А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Именно такая ситуация характерна для тяжелых атомов, например, для атома ртути, у которого линия с нарушениеминтеркомбинационного запрета является почти такой же интенсивной, как и переходыбез изменения спина.12.1.12.2.12.3.12.4.12.5.12.6.12.7.Задачи.Электрон находится в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме восновном состоянии. Определить вероятность перехода за импульс в первое возбужденное состояние под действием лазерного импульса гауссовой формы⎛ t2 ⎞E = E 0 exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟ cos(ω 0 t ) .
Считать, что ω0 τ >> 1 , ω0 ≈ ω 21 . Как и почему веро⎝ 2τ ⎠ятность возбуждения зависит от длительности лазерного импульса?Сформулировать правила отбора для заряженной частицы, находящейся в одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме.Определить длины волн головных линий серии Лаймана и серии Бальмера в спектре атома водорода.Спектральные линии каких серий могут возникнуть при возбуждении атомов натрия и калия в состояние 5s ?Сколько компонент имеют линии диффузной серии в атомах щелочных металлов?Какие излучательные переходы возможны при возбуждении атома гелия в состояния, принадлежащие конфигурации 1s3d ?Определить все возможные термы атома углерода для электронных конфигураций 1s 2 2s 2 2 p 1 4l ( l - любое возможное орбитальное квантовое число).
Указатьвсе возможные электромагнитные переходы между термами заданных конфигураций и основным термом конфигурации 1s 2 2s 2 2 p 2 .170171Лекция 13.Квантовое электромагнитное поле и его взаимодействие с атомом.Рассмотренная нами теория взаимодействия квантовой системы с электромагнитным полем позволяет описать широкий круг различных процессов, но является, однако,неудовлетворительной.
Действительно, основной результат теории заключался в том,что под действием внешнего электромагнитного поля между стационарными состояниями атомного гамильтониана происходят переходы, вероятность которых определяетсявыражением (см. Л_12)w fi =4π 2 d fi2I ω = B fi I ω .3ch 2В отсутствие внешнего воздействия ( I ω = 0 ) переходы не происходят. Это выглядит совершенно естественным. Полный гамильтониан системы совпадает с атомным, и общеерешение нестационарного уравнения Шредингера имеет видrr⎛ i⎞ψ (r , t ) = ψ i (r ) exp⎜ − Ei t ⎟ ,⎝ h⎠то есть система неограниченно долго будет оставаться в начальном стационарном состоянии. Однако, мы знаем, что даже для изолированного атома время жизни в возбужденном состоянии конечно.
Рано или поздно, он испускает квант и переходит в нижележащее состояние. Опыт подсказывает, что у атома, строго говоря, существует единственное стационарное состояние – основное. Процесс испускания кванта света атомом вотсутствие внешнего воздействия называют спонтанным переходом (распадом). Мыдолжны признать, что существование спонтанных переходов противоречит развитой нами теории и, прежде всего, понятию стационарного состояния.Что именно принципиально важное не было учтено? Ответ на это вопрос заключается в следующем. Построенная нами в Л_12 теория взаимодействия атома с полемизлучения является полуклассической.
А именно, атом мы описывали квантовомеханически, а электромагнитное поле – в рамках классических представлений. Действительно,r rr rэлектромагнитное поле мы описывали функциями Ε (r , t ) и Η (r , t ) , точно также как этоделается в классической теории. Нам необходимо построить теперь квантовую теориюэлектромагнитного поля, а затем рассмотреть задачу о взаимодействии двух подсистем –атома и электромагнитного поля с позиций квантовой механики.
При этом старая полуклассическая теория должна оказаться частным случаем новой, когда состояние электромагнитного поля, как квантового объекта, может быть описано в классическом пределе. Естественно, при таком последовательном квантовом подходе можно ожидать появления нового круга эффектов, существование которых не понятно в рамках традиционного полуклассического подхода.Электромагнитное поле, как квантовый объект.При обсуждении проблемы равновесного электромагнитного излучения в полости (см.
Л_1) мы уже говорили о том, что свободное электромагнитное поле в произвольном объеме может быть представлено в виде совокупности бесконечно большого числаполевых мод – осцилляторов поля. Рассмотрим теперь этот вопрос чуть подробнее. Будем, как и раньше, считать, что электромагнитное поле находится в кубическом объеме с171172зеркальными стенками (размер стенки куба L)1. Тогда в кулоновской калибровке потенциалаrdivA = 0(13.1)напряженности электрического и магнитногополей определяются какrrrr1 ∂AΕ =−, Η = rotA(13.2)c ∂tи а сам векторный потенциал удовлетворяетволновому уравнениюr2r1 ∂ A∇2 A − 2 2 = 0 .(13.3)c ∂tБудем искать решение этого уравнения в виде разложения по стоячим волнам (полевыммодам)2r rr rrA(r , t ) = ∑ eλ a kλ (t ) cos(k λ r ) ,(13.4)k ,λrrгде k - волновой вектор стоячей волны, eλ - единичный вектор поляризации.
