А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В противном случае переход в дипольном приближении запрещен.Проанализируем теперь полевую часть матричного элемента (13.22). Вследствиеусловия ортогональности состояний моды с различным числом фотонов, и, учитываяправила отбора для гармонического осциллятора (см. Л_12), замечаем, что матричныйэлемент (13.22) будет отличен от нуля, только если в одной из полевых мод число фотонов в конечном состоянии будет на единицу отличаться от числа фотонов в начальномсостоянии. Соответственно эти переходы трактуются как переходы с излучением илииспусканием кванта электромагнитного поля. В частности, если начальное состояниеполя было вакуумным, то в конечном состоянии одна из полевых мод находится в возбужденном (однофотонном) состоянии.
Именно такой случай соответствует процессуспонтанного излучения.Определим теперь вероятность спонтанного перехода в атоме. Рассмотрим дляэтого излучение фотона в конкретную полевую моду. Тогда, если в начальный моментчисло фотонов в моде было равно nω , для вероятности перехода в состояние с nω + 1 фотонов имеемPfi = C fi22~ d fi (nω + 1) .(13.23)При выводе (13.23) мы использовали полученное в Л_12 выражение для матричных элементов оператора координаты для гармонического осциллятора (12.31).
Случай nω = 0соответствует спонтанному переходу. Если в начальном состоянии уже было nω фотонов, то вероятность перехода оказывается в nω + 1 раз больше. При этом вероятность такого перехода можно представить состоящей из двух слагаемых, описывающих спонтанный и вынужденный переход:Pfi = Pfistimulated + Pfispont ,причемPfistimulatedPfispont= nω .(13.24)Для вероятности вынужденного перехода в рамках полуклассической теории мы получили выражениеPfistimulated = B fi I ω .177178Поэтому, вводя коэффициент Эйнштейна спонтанного перехода A fi = Pfispont , перепишем(13.24) в видеB fi I ω= nω .(13.25)A fiТаким образом, для установления связи между коэффициентами Эйнштейна спонтанного и вынужденного переходов нам необходимо связать число фотонов в моде с частотойω со спектральным значением интенсивности излучения на частоте перехода.
Учитывая,выражение для числа полевых мод в единице объема в интервале частот от ω до ω + dω(см. Л_1, формула (1.10))ω 2 dωdndω = 2 3 ,π cполучим выражение для спектральной плотности энергии поляω 2 dωρ ω dω = hω ⋅ nω ⋅ 2 3 ,π cоткуда с учетом I ω = cρ ω , найдемIω =hω3nω .π2c 2Поэтому из (13.25) имеем:2Iωhω 34ω3d.A fi = B fi= 2 2 B fi =finω π c3hc 3(13.26)Величина τ = A −fi1 представляет собой время жизни относительно спонтанного переходас уровня i на уровень f . Оценим характерную величину коэффициента Эйнштейнаспонтанного перехода в оптическом диапазоне частот. Считая, что d fi ~ ea 0 ( a 0 - боров-ский радиус), из (13.26) получим33ω3⎛ 2πa0 ⎞ 1 e 2 ⎛ 2πa 0 ⎞A ~ 3 e 2 a 02 ~ ⎜~⎜(13.27)⎟⎟ ω at << ω at .hc⎝ λ ⎠ h a0 ⎝ λ ⎠Здесь λ - длина волны перехода, ω at = Ry h ~ e 2 (a0 h) - атомная частота (характернаячастота обращения электрона вокруг атома).
Полагая что ω ~ ω at , выражение (13.27)можно переписать также в виде A ~ α 3 ω at , где α - постоянная тонкой структуры. Мыприходим к выводу, что электрон успевает совершить много (порядка 106 – 107) оборотов вокруг атома, прежде чем испустит квант света. Численная оценка для hω ≈ 10 эВ( Lα - линия в спектре атома водорода) дает A ~ 1010 с-1, или для времени жизни уровняτ ~ 10 −10 с.
Отметим, что оценка времени падения электрона на ядро, выполненная в Л_3в рамках классической электродинамики (см. выражение (3.21)), дала точно такой жерезультат. Полученное совпадение не является случайным. Действительно, если в выражении (3.21) положить E 0 ≈ Ry ~ α 2 mc 2 , и учесть что re = α 2 a 0 , то в рамках классического подхода получим,()−1τ ~ α 3 ω at ,что совпадает с (13.27). Таким образом, на качественном уровне результаты, полученныев рамках квантовомеханического и классического подходов, совпадают. Однако, физи-178179ческое содержание этих результатов существенно различно.
Классическая теория оказывается неспособной объяснить устойчивое существование электронной оболочки атома.Как видно из (13.26), скорость распада пропорциональна кубу частоты перехода.Этот результат также имеет естественное классическое истолкование. Действительно, всоответствии с классической электродинамикой энергия, излучаемая в единицу времениосциллирующей частицей, пропорциональна четвертой степени частоты W& ~ ω 4 .
С другой стороны, в рамках квантовомеханического подхода имеем W& ~ hω ⋅ A , где A - вероятность испускания кванта hω . Сопоставляя эти выражения, имеем A ~ ω3 , что соответствует (13.26).На основании полученных результатов, в частности, можно сделать вывод, что врентгеновском диапазоне частот времена жизни состояний малы по сравнению с оптическим диапазоном.
