Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 81
Текст из файла (страница 81)
е. и сумме всех произведений ЗХ Эг1, а значит, и площади"' кривой ВКгТа. ЗЮ Изложенное в атон вредюжении рассуждение равносильно следующемз: обозначив через ж — массу маятника, Л вЂ” соиротинление, на вето деаствующее, через Ь вЂ” его нанни,изе отклонение СВ и через а — его отклонение Са ври конце первого размака. Уравнение движения мантнвка будет вмз жд ж —, -з- — - ° з —.— и Лм 1 И1 которое можно нависать в таком виде: дзз и — — г-з-з =- —. ° Ь и лгу =~~д Слсдсэпгпгс. Таким образом по закову сопротивления и равности Аа дуг С — Са эюжно вывести приближенную величину отношения силы сопротивления к силе тяже(ти.
Так, если сопротввление ЭК вЂ” постоянное, то фигура ВКТа будет прямоугольником, коего основание Ва и высота РК, и так как проиаве- 1 денни — Ва ° Аа равно площади этого прямоугольника, т. е. Ва ЭК, то 1 ЭК равно — Аа. Так как ЭК представляет сопротивление, когда сгглэг тяжести представляется длинен> мантника, то отношение сопротивленв~ 1 к тяжести равно отношению —, Аа к длине маятника, согласно с доказанным в предложении ХХЧП1. Если сопротивление пропорционально скорости, то оигура ВХТс весьма близка к эллипсу. Ибо, когда тело в среде без сопротивления описывает пря полном размахе дугу АВ, то его скорость в любом месте Э пропорциональна ординате ЭЕ круга, описанного иа диаметре АВ. Так как длины Ва в среде сопротивляющейся и ВА в среде без сопротивления описыван>тся приблизительно в одинаковое нремн, то скорость в каждой отдельной точке Ва относится к скорости в соответствующей точке ВА, как Ва к ВА, значит скорость в точке Э при движении н сопротивляющейся среде будет пропорциональна ординате круга или эллипса, описанного на диаметре Ва, следовательно чигура ВКГТа будет близка к эллипсу.
Итак, предполагая, что сопротивление пропорционально скорости, представим длиною О )г сопротивление в средней точке О. Площадь эллипса В(ьЮа, описанного ва полуосях, ОВ и О)г и центр коего О, будет приблизительно равна площади ВКУУТа и равному ей прямоугольнику Аа.ВО. Следовательно, отношение Аа ВО к Ор' ВО равно отношению площади этого эллипса к ОГ ВО, значит Аа относится к ОР, как площадь полукруга к квадрату радиуса, т.
е. приблизительно как 7 1 1 к 7 таким образом — Аа так относится к длине маятника как 11 йэ Умножал первый член этого уравнении вв — — ° ж второв м третви ва — гЬ и ннтегп г гЬ грирув в пределак от л = Ь до э =. — — е, получим, эаветвн,что — = О, как при е †... Ь, тав оз и прв л= — а: — (Ьэ — аэ)=- ~ 1 ° — ° гЬ, 1 г .и егд (3) Ньютон полагмт У)к г1= Лг ту; предыдущая еормула и выражает выоваэанвую ыОрену.
сопротивление колеблющегося тела прн прохождении через точку О к силе тяжести. Если сопротивление ЭХ будет пропорционально квадрату скорастг, то ингури ВКРТа будет близка к параболе, вершина коей есть Р'и ось 2 ОР; площадь этой оигуры будет приблизительно равна — Ва ° О г. Сле- 3 довательно, будет — Ва Аа= — Ва ° Ог 1 2 2 3 т. е. ОР= — да 3 4 поэтому сопротивление качающегося тела при прохождении через точку О 3 относится к его тяжести как — Аа к длине маятника. "' 1 4 Я считаю, что точность такого рода соображений вполне достаточна для практических приложений, ибо если эллипс или парабола ВВ1У8а совпадают с кривою ВКРТа в средней точке Г и если на одной половине ВЛ т' нли Гба их ординаты превосходят ордннаты кривой, то на другой половине будет наоборот, н таким образом площади приблизительно уравниваются.
лле Этв соображевн» основаны на предположевнв, что сопротвщеняе среды настолько мало, что можно считать скорость прн двнженнн н среде сопротивляющедсе такою же, как в тоа же точке нрв дввжеввв бес сопрогввленвн. Сохраняя обосначевня предыдущего прнкечання, овеем прн Š†. — О: лл умножив на — — ° ов = — Ле в нетегрнруя в пределах от л = д до л = л, получив лс ' — / = Ф= — '(Ьт — лар Н= =- ,ул Ут бс/ =1 Если сопрминлевне и пронорцвональво е, то будет пк=ь ь'ь' —; т.
