А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Спин - орбитальное взаимодействиеrˆ rˆVˆ = A( LS )LSприводит к появлению тонкой структуры терма - расщепляет его на группу состояний,количество которых определяется числом возможных значений квантового числа Jсуммарного механического момента. Энергия тонкого расщепления определяется константой связи A и может быть оценена как величина ~ α 2 Ry . С другой стороны, припомещении атома во внешнее магнитное поле с напряженностью Η атом приобретаетдополнительную энергию ~ µ B Η . В зависимости от величины магнитного поля эта дополнительная энергия может быть как больше, так и меньше энергии тонкого расщепления. В зависимости от того, какая из двух этих энергий больше, картина расщепленияатомных уровней в магнитном поле будет различной.
Введем понятие критической напряженности магнитного поля, определяемой из соотношенияµ B Η * = V LS ~ α 2 Ry .(14.5)Поля, для которых напряженность магнитного поля превышает критическое значение,будем называть сильными, в противоположном случае будем говорить, что электрическое поле является слабым. Оценим численное значение критической напряженностимагнитного поля. Из (14.5) имеемα 2 Ry*Η =.µBЭто же выражение можно переписать и иначе: Η * = µ B a03 .
Учитывая, что µ B ~ αea0 ,получим еще одну удобную оценку для критической напряженности:Η * ≅ αΕ at(14.6)( Ε at = e a 02 - атомная напряженность электрического поля), то есть критическая напряженность магнитного поля примерно в сто раз меньше атомного значения.
Посколькуатомной напряженности электрического поля есть ≈ 5 ⋅ 10 9 В/см, то есть ≈ 1.7 ⋅ 10 7 абс.ед. CGSE, то из (14.6) находим Η * ≅ 10 5 Э. Полученная оценка для критической напряженности достаточно условна, поскольку реальное значение величины тонкого расщеп-190191ления может значительно (вплоть до нескольких порядков) отличаться использованногов (14.5). Действительно, в соответствии с теорией Дирака для атома водорода1VLS ~ 3,(14.7)n l(l + 1)то есть энергия тонкого расщепления быстро убывает с возрастанием значения главногои орбитального квантового чисел.
На качественном уровне такая зависимость справедлива и для других атомов. Поэтому может оказаться, что для конкретной ситуации (атомнаходится в сильно возбужденном состоянии) значение критической напряженностиможет быть на несколько порядков меньше приведенного выше значения. Наоборот, вслучае положительно заряженных ионов (особенно многозарядных) величина критической напряженности существенно возрастает.Остановимся теперь на расчете энергетического спектра атома в случае, если оннаходится во внешнем сильном или слабом магнитном поле. Полный гамильтониан системы мы можем записать в видеHˆ = Hˆ 0 + VˆLS + VˆM ,(14.8)где атомный гамильтониан Ĥ 0 учитывает, в том числе, энергию электростатическоговзаимодействия электронов, VˆLS - энергия спин – орбитального взаимодействия, а VˆM энергия взаимодействия с внешним магнитным полем.Рассмотрим сначала случай сильного магнитного поля.
Поскольку VˆM > VˆLS , вгамильтониане (14.8) мы не будем учитывать спин – орбитальное взаимодействие в атоме. Тогда в отсутствие внешнего магнитного поля стационарные состояния атомного гамильтониана Ĥ 0 мы будем рассматривать в базисе функций LM L SM S . Учет внешнегомагнитного поля мы проведем по теории возмущений6. Запишем энергию взаимодействия атома с внешним магнитным полем VM в видеr rrr rVM = − µΗ = − µ L + µ S , Η .(14.9)Здесьrrrrµ S = −2µ B Sµ L = −µ B L ,- магнитные моменты, связанные с орбитальным и спиновым движением механическимимоментами7.
Выбирая направление оси z вдоль направления магнитного поля Η , и переходя от физических величин к операторам, получим выражение для оператора взаимодействия атома с магнитным полемVˆM = µ B Η ( Lˆ z + 2Sˆ z ) .(14.10)Тогда для поправки к энергии терма, получаем∆E = LM L SM S VˆM LM L SM S = µ B Η (M L + 2M S ).(14.11)( ) ()Таким образом, атомный терм 2 S +1 L в присутствии сильного магнитного поля расщепляется по энергии, причем число компонент определяется числом возможных значенийсуммы M L + 2M S .
В общем случае, казалось бы, это число определяется количеством6Это означает, что наше «сильное» магнитное поле является слабым в том смысле, что характерная энергия взаимодействия атома с этим полем VM ≅ µ B Η мала по сравнению с энергией кулоновского межэлектронного взаимодействия в атоме, т.е. мала по сравнению с разностью энергий различных термов, принадлежащих одной и той же электронной конфигурации.7Здесь и далее величины орбитального и спинового моментов электронной оболочки атома измеряются вединицах постоянной Планка.191192возможных комбинаций квантовых чисел M L и M S , и может быть определено как(2 L + 1)(2 S + 1) .
