Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Отсюда следует, что длпяа су или ЕО-+. Оу — лл при ходе точек вперед равна ЛΠ— Ьэч, при возвращении же назад, равна ЕО-э-й. Но эу есть длина или протяжение части среды ЬО„.когда она находится в положении су, поэтому длина этой части при ходе вперед относится к средней ее длине, как(ЖΠ— ХЕ):ЕО„.при возвращении же назад — как (ЕО-э- 1п): ЕО, или, что то же, как (ЕО.+-Х.У): ЕО.
Ио так как ХХ:КН= Хйу: ОР КН:ЕО = окр. РНЕР:ВС, то, обозначая через У вЂ” радиус круга, длина окружности которого равна ВС, будем иметь КЫ:ЖО= ОР: Г, н следовательно, Х.У ЕО=,Хйу Р Таким образом прп ходе вперед протяжение части ЕО, когда оиа находится в положении су, относится к ее среднему протяжению, которое опа имеет пря своем первоначальном положении .ЕО, как (à —,ХМ): 1~, и при ходе назад — как (У -э- гпэ): Р'.
Поэтому сила упругости точки Г при положении в р в месте ку прч ходе вперед относится к средней величине 1 1 этой силы в месте ЕО, как . '— и при возвращении назад — как г —,ТМ' р' — 477— 1 1 : -- ° На основании такого же рассуждения, получим, что упругие силы бизическвх точек К и О прн ходе вперед опюсятся к средней своей 1 1 1 1 величине, как: — н как: —; разность этих сил относится к той же средней величине силы упругости среды, как (Уг — НУ) ° (Р' — Клг) ' Уг' т.
е. как Ш вЂ” КУ 1 НŠ— КК ' уг уг если, вследствие весьма малых пределов колебаний, принять, что НУ и Кхт' бесконечно малы по сравнению с Г Так как величина à — постоянная, то разность сил пропорциональна Лг. — КК, т. е. длине ОМ, ибо (Ш вЂ” КК): НК= ОЗХ: О,У= ОМ: ОР, длины же НК и ОР— постоянные, значит эта разность пропорциональна также длине йр, причем ьл есть середина РУ: На основании такого же рассуждения будем иметь, что и при обратном ходе разность упругих сил юизических точек ь и у, т.
е. сила, действукяцая на юизический отрезочек ау, пропорциональна йю. Но пга разность (т. е. избыток упругой силы точки с над упругою силою точки 7) есть та сила, которою физический отрезочек ау ускоряется при ходе вперед и замедляется при ходе назад поэтому ускоряюп1ая сила юизического отрезочка ау пропорциональна его расстоянию от места середины его колебаний ал. Вследствие этого (по предл. ХХХт'Ш кн. 1) время правильно представляется дугою Ру, и линейный отрезочек среды а г' будет двигаться по указанному закону, т. е. по закону колебаний маятника. То же самое относится и до всех линейных отрезочков, из которых и сосгавляетоя среда."' ггз Лагранж в й б снося статьи азег ~а шзшйге бе геснйег беях епбговз бее Ргшс1рез бе Мещан», изложив вольным персжжом предложен на ХУЛП н Хллх, гоюряю кшкова данн ав Ньютоном теории рлспространевкн звука; ага теорян одвнвн почнталась за яепояятную йшвСеП|з1йей другие находят ее протязоречшюй, в сущвоств жег селя она я обладает такая недостатком, то тев, что ова сляшком частнал; но нместе стем она содержат зачаток нстннвой теорвв, опгрытой лишь в воследвее время прв помощя ава»вза».
Лагранж покшывает далее, что рассужденнл Ньютона сохраняют силу в в том случае, кида круг РНЯИР, кешрым Ньютон пользуется дла предстлвленяя закона колебательного дввженяя частвп, будет заменен в закво угодно другою кривою, мвымп ел»ваяя когда частвяа совершает не простые сннуссвдальвые. колебания, а какие угоджь ьллсдсуибкб. (ргсюда следует, что число распространяюпуихся сотрясений то же самое, как и число колебаний дрожащего тела, ибо они не уиножаются при распространении, — еизический отрезочек ау, как то тько возвратичся в первоначальное свое положение, то и остается в покое и не иначе Рассужденяе Ньннова и здесь, как и в крупы мастак «Начало, ствяозится гораздо легче про«водны„есля вкшазкть еорвуламя то, ыо ям выражено и представлено геометричсскя. Обозначим через Х вЂ” длину ЛВ«ВС= СДЛ, насылаемую Ньютоном «рзссъыняеи между последовательными сотрасенязми яли бяенияии» (рп!зпвш звссеза!«зппп жз!апяае), прямем какую-либо точку О прямой лю за начало абсцисс х, н пусть будет аз = ()У вЂ” абсцасса точка Рнрп покое, рыстжвие ДХ обозначая через хо=(1 и расстояние О(У вЂ” через хо-л-Ел! змплятуду колебаний частицы, т.
е. длину ПУ; равную ОР, обозначим через е, и еззу ее„ т. е. угы РОЛ в момент времена Ф, — через В. Прежде всего нодо составить нналитяческог выражение вазы 6 в зависимости от времени ! н абсциссы х. Зто выражение следует из вачальнык слов вью«опона зокззательстзз„в сапом деле, длина окружности РХйй равна Явг«длина дуги Ху онределястся пропорцией Нл! 2 г=хР1вС=Е:1 значат будет но так как,УНО есть приращение фазы, соответствующее пряращевыо ( — Ел) абсциссы« о будет 66 НУ Яв гОХ= — — Е,=— дх и звачвт 2к 6= Т вЂ” -(х-х,) 1 где Т есть пункция только времеви С.
