А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Поскольку дляразрешенных переходов в оптическом диапазоне частот τ ~ 10 −8 − 10 −10 с, то∆E ~ h τ ~ 10 −5 − 10 −7 эВ. Эта величина на много порядков меньше энергии атомногоперехода, поэтому атомная линия является узкой, а степень монохроматичности излучения весьма высока. Такие распадающиеся во времени состояния в квантовой теории называют квазистационарными. Их можно охарактеризовать комплексным значениемэнергии E − i hγ 2 и записать волновую функцию в видеrr⎛ i⎞⎛ i ⎞ψ (r , t ) = ψ (r ) exp⎜ − ( E − i hγ 2)t ⎟ ~ exp⎜ − Et ⎟ exp(− γt 2) .⎝ h⎠⎝ h ⎠r 2Тогда ψ (r , t ) ~ exp(− γt ) , что и описывает распад состояния на временах порядка 1 γ .Помимо естественного уширения существуют и другие механизмы уширенияатомных линий.
В газовых средах наиболее важными являются доплеровский и столкновительный механизмы уширения14, которые, какправило, приводят к значительно большей ширинелиний по сравнению с естественной. Поэтому вэкспериментах наблюдать естественную ширинуатомной линии достаточно трудно.Понять происхождение естественногоуширения линии можно и в рамках классическойэлектродинамики. Действительно, рассматриваяатом, как классический осциллятор с затуханием(см. Л_3), мы получили уравнение движенияатомного электрона в виде&rr& + γrr& + ω 2 rr = 0 ,(13.35)0где γ = 2e 2 ω02 3mc 3 - классическая постоянная затухания. Приближенное решение уравнения этого уравнения в случае γ << ω 0 записывается в виде13Это состояние имеет точно определенное значение энергии.Более подробно об этих механизмах можно прочитать, например, в монографииС.Ю.Никитин «Физическая оптика», М.: МГУ, (1988), часть II, лекция 6.14С.А.Ахманов,181182rrr (t ) ≅ r0 exp(− γt 2) cos ω0 t .(13.36)Спектральный состав излучения определяется фурье-компонетной ускорения электрона:r 2I ω ~ aω ,(13.37)где− ω 02 r1 &r&v−ω≅aω =r(t)exp(it)dt∫∫ r (t ) exp(−iωt ) ,2π2πиз (13.37) получимIω = I0γ 2π(ω − ω0 )2 + γ 24,(13.38)где I 0 = ∫ I ω dω полная интенсивность излучения осциллятора.
Выражение (13.38) представляет собой так называемую лоренцеву форму линии. Можно показать, что аналогичное выражение для формы линии, описывающей естественное уширение, получаетсяи в квантовой электродинамике, причем ширина γ определяется коэффициентами Эйнштейна спонтанного распада.Лэмбовский сдвиг атомных уровней.Рассмотрим еще один эффект, обусловленный взаимодействием электромагнитного вакуума с атомной подсистемой - так называемый лэмбовский сдвиг. При обсуждении тонкой структуры спектра атома водорода (см. Л_9) мы видели, что в соответствии стеорией Дирака для одного и того же значения главного квантового числа уровни с различным значением l , но одинаковым значением полного механического момента j ,например, 2s1 2 и 2 p1 2 , являются вырожденными. Оказывается, взаимодействия атомного электрона с вакуумным электромагнитным полем снимает это вырождение.
Уровень 2s1 2 смещается вверх относительносвоего положения, предсказываемого формулой Дирака, в то время как положениеуровня 2 p1 2 практически не изменяется (см.рис.13.3). Экспериментально лэмбовскийсдвиг атомных уровней был впервые обнаружен в 1947 году в опытах Лэмба15 и Ризерфорда. Мы сначала коротко обсудим основные идеи опыта Лэмба – Ризерфорда, азатем на качественном уровне проведем анализ явления. Схема экспериментальной установки по наблюдению лэмбовского сдвига приведена на рис.13.4. Нейтральные невозбужденные атомы водорода вылетают из печки (П) и подвергаются действию пучкаэлектронов, в котором электронным ударом происходит возбуждение атомных состояний 2s1 2 и 2 p1 2,3 2 . Атомы водорода H (2 p1 2,3 2 ) в результате радиационного переходабыстро переходят в основное состояние 1s1 2 .
