Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Сопротивление шаров, движуп)ихся в находящихся под давлением безграничных жидкостях, пропорциональны плотностям жидкостей, квадратам скоростей и шэадратам диаметров, Следсиэеие .2. Наиболыпая скорость, которую может достичь шар, падающий в жидкости под действием кажущегося своего веса, такова, которую этот шар, падая под действием того же веса без сопротивления, получает пройдя путь, относящийся к четырем третям диаметра шара, как плотность шара относится к плотности жидкости.
Ибо шар, двигаясь с этою скоростью геэ Так «ак сопротивления шара и описанного около него циляндра прн гипотжю сплошной жидкости между собою равны, то будет, на основании оорпул (1) и (2) пррпечаШв: 1 1 и = — вол д = — Вйй 4 2 (1) тРэ где Я есть площадь большого круга шара, т.
е. В = —, когда Р сэвачает диаметр шара, 4 так что Л= — пРтээ 4= — тХВЛЧ, 1, 1 Гб (2) В предложении ХХХ1т иокээаво, что для жидкости редкой, т. е. состоящей иэ отдельвык ноэависииык частиц, сопротивление шара равно ищовине сопротивления цилиндра. В следствии (2) рассчитывается предельная скорость, которой может достигнуть падающий в жидкости шар. Зта скорость со определяется иэ равенства сопротивления и кажущегося веса: 1 4 Рэ — Ялв сот 4 = —,в — (3 д) . 3 8 откуда 8 3 — д тоэ = —, Р— у д (3) Ньютон эту оорнуэу представляет иначе. 4 Рэ Так как касса шара есть — т — „° 3 и кажущийся его вес в жидкости 3 3 4 лРа(3 Д)у 3 — Р то ускорение уэ при свободном падении шара в жидкости есть — 3 — у, и оориулу (3) пожив нэяисать так: 8 3 'о =, Руг' д Полагал еот = 2ву„получив 4 с Х =.—,Р.— д д ьак это и выскэвако в следствии 2.
— 453— равномерно в продолжение времени своего падения, прошел бы путь, относящийся к восьми третям его диаметра, как плотность шара к плотности жидкости, отношение же силы тяжести, производящей это количество движения, к силе, которая могла бы произвести такое же количество движения в продолжение времени, пока шар, двигаясь равномерно с этою скоростью, проходит путь в восемь третей диаметра, равно отнопгению плотности жидкости к плотности шара, следовательно кажушяяся сила тяжести будет равна силе сопротивления, и значит, шар не может ускоряться. Следствие 3. Когда заданы плотность шара и начзльная его скорость, а также и гглотность покоящейся и находящейся под давлеяием жидкости. в которой шар движется, то для всякого времени найдутся скорость шара, его сопротивление и пройденный им путь по следствию 7 предложения ХХХг'.
Следствие а. Шар, движущийся в яаходящейся под давлением покоящейся жидкости одвнаковой с ним плотности, утрачивает половину сапего количества движения ранее, нежели пройдет путь, равный удвоенной длине своего диаметра, по тому же следствию 7. Предложение ХХХ1Х. Теорема ХХХ1 Опгношение сопропмшления шара, двмжугцеюся равномерно в зяшдкости, находящейся под давлением и заключенной в замкнутой трубе, к такой силе, которая могла бьг промзвесгпи мли уничгввжать полное его количество движения в продолжение времени, пока он проходит восемь третей своею диаметра, ириблмзмпгельно равно произведению слефющих огпношенггйг площади сечения труби к избытку пломшгйг этого сечения над половиною площади болюаею круга пьара, квадрагпу отношения площадм сечения труби к мзбьапку опнгй площагйг над плошадью больмгею кгпгга ивара м лотмостгг жидкости к плотностгг шара.
Получается из следствия 2 предложения ХХХ ггП такам же образом, как и предыдущее предложение. ЛОУтЕНИХ В двух последних предложениях (так же каки в лсм. У) предполагается, что вся вода впереди шара, текучесть которой увеличивает сопротивление, к нему првмерзла; если же эта вода в жидком состоянии, то сопротивление будет немного более. Однако это увеличеняе сопротивления в рассматриваемых случаях не велико, и нм можно пренебречь, ибо выпуклая поверхность шара исполняет ту же роль, каь и лед.
