А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Полагая, что дипольный момент атома есть величина порядка ea0 , получим W ~ ea0 Ε . Каквидно, для значений напряженности поляΕ << e a02(12.8)величина дополнительной энергии, обусловленной воздействием внешнего электромагнитного поля, мала по сравнению с внутриатомной энергией.
В таких условиях воздействие внешнего поля волны можно рассматривать как малую поправку и учесть по теории возмущений. Условие (12.8) имеет простой физический смысл. ВеличинаΕ at = e a 02 ≈ 5 ⋅ 10 9 В/см есть внутриатомное значение напряженности электрическогополя. Поэтому решение задачи по теории возмущений возможно, если напряженностьполя волны существенно меньше внутриатомного значения. Для электромагнитных волнчаще задают не значения напряженности поля, а величину интенсивности излученияI = cΕ 02 8π . Поэтому условие (12.8) как условие применимости теории возмущений повзаимодействию квантовой системы с полем электромагнитной волны можно переписать в видеI << I at ,(12.9)где I at = cΕ at2 8π - так называемое атомное значение интенсивности.
Как видно из определения, это такая интенсивность излучения, амплитуда напряженности электрическогополя волны в котором равна напряженности поля внутри атома Ε at . Оценка атомной интенсивности дает I at ≈ 3.5 ⋅ 1016 Вт/см2.Полученное значение весьма велико. В долазерную эпоху (до 60-х годов прошлого века) такие интенсивности казались принципиально недостижимыми. Использованиережима модуляции добротности позволило в первой половине 60-х годов XX века получить интенсивности ~1010 – 1012 Вт/см2. Освоение этого диапазона интенсивностей привело к открытию широкого круга эффектов и развитию нового раздела физики - нелинейной оптики. Однако, соответствующие значения интенсивностей на много порядковменьше атомного значения и, следовательно, задача о воздействии таких оптических полей на атомную систему может быть рассмотрена в рамках теории возмущений.
В середине 80-х годов прошлого века в лазере на кристалле титаната сапфира (Ti:Sapphire) были получены импульсы фемтосекундной длительности, в которых были достигнуты потоки энергии излучения порядка I at . Использование техники усиления так называемыхчирпированных импульсов2 (G.Mourou) позволило еще существенно увеличить интенсивность лазерного излучения (вплоть до 10 20 − 10 22 Вт/см2) и получить напряженностиэлектрического поля в волне многократно превышающие внутриатомное значение.Мы ограничимся рассмотрением случая лишь слабых (по критериям 12.8-12.9)электромагнитных полей, воздействие которых на атом может быть учтено по теориивозмущений.Нестационарная теория возмущений.Как мы уже отмечали, общая задача об эволюции атомной системы в поле электромагнитной волны в дипольном приближении предполагает решение нестационарногоуравнения Шредингера (12.7) с оператором взаимодействия в виде (12.5).
Мы будем по2Более подробно о получении импульсов предельно короткой длительности методами оптической компрессии – см. С.А.Ахманов, С.Ю.Никитин «Физическая оптика», М.: МГУ, (1988), часть IV.157158лагать, что в начальный момент времени ( t = 0 ) система находится в некотором стационарном состоянии невозмущенного атомного гамильтониана Ĥ 0 , то естьrrψ (r , t = 0) = ψ i (r ) ,(12.10)где ψ i - одна из функций, удовлетворяющих стационарному уравнению Шредингера(12.1). Система собственных функций атомного гамильтониана Ĥ 0 является полной, этоrозначает, что волновая функция произвольного состояния ψ (r , t ) может быть однозначно представлена в виде линейной комбинации собственных функций невозмущенногогамильтониана3:rv⎛ i⎞ψ (r , t ) = ∑ C n (t )ψ n (r ) exp⎜ − E n t ⎟ .(12.11)⎝ h⎠nЗдесь мы явно указали зависимость волновой функции стационарного состояния от времени. Учитывая разложение (12.11), мы можем переписать начальное условие (12.10) ввиде⎪⎧0, n ≠ i,C n (t = 0) = δ ni = ⎨(12.12)⎪⎩1, n = i,то есть в начальный момент времени лишь один из коэффициентов разложения отличенот нуля.