Состояние 2s1 2 является долгоживущим15W.Lamb (р.1913)- американский физик, Нобелевская премия (1955) «За работы по аномальному магнитному моменту электрона»182183(метастабильным) поскольку переход 2s1 2 → 1s1 2 в дипольном приближении запрещен.В результате атомы H (2s1 2 ) долетают до детектора (Д) и отдают электронам детекторасвою энергию возбуждения ( ≈ 10.2 эВ). Получившие энергию электроны покидают детектор, и включенный в цепь гальванометр (Г) начинает показывать электрический ток.Величина электрического тока в цепи детектора оказывается пропорциональной пере-данной энергии, то есть числу метастабильных атомов водорода H (2s1 2 ) . По пути к детектору пучок атомов водорода пролетает через область СВЧ поля, частота которогоможета перестраиваться.
При совпадении частоты поля с частотой переходов2s1 2 → 2 p1 2 или 2 s1 2 → 2 p3 2 оказываются возможны вынужденные переходы в 2 p состояние, что приводит к быстрому спонтанному переходу в основное состояние. В результате метастабильные атомы не долетают до детектора и сигнал с него пропадает.Таким образом, оказывается возможным точно измерить положение уровня 2s1 2 относительно дублета 2 p1 2,3 2 . Эксперимент показал, что расстояние между компонентамидублета 2 p1 2,3 2 составляет величину 10950 МГц в соответствии с теорией Дирака16, ауровень 2s1 2 сдвинут вверх примерно на 1058 МГц относительно нижней компонентыдублета 2 p1 2,3 2 .Перейдем теперь к обсуждению физических причин возникновения лэмбовскогосдвига. Мы уже отмечали, что при строгом анализе строения квантовомеханическойсистемы, вообще говоря, необходимо учитывать ее взаимодействие с электромагнитнымвакуумом. Взаимодействие атомного электрона с вакуумными полями ведет не только кспонтанным переходам, но и к энергетическому сдвигу уровней17.
С физической точкизрения флуктуирующие вакуумные поля оказывают дополнительное воздействие наВ энергетических единицах это значение равно α Ry 16 .17Интересно, что и в классической теории сила радиационного трения ведет не только к затуханию колебаний атомного осциллятора, но и к изменению его частоты. Это изменение частоты излучения в некотором смысле является классическим аналогом лэмбовского сдвига.183162184электрон, приводя к его «дрожанию» на орбите. В системе отсчета, связанной с электроном, «дрожащим» оказывается атомное ядро.
В результате электрон «видит» его как неточечный объект. Ранее мы уже обсуждали (см. Л_9) влияние конечного размера ядра наположение энергетических уровней атома. В рамках рассматриваемой модели лэмбовский имеет точно такую же природу, только под размером ядра нам следует подразумевать амплитуду «дрожания» электрона на орбите. Мы видели, что учет пространственной структуры радиальных волновых функций ведет к тому, что неточечность атомногоядра приводила к сдвигу вверх только s - состояний. Поэтому мы ожидаем, что взаимодействие атомного электрона с вакуумным электромагнитным полем также приведет ксдвигу вверх атомных состояний с нулевым орбитальным моментом.Изложенные выше качественные соображения постараемся теперь облечь в математическую форму. Запишем уравнение, описывающее «дрожание» электрона орбитепод действием вакуумных полей:rre r rmδ&r& = eΕ vac + δr& × Η vac .(13.39)crЗдесь δr описывает отклонение электрона от равновесной орбиты.
