Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 87
Текст из файла (страница 87)
— 431— Предяонгемив ХХХт. Задача т11 Лредполагагд что редкая среда сосен(нггп илравныа весьма малым( понояигиася частяиц, свободно расположенныа в равнин друг от фуга расстояниям, тмребуется определипгь сопротивление, испытываемое равномерно движущимся в пгая(вл среде шаром. На оск ЗС берется провзкольяая точка М, к путь МР( есть ордвната искомой правой; возьмем бесконечно близко к В точку Ь в бесконечно блкзко к М точку ш так, чтобы сумма 1 1 — Мж -+. — ВЬ 2 2 осты(алась постоянной, какую бы точку М на оси вя брать; обозначен эту сумку через с, шпожим также 1 1 — Мш — — ВЬ =с 2 итак, — Мш -+ — ВЬ = с; — Мж — — ВЬ = $ 1 1 1 1 2 ' 2 2 проведя ордннаты жв я Ьд в прямые Жч и ЫН параллельные аси, получим отрезочкв чв к уд, я будем выбирать дляву с так, чтобы было тде к — также ноатоянная, т.
е. не зависит от тложенкя точки М. Докажем оперна, что сумма сопротивлений, испытываемых элемевтакк поверхности, происходящими от обращения отрезочков Од к №, будет наименьшая прк условия Сопривзление, испытываемое рысяатряваамымк злементамк поверхности по напразленяю .ВС, пропорционально саатнетстаенно кольцевик площадям, описанным отрезочками чв в тд( к обратно пропорционально №2 и Сдз( а так как этв кольцевые площади пропорциональны ордяватам МВ к Вач ябо во условию чя я уд постоянны, то сукна сопротивлений пропорциональна количеству ВС М.У Сдз №2 зто количество и должно быть наименьшим, прячем ВО я Мм надо считать постоянными, а изменяются ляжь счд к Ьчя. Но Сдз — ВЬ2.+.
уд2 — (с-1)2.+. аг; Вял =жмг.+. вд =(с.+.1)2.(-ае слеп(вателыю наименьшею должна быть величава (с — 1)2-(-яг (з +-1)2.+.кз .+- ураюшвая нулю ее производную по 1, имеем ВО ° (с — Е) МЖ ° (с -г- $) (('-о-ч( =((таз(( Сдл ( Ргве = З(ч ° ВЬ: МУ(" ° М Случаа 1. Вообразим, что цилиндр, диаметр и высота коего равньу диаметру шара, двшкется с такою же скоростью, как и шар по направлению своей оси в той же среде. Положям, что частицы среды, на которые наталкивается цилиндр или шар, отражшотся с наибольшею силою.
По предыдущему предложению, сопротивление шара вдвое меньше сопротивления 2 цилиндра, объем шара составляет — обьема цилиндра, и циляндр, ударяя Но для крчйпей точки З, ва основании предыдущей теоремы, угол уОВ должен развиться 1Збо, так что Ой=Чачу слодовательпо и предыдущая пропорция будет Оуе = 4туе 4тйе: Зие = ВО ° ВЬ: МУУ Проведя ОЛ параллельво иЗ (т. е. з пределе параллельво засательвой в точке ЗЬ будек иметь подабвые треупиьвики итти ВОЛ, иа которых следует чя: чЛ= ВО: ВВ чи = уу = ВЬ и чУ = Мьч ио слщовательво ВО.
Мж .ВЛ Вместе с тем чи.' Учи= ВО: ОЛ зяачят Жь ° ВО чи = уд = ОЛ и из пропорции (1) следует 4ВО4 ЗОз ° Мт ОЛ4 ВЛ ° МЛ- Мж 4ВОз ° ВЛ: ОЛз = ОЛ: МЖ или иначе это и есть даввое з тексте условие. Примем ось зращевия за ось х и положив МЖ=у, ВО=а туОЛЗ=у~) .ВЛ=— у1 и ° У1.+-у'з у/ и предыдущее условие уаввосильво, при теперещвих обожжчевкях,диооереициальвоиу урвав евивч уу1а = — я (1.+.у~зп= 4 (й! Обозвачея через й — мыооициеит сопротивлеиия, получим, что полисе сопротивлевио ва поверхяссть выражается ивтегралом Х частицы нормально и, отражая их с наибольшею силою, сообщает им скорость, вдвое ббльшую своей собственной, поэтому в продолжение того времени, как он равномерно проходит путь, равный половине длины своей оси, он сообщит частицам количество движения, так относящееся к количеству движения его самого, как плотность жидкости относится к плотности этого цилиндра.
