А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 41
Текст из файла (страница 41)
При этом, в соответствии с постулатами Бора переход возможен только в случаеE f = Ei + hω .Аналогично, в случае если конечное состояние лежит ниже по энергии, мы бы получилиE f = Ei − hω .Последние два соотношения представляют закон сохранения энергии при поглощении(испускании) кванта поля.160161Поле воздействующей на атом электромагнитной волны нам будет удобнее характеризовать интенсивностью излученияcΕ 02I=.8πПоэтому выражение (12.22) можно переписать в виде:w fi =4π 2 d fi2⋅ I ⋅ δ(ω fi − ω) .(12.23)ch 2При использовании соотношения (12.23) возникает формальная трудность. Как следуетпонимать соотношение с δ -функцией? В данном случае мы подразумеваем, что выражение (12.23) должно быть проинтегрировано по частотам, то есть воздействующее излучение не совсем монохроматично.
Полагая, что интенсивность излучения может бытьпредставлена в видеI = ∫ I ω dω ,где I ω - спектральная плотность интенсивности излучения, перепишем (12.23) в виде4π 2 d fi2⋅ ∫ I ω δ(ω fi − ω)dω .ch 2Интеграл с δ - функцией элементарно вычисляется, в результате имеемw fi =w fi =4π 2 d fi2I ω=ω fi ,(12.24)ch 2то есть вероятность перехода определяется значением спектральной интенсивности излучения на частоте перехода.Напомним, что d fi в выражении (12.24) есть матричный элемент z - компонентыдипольного оператора. Поскольку d 2 = d x2 + d y2 + d z2 и для сферически симметричнойсистемы d z2 = d 2 3 , выражение (12.24) обычно записывают в видеw fi =4π 2 d fiI ω = B fi I ω .3ch 2ЗдесьB fi =24π 2 d fi(12.25)23ch 2- коэффициент Эйнштейна вынужденного перехода4. Как видно из (12.26),B fi = Bif .(12.26)Правила отбора.Рассмотренная теория взаимодействия квантовой системы с электромагнитнымполем позволяет сформулировать правила отбора – указать соотношения между квантовыми числами начального и конечного состояний, для которых электромагнитный переход оказывается возможен (разрешен).
Общий подход к решению проблемы ясен. Если4Отметим, что коэффициент ЭйнштейнаB fi иногда вводят как коэффициент пропорциональности междувероятностью перехода и спектральной плотностью энергии электромагнитного поля на частоте переходаρω . Соответствующее выражение может быть легко написано, если учесть что I ω = cρ ω .161162rrd fi = e ∫ ψ *f r ψ i d 3 r ≠ 0 ,(12.27)то переход является разрешенным, наоборот, если d fi = 0 , то говорят, что переход запрещен.
Действительно, в этом случае согласно (12.25) вероятность перехода оказывается равна нулю даже в сильном электромагнитном поле. Следует, однако, иметь в виду,что все сказанное выше относится только к электрическому дипольному приближению,причем в низшем порядке теории возмущений.
Поэтому запрещенный в электрическомдипольном приближении переход может быть разрешен в высших порядках мультипольного разложения, например, как электрический квадрупольный или магнитный дипольный переход. Может также оказаться, что он разрешен в более высоких порядкахтеории возмущений по дипольному приближению. Поэтому, понятие «запрещенный переход» не означает реально, что такой переход невозможен в принципе. Скорее всего, онмаловероятен по сравнению с переходами, разрешенными в электрическом дипольномприближении.Рассмотрим несколько примеров формулировки правил отбора для различныхквантовых систем.1.
Правила отбора для переходов в линейном гармоническом осцилляторе. Рассмотрим матричный элемент∞x mn =∫ψ*m( x) xψ n ( x)dx ,(12.28)−∞где()ψ n = N n H n (ξ) exp − ξ 2 2 ,ξ = x a,a = h mω .Для вычисления матричного элемента (12.28) воспользуемся рекуррентным соотношением для полиномов Эрмита (см. П_3):1ξH n (ξ) = nH n −1 (ξ) + H n +1 (ξ) .(12.29)2Подставляя (12.29) в (12.28), получим∞1⎞⎛x mn = N m N n a ∫ H m (ξ)⎜ nH n −1 (ξ) + H n +1 (ξ) ⎟ exp(−ξ 2 )dξ .(12.30)2⎠⎝−∞Учитывая свойство ортогональности полиномов Эрмита, замечаем, что последний интеграл отличен от нуля только в случаеm = n ±1,то есть электромагнитные переходы возможны только между парой соседних состоянийгармонического осциллятора.
ПосколькуE n +1 − E n = hω ,то эффективное взаимодействие осциллятора с внешним электромагнитным полем возможно лишь в случае совпадения частоты осциллятора с частотой внешнего поля.Проведем конкретные вычисления матричного элемента x n +1,n . В этом случае из(12.30) имеем∞1⎞⎛x n +1,n = N n +1 N n a ∫ H n +1 (ξ)⎜ nH n −1 (ξ) + H n +1 (ξ) ⎟ exp(−ξ 2 )dξ =2⎠⎝−∞Nn aaN nn +1H n2+1 (ξ) exp(−ξ 2 )dξ =a.(12.31)=∫N n +1 22 N n +12В частности для переходов между основным и нижним возбужденным состояниями получаем:162N n2+1163x10 = a 2 .(12.32)Сопоставляя (12.31) и (12.32), найдемx n +1n= n +1 ,(12.33)x10то есть вероятность перехода между уровнями с номерами осциллятора n и n + 1 оказывается в n + 1 раз больше, чем между парой нижних состояний.2.