С учетом(13.4) выражения для напряженностей электрического и магнитного полей имеют видr rr r1 rΕ (r , t ) = − ∑ eλ a& kλ (t ) cos(k λ r ) ,(13.5)c k ,λr rr rr rΗ (r , t ) = −∑ k × eλ a kλ (t ) sin( k λ r ) .(13.6)k ,λ[]Подставляя разложение (13.4) в уравнение (13.3), получим, что a kλ (t ) , удовлетворяют уравнению гармонического осциллятора.d 2 a kλ+ ω 2k a kλ = 0 ,(13.7)dt 2причем ω k = kc . Аналогичное уравнение нетрудно получить и для величиныε kλ = − a& kλ c , определяющей напряженность электрического поля в моде с волновымrвектором k и состоянием поляризации λ :d 2 ε kλ+ ω 2k ε kλ = 0 .(13.8)2dtВычисление энергии электромагнитного поля в объеме L3 даетε k2λ + ω k2 a k2λL3Ε2 +Η 2H =∫dV =.(13.9)∑8π28πc 2 k ,λЗдесь мы учли, что rr sr sr rs22∫ cos (k λ r )dV = ∫ sin (k λ r )dV = 1 2 , ∫ cos(k λ r ) cos(k 'λ ' r )dV = 0 .Таким образом, выражение (13.9) показывает, что функция Гамильтона свободного электромагнитного поля представим в виде суммы гамильтонианов гармоническихосцилляторов, каждый из которых соответствует определенной полевой моде.
Поэтомупро разложение (13.4) часто говорят как о разложении поля на осцилляторы. Число по-1При изучении электромагнитных явлений в свободном пространстве размер куба может быть выбрандостаточно большим, так чтобы на временах рассмотрения конкретного процесса волновое возмущение,распространяясь в пространстве со скоростью света, не достигало границ нашего объема.2Вместо разложения по стоячим волнам часто используют эквивалентное ему разложение по бегущимволнам.172173левых мод в (13.4), (13.9) бесконечно велико. В этом смысле об электромагнитном полеговорят, как о системе с бесконечно большим числом степеней свободы.В дальнейшем для определенности выберем какую-либо одну степень свободы сrволновым вектором k и заданным состоянием поляризации.
Запишем функцию Гамильтона для этой моды в видеL3 ε 2 + ω 2 a 2H=,(13.10)28πc 2где a (t ) и ε(t ) определяют значения векторного потенциала и напряженности электрического поля в выбранной полевой моде3. Сравнивая выражение (13.10) с выражениемдля функции Гамильтона «обычного» гармонического осциллятораp 2 mω 2 x 2H=+,(13.11)2m2замечаем, что векторный потенциал a фактически играет роль «координаты» полевогоосциллятора, а электрическое поле ε - «импульса». Сходство выражений (13.10) и(13.11) можно сделать еще более полным, если перейти к безразмерным переменным.Введем безразмерные координату и импульс в соответствии с соотношениями~x = x x0 , ~p = p p0 ,где x * = h mω , p * = hmω . Тогда в безразмерных переменных функция Гамильтона(13.11) переписывается в виде~p2 + ~x2H = hω.(13.12)2Аналогично, обезразмеривая векторный потенциал a~ = a a * и напряженность электрического поля ~ε = ε ε * на величины4ε0 =4πhω, ωa 0 / c =L34πhω,L3(13.13)получим~ε 2 + a~ 2.(13.14)2Заметим, что в силу симметрии функции Гамильтона относительно замены импульса накоординату и наоборот, мы можем считать, что в выражении (13.14) электрическое полеимеет смысл координаты, а векторный потенциал – импульса.Переход от классической теории к квантовой осуществляется заменой соответствующих величин операторами.
Поэтому, аналогично тому, как нами были введены операторы импульса и координаты~x → xˆ , ~p → pˆ = −i ∂ ∂~x,мы можем ввести полевые операторы ε̂ и â :~ε → εˆ , a~ → aˆ = −i ∂ ∂~ε .Тогда с учетом (13.14)⎞εˆ 2 + aˆ 2 hω ⎛ ∂ 2⎜⎜ − 2 + ε 2 ⎟⎟=H → Hˆ field = hω(13.15)22 ⎝ ∂ε⎠H = hω3Эти величины в квантовой оптике иногда называют квадратурными компонентами электрического поляволны.4Величины ε и a мы выбираем, учитывая, что минимальная энергия осциллятора равна hω 2 .**173174- гамильтониан свободного электромагнитного поля5. Построенные операторы действуют в пространстве функций с интегрируемым квадратом φ(ε, t ) , причем физическийсмысл волновой функции, описывающей квантовое состояние полевой моды, заключа2ется в следующем: величина φ(ε, t ) есть плотность вероятности измерить значение на-пряженности электрического поля равным ε в момент времени t .Дальнейшее построение квантовой теории электромагнитного поля осуществляется просто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