Шар сообщит частицам такое же количество движения Раэысзаиие эшшпшп'а этого ивтеграза, по прааизам варианвонного исчисзениэ, приводит в уравиыппо дХ Л др — — — — =о, др Ив ду! гге уу!э 1.+.усз' Но таэ ааз оуввпии Р' переменной в евно не содержит, то ее позван произзоднав по т будет ИХ дХ др' дв ду ду' — .рс+..уз; это уравнение, на основании предыдущего, вапишетсп таи: ЛУ ! д дХ,дХ! здесь первая часть есть познав производваи по х, и значит, по интегрировэшш, будет й' — у' — = С. др' д(д В рассматриваемом случае Ы з- усз — уу!з . ду! (1 — уФТ полагая 1 С= — — а и и позучаем ньютоново решение уу!з (1-+-у')' (б) Ньютон ве счел нужвыи представить свое решение в аназитичесэса норме, т.
е., паложвв уг = р, вырыть в оуиинии Р не юыьзо ординату у (! -~-Рт)з а ' 1гз но и абсписсу в. Заметив, что бм = — з имеем дн р гбр У грлр 1 (1- Рнэ 1 г(1- Рз)з дР в=) — = — -+-) — = — а ° -+- — а ) )р' а р' а ) р' гз = — а ~ — ° — -+- — -+-!об д~ -ьст а (.а р' Р' где Сг — постоэннап проиэвозьваи, опредезиемаэ в рассматршюемом случае из усзовив, что а должно Равнатьси во пРи Р = 1, — 434— в продолжевие того времеви, в которое он равномерно проходит путь, рав- 2 вый своему диаметру; в то же время как он проходит — своего диаметра, сообщит частицам количество двшкевия, относящееся к полпоиу количеству движения его самого, как плотвость среды к плотности шара. Поэтому шар испьггьшает сопротивление, так отвосящееся к силе, которая могла бы поглотить или образовать полное его количество двиясения в продолжение того времени, как шар проходит равноиерво путь, равный двум третям своего диаметра, как плотность среды отвосится к плотности шара.
Случаи л. Положим, что частицы среды, встречаемые шаром или цилиндром, пе отражаются, тогда цилиндр при иориальном ударе будет сообщать этим частицам скорость, лишь равную своей собствеввой, и будет испытывать сопротивление, раввое половине предыдущего; сопротивление шара составит также половину предыдущего. Случаи 8. Предположим теперь, что частицы среды обладают некоторою силою отражения, которая меньше наибольшей и яе равна нулю, яо средняя между этою наиболыпею и нулевой, тогда и сопротивление шара будет средним и ваходяпиьчся в таком же отношении к сопротивлению в первом и во втором случае.
Сэедсяэе~е 1. 'Таким образом, если шар и частицы бесковечно тверды и лишены всякой упругости, а значит, и всякой силы отражевшц то сопротивление шара отвосится к силе, которая может поглотить или образовать полвое его количество движевия в продолжение того времеви, в которое шар проходит путь, равный четырем третям своего диаметра, как плотность среды относится к плотности шара. Следсяэсие,й. Сопротивление шара, при прочих одиваковых условиях, пропорционально квадрату скорости. Слсдсювмс 3. Сопротивление шара, при прочих одинаковых условиях, пропорциопальво квадрату диаметра.
Слсдсяэсие 4. Сопротивление шара, при прочих одинаковых условиях, пропорпионально плотности среды. Следсисме 5. Сопротивление шара пропорциональво квадрату скорости; квадрату диаметра и плотвости среды. Следсчпвме 6. Движение шара при таком сопротивлении может быть представлено так: пусть АЗ (фиг. 17Ц представляет то время, в продолжение которого шар может утратить все свое количество двия<епия, если принять сопротивление постоянвым и равным начальному; к АВ проводим перпендикуляры АЭ и ВС и по ЗС откладываеи длину ВС, изображаю- — 435— представится ордиватою гиперболы .ЕР, за утратою части Р6.
Сопротивлевие шара в конце того же времени представптся длиною ВН, за утратою части НС начального сопротивления. Все это следует из предложения У П ле твия 1 3. книги , с дс и Следсчвове 7. Таким образом, если шар в течевие времеви Т, предполагая, что сопротивление В остается постоявяым, утрачивает полное свое количество движевия лп, то этот шар в продолжение времени 1 утратит, вследствие сопротивлевия среды, уменьшающегося вместе со скоростью .И пропорционально квадрату ее, количество двюкевия, равное †, и осга- М Т ющаяся его часть составит"- — при этом шар пройдет путь длина коего Т--ь- Е ! относится к пути, описываемому во время э раввомерпо с такою скоростью, при которой количество движения равво М, как и 3 Фик 1ть 2.302 585 092 994 ° !ой —:— Т-+-л Т Т '7 ибо отвошевие площади ВСРР гиперболы к площади ВС6Е равно такой величиве.