Отметим, что разложение (12.11) фактически определяет физический смыслрешения, которое мы ищем. Поскольку коэффициенты разложения C n (t ) есть амплитуды вероятности обнаружить систему в момент времени t в n -ном стационарном состоянии, то наше решение означает, что в процессе внешнего воздействия в системе возникнут переходы между состояниями атомного гамильтониана, причем их вероятность бу2дет определяться квадратом модуля коэффициента разложения C n (t ) .Подставляя разложение (12.11) в уравнение (12.7), получимi⎞⎛ dC⎛ i⎞⎛ i⎞ih ∑ ⎜ n − E n C n ⎟ψ n exp⎜ − E n t ⎟ = ∑ C n Hˆ 0 + Wˆ ψ n exp⎜ − E n t ⎟ .h⎝ h⎠ n⎝ h⎠⎠n ⎝ dtУчитывая, что ψ n есть собственная функция атомного гамильтониана, перепишем полученное в видеdC⎛ i⎞⎛ i⎞ih ∑ n ψ n exp⎜ − E n t ⎟ = ∑ C nWˆ ψ n exp⎜ − E n t ⎟ .(12.13)dt⎝ h⎠ n⎝ h⎠nУмножим теперь (12.13) на комплексно сопряженную волновую функцию какого-либоrсостояния атомного состояния ψ *f (r ) exp((i h ) E f t ) и проинтегрируем по всей области()определения функций.
Тогда используя условие ортогональности собственных функцийоператора Гамильтона, получимdC fih= ∑ C n ψ f Wˆ ψ n exp(iω fn t ) ,(12.14)dtnгде ψ Wˆ ψ = f Wˆ n = W = ψ * Wˆ ψ dτ - матричный элемент оператора Ŵ ,fnfn∫fnω fn = ( E f − E n ) h - частота перехода.Система уравнений для коэффициентов разложения по базису собственныхфункций (12.14) тождественна исходному уравнению Шредингера (12.7).
Мы будем ре3В общем случае при записи этого выражения необходимо учесть также состояния континуума.158159шать эту систему приближенно в рамках нестационарной теории возмущений. Представим амплитуды вероятности C n в виде ряда теории возмущенийC n = C n( 0) + C n(1) + C n( 2 ) + ... ,(12.15)причем каждый последующий член ряда много меньше предыдущего. В качестве малогопараметра будем рассматривать возмущение W .
В нулевом порядке малости мы рассматриваем решение в отсутствие действия возмущения. Тогда, очевидно,C n( 0 ) (t ) = δ ni .Подставляя (12.15) в (12.14) и удерживая члены только первого порядка малости, получим для случая f ≠ i :dC (f1)= ∑ C n( 0) ψ f Wˆ ψ n exp(iω fn t ) = ψ f Wˆ ψ i exp(iω fi t ) .dtnТогда выполняя интегрирование по времени, в первом порядке теории возмущений получаемtiC (f1) (t ) = − ∫ W fi (t ) exp(iω fi t )dt .(12.16)h0Фактически, выражение (12.16) является решением поставленной задачи и определяетамплитуду вероятности перехода из начального состояния i в конечное состояние frза время t под действием возмущения Wˆ (r , t ) .ihУчитывая выражение (12.5) для оператора взаимодействия атома с полем волны,перепишем (12.16) в видеd fi td fi Ε 0 t(1)Ε (t ) exp(iω fi t )dt = iC f (t ) = icos(ωt ) exp(iω fi t )dt .h ∫0h ∫0Здесь d fi - матричный элемент оператора z - проекции дипольного момента системы.Полученный интеграл легко вычисляется.