Обозначая через Ло — повеет начала движения точка У; ва освовавни оговоренного усложвк «длнжяо окружности РНЕР я частями ее предстаэпяетм южное время одного мыебваиа я пропорциональнЫе части его, вялим, члв 2к Т = — (6-фо) прячем череа с обозначено сказанное полисе время одного колебаввя. итак 6 = 2в ) — — — л-~~ ° (2) Кзк уже указано, для точки Р абсцисса х хс, длн точки Л абсцисса хл — — х — Ел :м для точки 9 абсцясса хз — — хо.+.Ед, слщовательно соответствующие вазы: с — с гс — го Еч гз — с Н! бо=зв — 61 — — Як~ — +.ч« ~, а=Ям( — ч« ~ ° Перемещения ящк точек суты Рф =во =«(! — сааба); Дй=мл=т(! — СОВ 61); Ну=ил —— г(! — «саба).
таяня образом в момент с прстяжеияе илн лдяна «! гастяцы, коей первоначальная длина бьыа Х9, будет «у = (хс ч- Ел -е- вз) — (хо — Ел "+ мл) = 2(1 — (вт — вз) = Псу — дж придет в движение, как или от натиска дрожащего тела или же от натиска распространяемых иуим телом сотрясений, Поэтому он будет оставаться в покое, как только сотрясения перестанут распространяться дрожащим телом. н. 2 гЕл . с-ге Х)(с=ил — ит — г Гсов Ол — сов Ог) =2г ' ' еш21г 1 ибо величина Ел предпслагаетсм весьма малой по сранвевию с 1; следонателыю, отношение проткжеиив частицы ЕД, когда ее середина Е занимает положение р, к ее дливе ЕУ при 1 покое, обоэначав черте И вЂ” длину — г будет 2к .ЕД вЂ” В)К 2т~ С вЂ” Со 1' — .УМ ЛН =1 — е)п 2л — = 1' Так как упругость среды прщпыагаегсм пропорциональной ее плотности рс, пммность же еиаичсской частицы ЕН будет обратно пропорциональна ее врегвжевию, ибо влощтдь е поперечного сечения этой чашицы предполагается неисменвсй, поэтому сила упру- гоств, иначе давления ва площадку а, когда эта плспгадка, проведеннав через точку Р, вместе с вою иаходитса в положение р, будет выражатьсм еорвулою К )о Р— Му где ре есть начальное давление при покое среды.
Точно тан же сила упругости, действуивцав на такую же площадку е, дли тсчкв 1 будет 1' Ре Р и длв точки с ага сила будет )г Ро Р разность этих двух последнвх величин представит полную силу, действующую ва рассматриваемую частицу по направлению от .4 к Р.
Масса частицы получите», если умножить ее начальный объем 2Ел с ва плотеють ро, м будет 2ро Ел е. Но валости неличин Ш в ХР) но сравневшо с 1'вьппеупоминутую равность, т. е. действующую силу, можно нависать так: Ну, — ХХ й ° ° с. Но по малости величины Ел по сравнению с 1 будет Нл, — ХРУ = г аш 2в ~ .+- .„- ~ — г аш 21г ~ — ь — — — ~ = 2г - — ° соа 21г— Гс — го Ег 1, Гю — Фо Ег \ йийл с — Со т и следовательно, действующая сила Ш вЂ” КУ 4ил с — Ге бта ро Аэ т де ° а = 2Ел е ° ° ро г сш 2т — = 2Ел ° и ° — ° ро (г — ве) (4) в следовательно, ускорением частицы будет ро и = -ь — ° — (и — мо) э'е (и) т. е.
это ускорение пропорционально расстоквию 1 — ве часткцы до точки (), представляющей центр ее колебакий, в направлено к этой точке; следовательно, частица совершает простые сивусоидальные колебании вли, по терминологии Ньютона, колеблетсл по закову циклоидальмого мавтника. Предложение Х1ЛПТ. Теорема ХХХг111 Скорости распространяюгамхея в нм1нггмх огемдкосжях сотрясенмм находятся в крялюм ожногиеггмм корней квадратггых емл упругости окпдкосжей м в обратном отношении корнем квадратных мх млотностей, причем предполагается, что сила ггяругоетм жмдкоегпм пропорциональна сгрмгенмю ее. Скукам 1. Если обе среды одвородшпе и расстоявня между трясениями в обеих срединах одинаковые, но движение в одной более сильное, нежели в другой, то сжатия и расширения подобных частиц будут относиться между собою, как количества движения их.
Зто предложение не вполне точно, но если сжатия и расширения не слишком велики, погрешность не чувствительна, и значит, предлонгевие может быть принимаемо аизически за точное. Движущие упругие сизы ггропорциональвгп сжатиям и расширениям, скорости равных частиц, производимые в одинаковые времена, пропорционазьны сидам; поэтому равные и соответствующие частицы ягидкостм, по которой распространяются сотрясения, при своих колебаниях взад и вперед проходят пропорциональные сжатиям и расширениям пространства со скоростями„ пропорциональньппи этим пространствам, следовательно, в одинаковое время; поэтому сотрясения пробегают при своем распространении в продолжение постоянного времени одного полного колебания частицы путь, равный расстоянию между соответствующими частицами, так что каждое сотрясение приходит на место, занимавшееся ближайшим ему предшествующим.
Из равенства этих расстояний следует, что сотрясения бегут и обеих срединах с одинаковыми скоростями. Случам 2. Есин расстояния между двумя смежнымн биениями, иначе длины их, в одной среде больше, нежели в другов, то положим, что соответствующие частицы совершают такие колебания, величины наибольших отклонений в которых пропорциональны сказанным длинам, тогда сгущения и разрежения в обеих срединах будут равны. Следовательно, если средивы— однородные, будут равны и те движущие упругие силы, под действием которых частицы колеблются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
