Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 88
Текст из файла (страница 88)
110 УЧЕНИЕ В этом предложении изложено о сопротивлении и замедлении шаров, движущвхся в срединах пе сплошных, и получево, что это сопротввлеяие отвосвтся к силе, которая могла бы поглотить или образовать полное количество движения шара в такое время, в которое шар, продолжая щую полвое начальное количество движения шара; через точку С проводится гипербола 6Р, имеющая своими асимптотами прямые АЛ и .4В. Продолжим АЛ до кахой-либо точки Е и восславим перпеядикуляр .ЕР, пересекающий гиперболу в точке Р.
Дополнив параллелограмм ВС6Е, проводим прямую Алэ, пересекающую ВС в Н. Если шар в течеяие какого- либо времени ВРе продолжая двигаться равномерно в среде несопротивляющейся, описал бы простракство, представляемое плошадью СЛЕ6 параллелограмма, то в сопротивляющейся среде о~ опишет пространство, представляемое гиперболическою площадью СВЕКР, и количество его движения в копце скззавпого времепи — 436— двигаться рзввомерво со скоростью, равной начальной, прошел бы путь, рав- 2 иый — своего диаметра, как плотность среды относится к плотности шара; зто будет в том случае, когда шар и частицы среды весьма упруги и обладают наибольшею силою отражения.
Сказанное сопротивление будет вдвое меньше, когда шар и частицы среды бесковечво тверды и совершеняо лишевы силы отражения. В средивах сплошных, таких как вода, горячее масло, ртуть, в которых шар ие ударяет непосредствеяио о все часпшы жидкости, производящие сопротввлевие, а надавливает сперва на ближайшие частицы, которые падавлявают ва следующие и следующие, сопротивлепие еще в 2 раза мевьше.
Такцч образом в такого рода весьма текучих срединах шар испытывает сопротивлевие, отиосящееся к силе, которая может образовать или поглотить полное его количество движения в продолжение времени, в которое шар, продолжая двигаться равно- 8 мерно, прошел бы путь, равный — своего диаметра, как плотность средивъз к плотиости шара. В последующем мы постараемся зто показать.
Предложение ХХХ'И. Задача УШ Определить движение воды, вытеяаюиьей через ируьюе отверстие, сдееамное в дне сосуда. Пусть АСВЮ (фиг. 172) есть цидвпдрический сосуд, А — его открытый верх, СЮ вЂ” дзо, параллельное горизонту, ЕР— круглое отверстие по середиве два, 6 в центр отверстия, 6Н вЂ о цилиндра, перпендикулярная горизояту. Вообрази, что ледяной цилиидр А1фВ имеет тот я е диаметр, как и полость сосуда, и ту же ось и что ои опускается равномерно, и что те его части, которые достигают коверхности воды АВ, тают и, обратившись в воду под действием своей тяже~тн, стекают в сосуд и, продолжая двигаться вниз, образуют водопад или столб воды АВЖРЕЗХ, который, выходя через отверстие .ЕР, заполняет его целиком. Пусть раввомерная скорость опускания льда и соприкасающейся к нему по кругу АВ воды равна той, которую вода могла бы получить падая с высоты,ТН, причем,ТН составляет продолжение 6Н; проведем через точку .Т прямую КЬ, параллельную горизонту и пересекающую боковую поверхность льда в К и Ь.
Скорость воды, вытекающей через отверстие .ЕР, будет равва той, которую вода могла бы получить при падедевии с высоты Т6, позтому, по теореме Татзея, отвошевве .Т6 к ТН будет равно отвошевию квадратов скоростей воды в отверстии РРи в плоскости круга АВ, т. е. равзо квадрату отношения площади круга АВ к площади круга ЖР, ибо эти площади обратно пропорциональны скоростям воды, через впх протекающей в одинаковое время и в одинаковом количестве. Здесь идет речь о скорости воды, перпендвкулярной к горизонту. Движение же воды параллельно горизонту, с которым частицы воды сближаются друг к другу, здесь не рассматривается, нбо опо происходит не от силы тяжести и не изменяет движения, перпендикулнрного горизонту.
Предположим же, что частицы воды чуть-чуть сцепляются и вследствие этого взаимного сцепления прп движении вниз сближаются, двигаясь параллельно горизонту, так что образуется одна струя, а пе много отдельных, по это параллельное горизонту дзиженке, происходящее от такого сцепления, здесь не рассматривается. Случай 1. Вообрази теперь, что вся полость сосуда в смежности с текущей вниз водою АВЖРЕМ заполнена льдом и что вода течет через лед, как через трубу. Если бы вода совсем не касалась льда или, что то же самое, и касалась бы, но вследствие чрезвы- чайной гладкости льда скользила бы по нему совершенно свободно, не встречая никакого сопротивления, то она вытекала бы через ч .ыа отверстие ЛР с тою же скоростью, как и раньше, и полный вес столба воды АВХРЕЛХ затрачиеалея бы па производство ее истечения как и раньше, дно же сосуда поддерживало бы вес льда, окружающего столб воды.