Считая электрон нерелятивистским, и учитывая, чтоrrΕ vac (t ) = ∑ eλ ε kλ cos(ω kλ t ) ,[]k ,λзапишем решение уравнения (13.39) в видеcos(ω kλ t )rreδr = − ∑ eλ ε kλ.(13.40)m k ,λω k2λОпределим теперь величину среднего (по времени) квадрата отклонения электрона отравновесной траектории22ε2(δrv )2 = e 2 ∑ k4λ cos 2 (ω kλ t ) = e 2 ∑ ε 2kλ ω4kλ .(13.41)m kλ ω kλ2m kλЗдесь ε kλ - амплитудное значение вакуумного электрического поля в полевой моде. Этувеличину мы уже вычисляли (см. выражение (13.12)):4πhω kλε kλ =.L3Поэтому2(δrv )2 = 2πe2 h 13 ∑1 ω3kλ .(13.42)m L kλВ случае, если объем L3 достаточно большой, спектр полевых мод является достаточноплотным и в (13.42) от суммы можно перейти к интегралуd 3k11→= 2 3 ∫ ω 2 dω .2∫3 ∑3L kλπ c(2π)В результате получаем(δrv )2=2e 2 hπm 2 c 3dω 2 e 2 ⎛ h ⎞∫ ω = π hc ⎜⎝ mc ⎟⎠2∫dω 2 3 2 dω.= α a0 ∫ω πω(13.43)184185Полученный интеграл расходится и на верхнем и на нижнем пределе.
Для устранениярасходимости необходимо ограничить спектр полевых мод, взаимодействующих с электроном. В качестве граничных частот выбирают181 2 2 Z22hω max = mc , hω min = α mc 2 ,2nоткуда для квадрата амплитуды дрожания окончательно находим2(δrv )2 = 2 α 3 a02 ln 22n 2πZ α(δrv )2 ~ α 3 2 a0 ~ 6 ⋅ 10 −4 a0 << a0Как видно, амплитуда дрожания достаточно мала:Поэтому эффект окажется существенным только для s - состояний. Используя результаты расчета смещения s - уровней, обусловленные конечным размером ядра (см. выражение (9.11)), получим величину лэмбовского сдвига ns состояния.Z4δE ns ~ 3 α 3 Ry .nБолее точные вычисления были проведены Бете19 в 1947 году:8 4 3 12n 2Z α 3 Ry ⋅ ln 2 2 .δE ns =(13.44)3πZ αnи хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными Лэмбом и Ризерфордом. Как видно, в тяжелых водородоподобных ионах величина лэмбовского смещения уровней быстро возрастает.
Точное экспериментальное измерение лэмбовскогосдвига в таких системах представляет по-прежнему большой интерес, поскольку позволяет проверить предсказания квантовой электродинамики в сильных полях, когда параметр αZ ~ 1 .Отметим также, что в атоме водорода максимальная величина лэмбовского сдвига наблюдается для основного 1s - состояния. Однако, измерить это смещение гораздоболее трудно чем смещение 2 s - уровня. Это связано с тем, что промерять положение 1s- уровня также приходится относительно положения дублета 2 p1 2,3 2 . Относительнаяточность таких измерений должна быть примерно на пять порядков выше, чем в опытахЛэмба – Ризерфорда. Эксперименты такого уровня стали возможны лишь с развитиемлазерной техники в середине 80-ых годов XX века и были проведены Т. Хэншем20.
Как иследует из формулы Бете (13.44), величина лэмбовского сдвига 1s состояния примерно ввосемь раз больше, чем для 2 s - состояния.Задачи.13.1. В дипольном приближении определить вероятности спонтанных переходов между стационарными состояниями частицы с зарядом e в гармоническом потенциале.18Первое из этих ограничений предполагает, что электрон в атоме остается нерелятивистским. Низкочастотное ограничение предполагает, что вакуумные поля приводят именно к эффекту «дрожания» на орбите.Поэтому частота «дрожания «должна быть больше частоты обращения вокруг атомного ядра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