Учитывая что1cos ωt = (exp(iωt ) + exp(−iωt ) ) ,2получимd fi Ε 0 ⎛ exp(i (ω fi − ω)t ) − 1 exp(i (ω fi + ω)t ) − 1 ⎞⎜⎟.+(12.17)C (f1) (t ) = i⎟i (ω fi − ω)i (ω fi + ω)2h ⎜⎝⎠Отметим, что частота перехода ω fi = ( E f − Ei ) h может быть как положительной, так иотрицательной. Если E f > Ei , то есть переход идет с поглощением энергии, то ω fi > 0 .И, наоборот, если переход идет с испусканием энергии, то ω fi < 0 .
В любом случае видно, что процесс идет эффективно только вблизи резонанса, когда частота внешнего поляпримерно совпадает с частотой перехода ω ≈ ω fi . Для определенности будем рассматривать переход с поглощением энергии поля. Тогда вблизи резонанса вторым слагаемымв (12.17) можно пренебречь по сравнению с первым:d fi Ε 0 ⎛ exp(i (ω fi − ω)t ) − 1 ⎞⎜⎟.C (f1) (t ) = i⎟2h ⎜⎝i (ω fi − ω)⎠Вводя величину ∆ω = ω fi − ω - отстройка от резонанса, перепишем выражение для амплитуды вероятности в виде:159160d fi Ε 0⎛ ∆ωt ⎞ sin( ∆ωt 2)exp⎜ i.(12.18)⎟2h⎝ 2 ⎠ ∆ω 2Возводя по модулю в квадрат, найдем выражение для вероятности электромагнитногоперехода из начального состояния i в конечное состояние f за время t :C (f1) (t ) = i2d fi Ε 02 sin 2 (∆ωt 2)(1).(12.19)Pfi (t ) = C f (t ) =4h 2(∆ω 2) 2Проанализируем полученное выражение.
Прежде всего, отметим, что теория возмущений является применимой при выполнении условия Pfi << 1 , то есть2d fi Ε 0 (h∆ω) << 1 .(12.20)Фактически это условие задает ограничение сверху на допустимую напряженность поляэлектромагнитной волны. Однако, это предельное значение интенсивности определяетсяв том числе отстройкой от резонанса, и если эта отстройка от резонанса мала, то формально теория возмущений может оказаться неприменимой уже в достаточно слабыхполях. Действительно, в случае точного резонанса ∆ω ≡ 0 из (12.19) находим2d fi Ε 02 ⎛ sin ∆ωt 2 ⎞ 2 2⎜⎜⎟⎟ t ~ t 2 .Pfi (t ) =24h⎝ ∆ω t 2 ⎠(12.21)Это означает, что условие Pfi << 1 выполнено лишь на ограниченном интервале времени. Аналогичная ситуация формально возникает и в отсутствие точного резонанса привыполнении условия ∆ωt << 1 .
Таким образом, в общем случае возможность использования теории возмущений по взаимодействию атома с электромагнитным полем ограничена как величиной интенсивности излучения, так и длительностью воздействия.В важном частном случае на больших временах (формально при t → ∞ ), но длямалых вероятностей перехода, используя известное представление для δ - функцииsin 2 αtlim= πδ(α) ,t →∞α 2tиз (12.19) нетрудно получить2Pfi (t ) =d fi Ε 02⋅ 2πδ(ω fi − ω)t ,4h 2т.е. на больших временах вероятность перехода растет линейно по времени. Это позволяет нам ввести вероятность перехода в единицу времени2d fi Ε 0222π d fi Ε 0w fi = Pfi t =⋅ 2πδ(ω fi − ω) =δ( E f − Ei − hω) .(12.22)2h44hКак видно, полученное выражение можно интерпретировать в том смысле, что переходиз начального состояния i конечное f сопровождается поглощением кванта элек2тромагнитного поля hω .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