Если бы лед в сосуде растаял, истечение воды по отношению к скорости его осталось бы таким же, как и прежде. Оно не будет меньше, нбо превращение льда в воду лвшь способствует ее течению вннз; оно не будет больше, ибо лед, превратившись в воду, не иначе может течь вниз, как отнимая от движения вниз прочей воды равное количество движения. Та же самая сила должна сообщить ту же самую скорость тому же самому количеству воды. Но отверстие в дпе сосуда, вследствие наклонного движения вытекающей воды, должно быль несколько больше, нежели прежде, ибо теперь не все частицы воды проходят через отверстие перпендикулярно к его плоскости, но, прптекая по всем направлениям от стенок сосуда и сходясь — 438— к отверстию, проходят сквозь пего косвенным движением и, стремясь вниз, сливаются в струю вытекающей воды; эта струя в иебольшои расстоявии под отверстием имеет диаметр меньше диаметра отверстия приблизительно 1 1 в отношении 5 к 6 или 5 — к 6 — если только я достаточно точно об- 2 2 мерил эти диаметры.
Для этого я изготовил очень тонкую пластинку с отб верстием посредвве, диаметром в — „дюйма, и чтобы струя вытекающей воды ве ускорялась и не становилась от увеличевиой скорости тока тоньше, я укреплял эту пластинку не к дву, а к боковой стенке сосуда, так что струя вытекала по направлению, параллельному горизовту. Затем, когда сосуд был заполнен водой, я, открыв отверстие, чтобы дать воде вытекать, измерял точнейшим образом диаметр струи в расстоюши 1 21 около — дюйма от отверстия и получил — дюйма таким образом отвоше- 2 40 вие диаметра сказанного круглого отверстия к диаметру струи было около 25 к 21. Вода, чтобы пройти через отверстие, притекает, сходясь отовсюду, и после выхода из отверстия от этого схождения струя ее ставовится тоньше и, вследствие утопения, ускоряется, пока пе достигнет расстояния 1 около — дюйма от отверстия; з этом расстоянии струя тоньше и быстрее, нежели в самом отверстии, в отношениви 26 ° 25 к 21 ° 21, т.
е. приблизительно 17 к 12 или 1/2 к 1. Из опытов также оказывается, что количество воды, вытекающей в продолжепие заданного времени через круглое отверстие в дне сосуда, такое, которое соответствует протоку с упомявутой выше скоростью не через самое отверстие, а через такой круг, коего диаметр отиосится к дваметру отверстия, как 21 к 25. Поэтоиу вода при проходе через самое отверстие имеет заправленную вниз скорость, равную той, которую получило бы тяжелое тело при сзооодном падении с высоты, равной приблизительно половике высоты воды в сосуде. После же выхода из сосуда скорость воды увеличивается от сжатия струи, пока в расстоянии, приблмзительно равном диаметру отверстия, ова ве станет больше, вежели в самом отверстии, в отвошевии Ч2 к 1 и станет тогда равной скорости, приобретаемой телом, свободно падающим с высоты, равной высоте воды в сосуде.
В последующем диаметр струи будет привиматься равным диаметру отверстия ЕР', при этом будем воображать, что проведена плоскость ГУт', параллельная ЕР, в расстоянви, равном диаметру отверстия, и в ней прорезано болыпее отверстие ЯТ так, чтобы струя, проходя через пего, заполияла бы вижиее отверстие ЕР, т. е. отверстие ЯТ такое, что его — 439— диаметр относится к диаметру ЕР, как 25 к 21. Танин образом вода будет протекать перпендикулярно плоскости нижнего отверстия, и количество вьггекающей через него воды будет тогда приблизительно согласоваться с тем, которое предполагается при решении задачи. Пространство же между этими двумя плоскостями и струею может быть пр~шято за дно сосуда. Но чтобы решение задачи было проще и более математично, предцочтительнее припкчать за дно сосуда лжпь плоскость нижнего его основания и воображать, что вода, которая протекала через лед или через трубу и вытекала из сосуда через отверстие .ЕР в нижнем основании, сохраняет свое движение, лед же сохраняет свой покой.
В последующем пусть 8Т представляет диаметр описанного из центра Я круглого отверстия, через которое струя вытекает из сосуда, когда вся вода в сосуде жидкая, и .ЕР— диаметр отверстия, через котороеструя проходит целиком, заполняя его, идет лн вода через сказанное верхнее отверстие ЯХ из сосуда, нлп же течет внутри льда как бы через трубу. Диаметр верхнего отверстия ЯТ пусть относится к диаметру нижнего, как 25 к 2 1, и перпендикулярное расстояние менарду плоскостями отверстий равно диаметру нижнего ЕР.
Направленная вниз скорость воды, вытекающей из сосуда через отверстие 8Т, будет при проходе через плоскость его равна скорости падающего тела, соответствующей половине высоты ул; скорость же продолжающей свое падение струн при проходе через отверстие РР равна скорости, соответствующей всей высоте 70.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