— 454— Предложение Ху Задача 1Х Определите по наблюдаемым явлениям сстиуотивление, испытываемое жаром ири движении в жидкой среде, находящейся под давлением. Пусть лт есть вес шара в пустоте,  — его вес в яидкости, Ю— 4 диаметр шара, лг — длина пути, так отвосящаяся к -Ю, как плотность шара к плотности жидкости, т. е. как а: 1л4 — В); Π— время, в течение которого шар, падая без сопротивления, проходит путь Р, и Н вЂ” скорость, которую он в этом случае получает. Тогда Нбудет тою навбольшею скоростью, которую шар может достигнуть под действием веса В в сопротивляющейся среде; по следствию 2 предложения ХХХт'Ш, сопротввление, испытываемое шаром при этой скорости, будет равно весу В; сопротивление же при всякой другой скоэостн будет относиться к весу В, как квадрат этой скорости к квадрату наибольшей скорости Н, по следствию 1 предложения ХХХ1УП1 Таково сопротивление, происходящее от инеркии вещества жидкости.
Сопротивление же, которое происходит от упругости, вязкости и тренвя жидкости, исследуется следующим образом: шар пускаетсв свободно падать в жаукости под действием своего песа В; пусть Р есть время падения, выраженное также в секундах, как и время О. Определяется число лт', зР соответствующее логариаму 0.4342944819 ° — ~ и пусть Ь означает ло- О .У-+-1 гарном числа ; тогда, если скорость, дослигвутая при падении, будет У в 1 .У -1 — Н пройденное при падении пространство будет '" — — 1.3862943611 Р-е- 4.606170186 Х .
Г 2Р ° Р О Ыо Обозначая через и — ускорен не силы тяжестя и через рг — ускорение, которое имело бы тело, двигавсь в жидкости под действием кажущеяяя своего веса так, что прн иьютоновом обозначения рд . р = В: Л; тогда, обозначая через со — предельмуго сюрссть, можаю написать уравнеяие движения тела ж — =ж рл — рл— Лс ! воз/ откуда получаем "оз полагая затем н — =в т +е зс 1оя ео влв ияаче: е"» — ) о = — оо с"С -г-1 Если жидкость достаточно глубока, то членом 4.605170186Х" и' можно пренебречь, н пройденное пространство составит приблизительно — 1.
3862943611 Р. 0 Все это следует из предложения 1Х этой книги и его следствий, в предположении, что шар нвкакого другого сопротивления не испытывает, как толысо происходящее от инерции материи. Если же, сверх того, он будет испытывать еще какое-либо сопротивление, то его падение будет происходить медленнее, и по этому замедлению можно определить и величину этого добавочного сопротивления. Чтобы проще находить скорость и длину пути тела, падающего в жидкости, я составил таблицу (сгр. 456), в которой первый столбец заключает време падения, второй дает приобретаемую при падении скорость, принимая наибольшусо скорость за 100 000 000, в третьем показано пространство, пройденное за это время падающим телом, принимая за 2Р то пространство, которое тело опясывает в продолжение времени 6, двигаясь равномерно с наибольше1о скоростью, в четвертом показано пространство, проходимое за время, указанное в первом столбце при д ижении с ваиболь- 2Р шею скоростью.
Числа четвертого столбца суть —; вычитанием из них числа 1.3862944 — 4.6051702 Х получаются числа третьего столбца. Эти числа надо помножить на Р, чтобы получить пространства, пройденные падающим телом. Сверх того, прибавлен еще пятый столбец, заключа1оший пространства, проходимые телом при падении в пустоте под действием силы, равной его кажу1цемуср весу ХУ (см. таблицу на стр. 456). Высота пааенив с л и свт — 1 2с 1-+- си( 2гз еж=се 1 44=се)-з- )ои — — — е)окэ.
(2) си(.+.1 в си( и е о Ньютон нсрмулы (1) и (2] пишет иначе, а змеина время 1 у него обозначено через Р, величина т — через О, величина сзс обозначена через 2Р; величина си( обозначена через лсл лагариомы он прекнолагает обыкзовеяиые, число 9.49429 .. есть иолуль сбыкновенныл логаРие ион т. е 1зкы с число 490917... = 21ов 1О, число 1 28629...