Правила отбора для заряженной частицы в центрально-симметричном поле.Эта задача имеет принципиально важное значение для атомной физики, поскольку атомпредставляет собой систему с центральной симметрией. Вспомним, что волновая функция стационарного состояния системы в этом случае записывается в видеn, l, ml = Rnl (r )Ylml (θ, ϕ) .Наша задача теперь рассмотреть следующие матричные элементыn, l , m l x , y , z n ' , l ' , m l ' .(12.34)Вспомним, что⎧ x = r sin(θ) cos ϕ,⎪⎨ y = r sin(θ) sin ϕ,⎪ z = r cos θ,⎩а такжеYlml (θ, ϕ) = Pl|ml | (cos θ) exp(iml ϕ) .Тогда при вычислении матричных элементов (12.34) возникнут следующие интегралы⎧cos ϕ⎫⎧cos ϕ⎫⎧ exp(i (ml '− ml ± 1)dϕ,2π2π⎪⎪⎪⎪⎪∫∫0 exp(−iml ϕ)⎨sin ϕ ⎬ exp(iml ' ϕ)dϕ = ∫0 exp(i(ml '−ml )ϕ)⎨sin ϕ ⎬dϕ → ⎨ exp(i(m '−m )dϕ.⎪1⎪⎪1⎪⎪⎩∫ll⎩⎭⎩⎭Первый из и полученных интегралов отличен от нуля, если ml '−ml = m1 , второй – приml ' = ml .
Таким образом, получаем следующее правило отбора по магнитному квантовому числу ml :∆ml = 0,±1 ,(12.35)т.е. при электромагнитных переходах в дипольном приближении магнитное квантовоечисло либо изменяется на единицу, либо не меняется.Аналогичным образом решается вопрос о правилах отбора по орбитальномуквантовому числу: Например, для матричного элемента оператора z - проекции дипольного момента с учетом выражения (П4.10) имеемl' = l ± 1 ,(12.36)при электрическом дипольном переходе орбитальное квантовое число изменяется наединицу.Правилам отбора (12.35), (12.36) можно придать простой физический смысл. Еслисчитать, что в процессе перехода происходит излучение (поглощение) кванта электромагнитного поля (фотона), спин которого равен единице, соотношение (12.36) представляет собой закон сохранения момента количества движения в системе «атом + электромагнитное поле». Фотон уносит единичный момент.
Что касается проекции, то она может не менять своего значения, или также измениться на единицу. При этом можно по-163164казать, что случаю ∆ml = 0 соответствует испускание линейно поляризованных фотонов, а случаю ∆ml = ±1 - фотонов с круговой поляризацией.Что касается возможных значений изменения главного квантового числа, то намследует рассмотреть радиальный интеграл∞I = ∫ Rnl (r ) Rn 'l ' (r )r 3 dr .0Это интеграл оказывается отличным от нуля при произвольных значениях квантовыхчисел.
Поэтому никаких ограничений на изменение главного квантового числа нет:∆n - любое.(12.37)Совокупность условий (12.35)-(12.37) и составляют правила отбора для переходов в центрально- симметричном поле, в частности в атоме водорода.Для формулирования полного набора правил отбора в атоме водорода а также впроизвольном одноэлектронном атоме5 необходимо еще учесть наличие спинового механического момента электрона. Поскольку оператор взаимодействия с электромагнитным полем в дипольном приближении не зависит от спиновых переменных системы, мыможем записать∆m s = 0 , ∆s = 0 .(12.38)Последнее утверждение для одноэлектронного атома является лишним, поскольку вэтом случае всегда s = 1 2 .
Сформулируем еще правила отбора для изменения полногомеханического момента атома j и его проекции m j . Поскольку m j = ml + m s , то из(12.35) и (12.38) получаем∆m j = ∆ml + ∆m s = 0,±1 .(12.39)Для квантового числа j из правил отбора для орбитального и спинового моментов получаем∆j = 0,±1 .(12.40)Важно что, несмотря на то, что излученный фотон уносит единичный момент, оказывается возможным и случай ∆j = 0 .
Такая ситуация реализуется в результате того, что изrrменяется взаимная ориентация векторов l и s в пространстве так, что величина полного механического момента атома остается неизменной.Спектральные серии атома водорода.Рассмотрим на основе сформулированных правил отбора совокупность разрешенных электромагнитных переходов в атоме водорода. Остановимся сначала на переходах в основное состояние 1s1 2 . В соответствии с правилом отбора по орбитальномумоменту переход возможен только из возбужденных p - состояний с произвольнымзначением главного квантового числа.
Все p - состояния являются дублетами( j = 1 2, 3 2 ). В соответствии с правилом отбора по j переход в 1s1 2 разрешен с обоихкомпонентов дублета np1 2,3 2 . Указанные переходы5Под одноэлектронным атомом в данном случае мы понимаем любой атом, у которого сверх полностьюзаполненных оболочек и подоболочек имеется единственный электрон. При этом подразумевается, чторассматриваются переходы, связанные с изменением состояния именно этого электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
