым можно свести различные кинетические схемыдля сравнительного изучения параметрических характеристик их динамического поведения.45Лекция4.РАСПРЕДЕЛЕННЫЕБИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫРассмотрим модели, где переменные изменяются не только вовремени, но и в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