есть 2 1си 2; таким сбРавем оормула, прииске ннаи в тексте, есть не что ивсе, как норм уз а (2), вели чины Р и 0 вычисыпосси пе оорвулам В 1 1 З Р= — 3. = — д — не 4 Л вЂ” В 2 1 Пространопю, которое тело прошло бы, авв таись с ване. скоростью Прсстравшва, пробдевные ври паленки в жидкости пронек Ско5юств пюшю Пространство, прокоиииое ври паленки в пустоте щего тела в жиакости 0,00000! Уа 0,001 П 0,000001 Р оо,о Р' !ОО,О Лг ! 8,6! 37056 Р' НОШЕНИЕ Чтобы исследовать сопротивлевие жидкостей по опытам, я изготовил деревявиый сосуд квадратного еечеиия, пшрииою и длиною внутри по 9 англ. дюйиов, глубиною же 9т/, еутов, иаполпил его дождевою водок и замечал время падения шаров, сделанных из носка е свющовым ядром ввутри; высота падежи была 1 12 дюймов.
Аиглийекий кубический аут заключает 76 римских еуитов дождевой воды, кубический же дюйм— 19 1 36 увщш е. 2бз 3 'рпа; вод ой шар, коего д аметр 1 дюйм, вес 132.663 грана в воздухе плп 132.8 грана в пустоте; объем всякого другого шара пропорционален избытку его веса в пустоте вад весом его в воде. 0,01 О,! 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,О 7,0 8,0 9,0 10,0 П 99999= 999967 9966799 1973753Я Я9131261 37994896 462117!6 53704957 69436778 66403677 71629787 76159416 96402758 99505476 99932930 99990920 99998771 99999834 99999980 99999997 99999Я994- 0,0001 0,0099834 0,0397361 0,0886815 0,1559070 0,2402290 О,3402706 0,4545405 0,5816071 0,7 ! 96609 0,8675617 2,6500055 4,6!В6570 6,6143765 6,6! 37964 10,6137 17 9 12,6!37073 14,6!37059 16,6137067 О,ОЯ О,Я 0,4 0,6 0,8 1,0 12 1,4 1,6 1,8 2,0 4,0 6,0 8,0 10.0 12,0 14,0 16,0 18,0 0,0001 0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0,49 0,64 0,81 1,0 4,0 9,0 16,0 25,0 36,0 49,0 64,0 в!,о — 457— 1 Омьпп 1.
Шар, вес которого в воздухе был 156 — гранов н 77 гранов в воде, прошел полную высоту 112 дюймов в 4 секунды. Прн повторенвв опыта шар опять падал в продолжение тех же 4 секунд. 13 Вес шара в пустоте есть 156 — гранов и пзбыток его веса над ве- 38 13 сом воды 79 — гранов; отсюда следует. что диаметр этого шара равен 0.84224 дюнма. Плотность воды относятся к плотности этого шара, как избыток его веса над весом воды к весу самого шара; з таком же отношении находятся н восемь третей диаметра шара 1т. е.
2.24597 дюйма) к длине 2г'; которая поэтому равна 4.4256 дюйма. Шар в продолжение 1 секунды, 13 падая под действием полного своего веса 156 — гранов в пустоте прохо- 38 двт путь, равный 193 — дюймам; под действием силы в 77 гранов в то жс время, без сопротивления, прошел бы в воде 95.219 дюймов, в продолжение же времени О, которое составляет от 1 секунды такую же . Г2.2128 долю, как Ч'лс от Ч95 219, т.
е. у932183 шар пройдет путь, равный 2.2128, и достигнет своей наибольшей возможной скорости в воде. Следовательно, время О = 0.15244 секунды. В продолжение этого времени О, двигаясь с своею наибольшей скоростью Н, шар проходит путь 2г'=4.4256 дюйма, следовательно в продолжение 4 секунд он прошел бы путь 116.1245 дюймов.
Вычитан пространство 1.3862944 лл= = 3.0676 дюйма, получим в остатке 113.0569 дюймов, которые должен бы провтн шар в 4 секунды, двигаясь в воде, заключенной в безграничном сосуде. Эту величину надо уменьшить, в виду узкости сосуда, в отвошенвн, равном произведению корня квадратного нз отношения площади сечения сосуда к избытку этой площади над половиною площадн большого круга шара ва отношение площади того же сечения к избытку ее вад площадью большого круга шара, что составляет 1:0.9914. Сделав это, получаем 112.08 дюймов, которые и должен бы проходят шар, падая в продолжение 4 секунд в упомянутом деревянном сосуде, согласно теории. Прошел же он при испытании 112 дюймов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