Наоборот, в радиочастотном диапазоне они оказываются очень велики. Например, для λ ~ 1 см из (13.26) имеем τ ~ 10 8 с (несколько лет!). Это означает,что спонтанными переходами в различных радиофизических приложениях теории практически всегда можно пренебречь.Отметим, что полученное выражение для времени жизни возбужденного состояния относительно спонтанного распада (13.26) может быть с успехом использовано и вядерной физике для оценки времени жизни возбужденных ядерных состояний относительно процесса γ - излучения. Например, оценивая величину ядерного дипольного момента как d ~ eR N ( R N ~ 10 −13 − 10 −12 см – размер атомного ядра) для длины волны γ кванта λ γ ~ 10 −10 см ( hω γ ~ 1 МэВ) из (13.26) получим τ ~ A −1 ~ 10 −14 − 10 −16 с. Отметим,что именно быстрые спонтанные распады в рентгеновском и γ диапазонах являютсяглавным препятствием на пути создания источников когерентного индуцированного излучения в этих диапазонах частот.До сих пор мы говорили лишь о разрешенных переходах.
Что касается запрещенных переходов, то их вероятности, как правило, на четыре – пять порядков меньше.В историческом плане необходимость введения в квантовую теорию спонтанныхпереходов была понята Эйнштейном в 1917 году исходя из термодинамических соображений. Действительно, рассмотрим двухуровневую систему, находящуюся в состояниитермодинамического равновесия (см.
рис.13.1). Населенности состояний 1 и 2 естьсоответственно N 1 и N 2 . Под действием поля излучения в системеидут переходы между уровнями. Всостоянии равновесия населенностиN 1 и N 2 не зависят от времени. Поэтому мы можем записатьN 1 B21 I ω = N 2 B12 I ω + N 2 A12 . (13.28)Из выражения (13.28) видно, чтопомимо вынужденных переходов всистеме должны быть и спонтанные.Поскольку B21 = B12 , то в отсутствие спонтанных переходов мы быполучили, что N 2 = N 1 .
С другой стороны, в состоянии термодинамического равновесия⎞,N 2 N 1 = exp⎛⎜ − hωk B T ⎟⎠⎝(13.29)179180где hω - энергия перехода между состояниями, T - температура. Подставляя (13.29) в(13.28), получим связь между коэффициентами Эйнштейна спонтанного и вынужденного переходовA12 = B12 I ω (exp(hω k B T ) − 1) .(13.30)Поскольку I ω = cρ ω , а в состоянии термодинамического равновесия спектральная плотность излучения ρ ω определяется формулой Планкаρω =то из (13.30) получим1hω3,π 2 c 3 exp(hω k B T ) − 1hω3A12 = 2 2 B12 ,π cчто совпадает с (13.26). Ранее мы получили это соотношение исходя из квантовомеханических соображений. Поэтому, используя (13.26) и (13.30) мы можем строго получитьвыражение для распределения энергии по спектру равновесного излучения, то есть формулу Планка.
Отметим, что иногда формулу Планка удобно записывать для числа фотонов в полевой моде с частотой ω . Используя связь спектральной интенсивности излучения I ω с числом фотонов в моде излучения nω , легко получить121nω =.(13.31)exp(hω k B T ) − 1Средняя энергия одной полевой моды оказывается равнаhωE ω = hωnω =,(13.32)exp(hω k B T ) − 1что соответствует выражениям (1.19), (1.20) в Л_1.Уширение спектральных линий.Остановимся на еще одной важной стороне полученных нами результатов.
Мывидели, что взаимодействие атомной системы с электромагнитным вакуумом (нулевымиколебаниями электромагнитного поля) привело к появлению спонтанных переходов.Время жизни атома в возбужденном состоянии оказывается конечным и определяетсякоэффициентом Эйнштейна спонтанного переходаτ = A −fi1 .В случае, если атом может перейти из начального состояния i в целый набор нижележащих конечных состояний, то для времени жизни i -го состояния следует записать1,(13.33)τ=∑ A fifгде сумма берется по всем конечным состояниям, в которые возможен переход.Вспомним про соотношение неопределенностей «энергия – время» ∆E ⋅ τ ~ h .
Если система живет конечное время, то ее энергия точно не определена. Возбужденныеатомные состояния не могут иметь точно определенного значения энергии, атомныеуровни оказываются «размытыми», имеющими конечную ширину. Для ширины атомного состояния, очевидно, имеем12Полученное выражение представляет собой распределение Бозе – Эйнштейна по энергетическим состояниям для фотонного газа.180181∆E ~ h τ .(13.34)Часто для ширины уровня вводят и другую величину γ = ∆E h . Тогда последнее соотношение можно переписать в видеγ = 1 τ = ∑ γ f = ∑ A fi ,ffгде γ f - парциальная ширина уровня, связанная с переходом i → f .Поскольку атомные уровни уширены, то энергия кванта, испускаемого при переходе между парой состояний, также не имеет точно определенного значения.
Испускаемая спектральная линия имеет конечную ширину. Эту ширину, обусловленную спонтанными переходами, принято называть естественной шириной линии. Если переходпроисходит в основное атомное состояние13, ширина атомной линии определяется шириной верхнего энергетического уровня. Если же оба состояния 1 и 2 , между которыми происходит переход, имеют конечные ширины, то можно показать, что ширинаспектральной линии есть сумма ширин состояний (см. рис.13.2), т.е.γ = γ1 + γ 2 .Оценим характерное значение естественной ширины атомных уровней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