Однако, следует учитывать, что среди всех возможных таких комбинаций могут быть такие, которые приводят к повторяющимся значениям суммыM L + 2M S .В качестве примера рассмотрим расщепление уровня 2 p атома водорода в сильном магнитном поле. В рассматриваемом случае имеем ml = 0,±1 , m s = ± 1 2 . Поэтомудля числа компонент расщепления получим (см. рис.14.4)ml + 2m s = 0,±1,±2 ,то есть уровень 2 p расщепляется на пять компонент. Отметим еще раз, напряженностьмагнитного поля Η должнабыть такой, чтобы величинарасщепления между соседними компонентами µ B Η былазаметно больше тонкого расщепления, которое для 2 pуровня в атоме водорода составляет α 2 Ry 16 .Перейдем теперь к анализу расщепления атомного уровня в слабом магнитном поле.
В этом случае энергиявзаимодействия с внешним магнитным полем существенно меньше энергии спинорбитального взаимодействия. Поэтому в гамильтониане (14.8) мы обязаны учесть всеслагаемые, причем, как и раньше, величину VˆM мы будем рассматривать как малое возмущение, а в качестве волновых функций невозмущенного гамильтониана следует использовать собственные состояния оператора Hˆ 0 + VˆLS . Ранее (см. Л_9,11) мы видели,что такими функциями являются LSJM J . Напомним, что в этих состояниях значенияпроекций орбитального и спинового моментов не имеют точно определенного значения.Существенной особенностью рассматриваемого случая(см. рис.14.5) является то, чтовследствие различных значенийгиромагнитных отношений дляорбитального и спинового движения вектор суммарного магнитного момента атомаrrrµJ = µL + µSне коллинеарен вектору полногомеханического моментаr r rJ = L+S .В такой ситуации для определения вида оператора взаимодействия атома с внешним магнитнымполем воспользуемся следующиrrми соображениями.
Спин – орбитальное взаимодействие связывает два вектора L и S вrrrвектор полного момента J , причем вектора L и S прецессируют вокруг направления,192193rзадаваемого вектором J , подобно тому как два связанных гироскопа прецессируют вокруг направления вектора их суммарного момента количества движения. В результатеrrвектора орбитального и спинового магнитного моментов µ L и µ S также прецессируютrrвокруг направления вектора J .
Это приводит к прецессии вектора µ J относительноrвектора J . Частота этой прецессии может быть оценена какΩ = VLS h ~ α 2 Ry h ~ α 2 ω at .Характерное значение этой частоты лежит в радиочастотном диапазоне и составляет величину порядка 1013 с-1. Это означает, что при воздействии на атом статического (илиплавно изменяющегося во времени) магнитного поля с ним будет взаимодействовать усредненный по времени атомный магнитный момент.
Нетрудно видеть (см. рис.14.5), чтоrrэтим моментом8 является проекция вектора µ J на направление вектора J . Для величины этой проекции запишем следующее выражениеrrµ eff = − gµ B J ,(14.12)где множитель g определяет так называемый атомный g -фактор. Выражение (14.12)фактически можно рассматривать, как определение атомного g -фактора. Наша задачатеперь – найти явное выражение для g -фактора.
Исходя из определения эффективногомагнитного момента атома, запишемr rr r1 µ eff J1 µJ Jrr .(14.13)=−g=−µB J 2µB J 2Вспоминая, чтоrrr rrrrµ J = µ L + µ S = −µ B ( L + 2 S ) = −µ B ( J + S ) ,перепишем (14.13) в видеrrr r rJ + S, JSJrg== 1+ r2 .(14.14)J2JПосколькуrr 1 rrrSJ = J 2 + S 2 − L2 ,2из (14.14) получимrrrJ 2 + S 2 − L2r(14.15)g = 1+2J 2rТеперь, выбирая ось z вдоль направления поля Η , мы можем записать оператор взаимодействия атома с внешним магнитным полем:r rVˆM = − µ eff Η = gˆµ B ΗJˆ z .Вычисление матричного элемента оператора Vˆ в базисе волновых функций LSJM(())( )( ) ((( )))MLJ :∆E = LSJM J VˆM LSJM J = gµ B ΗM J ,дает поправку к энергии состояниягдеg = 1+8J2S + 1J ( J + 1) + S ( S + 1) − L( L + 1)2 J ( J + 1)Этот момент мы будем называть эффективным магнитным моментом атома.(14.16)(14.17)193194- атомный g -фактор (фактор Ланде).
Как видно, в слабом магнитном поле состояние2S + 1L J расщепляется по энергии на 2 J + 1 компоненту по числу возможных значенийквантового числа M J , определяющего значение z - проекции полного механическогомомента электронной оболочки атома.Заметим, что если мы рассматриваем синглетное состояние ( S = 0 ), то J = L , ииз (14.17) находим g = 1 , что соответствует гиромагнитному отношению для орбитального движения электрона в атоме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