е. кр>пая Зхиа есть оллкпс. Еслв сопротннленве Л пропорцновально от, то будет .Эуг = ь 1ьг— т. е. кривая Няня есть парабола. Предложемие ХХХд. Теорема ХХЧ Если секретив.гение, испытываемое качающимся те.юм в каждой оиадельной часгки онггсываемой им дуги, бгудет увеличегю или уменыиено в иостоянном отнотении, то и разность между длиною дуги нисходящей части вю размаха и следующей за нею восходящей увеличится или уменьгиится в том исе оинияаении. Так как эта разность происходит от утраты скорости маятяика вследстзие сопротивления среды, то ока пропорциокалька как этой утрате, так и пропорциоиальному утрате сопротиз.гению.
В предыдущем предложеиии у показано, что произведение — аВ ° лаа, где Аа есть разпость упомяпутых дуг С — Са, разпо площади ВКТа, площадь ке эта, если сохраиять основание аВ, увеличивается или умепыпается з том же отяощепии, как и ордизаты РК, т. е. пропорпиозалько сопротиилеиию, следовательно эта площадь пропорциопалька длипе аВ и сопротиилепию, зпачит произзедеяие — аВ Ла пропорциокалько сопротиплекию и аВ, следовательно лга нропорциояально сопротивлению. Следствие 1. Если сопротизлеиие яропорциопальио скорости, то разность дуг з той же среде пропорциопальиа полкой величине размаха, и паоборот.
Сгедснгвие 2. Если сопротизлепие пропорциопальпо квадрату скоростгг, то разность дуг будет пропорциопальпа квадрату зеличипы полпого размаха, и обратно. Следствие 3. Вообще, если сопрохизлепие пропорциоиально .кубу или какой-либо ивой степени скорости, то и сказаипая разиость будет пропорциокальпа той же степеии зеличипы полпого размаха, и обратно.
Сгедстгнге 4. Если сопротизлезие частью пропорционально первой степепи скорости, частью Второй, то разкость будет также часгью пропорциокальпа первой степези величины полного размаха, частью второй, я обратно. Вообще закон, выражающий зависимость сопротизлепия от скорости, таков же, как и закон зависимости разности дуг от полкой зеличипы размаха. "' ггг Ках ета теорема, тах и ее следстввв имеют место лишь при уповввуюв в иреднЛущем предложении допущении. В саном деле, предполагал,что сопротивление пропорциовтьво и-оа степени сворости и что оно настольно мало, что при хаждом отдельном распахе можно снорость принвмать Олеостнеп)е 5. ('ледовательао, когда ваятвпк последовательво совер- шает веравиой велпчквы размахи, то можно вайти зависимость возраставия вли убывания сказанной разности вместе с величиною размаха; по этой ЗаВИСИМОггти ПОЛУЧвтои ЗатЕМ И ЗаВПСНМОСтЬ СОВРОтИВЛЕВИЯ От СКОРОСГП.
ОБЩЕЕ ПОУ'1ЕП11Е На основании этих предложений, по качаниям маятников в сопротивляющейся среде можво найти сопротквлоиие среды. Я, ва осповавии этого., исследовал совротквлекие воздуха при поиощп следующих опытов. Я подвесил к прочвому крюку иа тонкой вити деревяввый шар, вес 7 7 коего был 57 — римских унций'" и диаметр 6 — англ. дюймов так что 22 ' ' 8 равной той, которую мантнии имел бы в глоб точке, качаясь в пустоте, иа основании равенства (к)имеем л ь (Ь вЂ” а) — =-Ь ~ екал и причеи Ь есть некоторая постоянная; та величину е можно припять илп —.
тдз — лт У 1' или, как делает НьЮтон. Ь- ° -а где е = —, е и тогда предыдущее уравнение заиепитея таким: 3 .е-с лтьт с (Ь вЂ” о)=Ь1 ~ (ст — ж) ° Ле-жй,си ~ ~1 — -/ Щ в итюрои й, есть неноторая постоянная. Полагая л =ел, имеем Ь вЂ” а = йл - си ) (1 — т)" ° Л» = Кои -1 где К вЂ” постоянная, а так как разность Ь вЂ” а предполагается малой, та вместо е июкно нависать Ь, и тогда будет ь — =кь .
Очевидное что когда сопротивв ние Л представляется суммою членов вида Ь1 еее -е- йвер -ь Ьз сй -1-..., то уменьшение величины размаха представляетсв суммою в| да К1 ди + Кв ЬР +. Кз Ьй ч- 1 1ьа Римская рника есть — англ. трнтаегоу. т. е. аптгкарсиого равная 4ВО гранам. чго !3 равно 31.1035 грамму. — 409— 1 расстояние между крюком и цевтроч качания шара было 10 — мутон; Ка НИтв я ОтМЕтИЛ тОЧКу В раоотОявнн 10 чьутез 1 дЮйМа От цЕНтра ПОдВЕСа, и против этой точки я установил линейку, разделенную на дюймы, по которой я и замечал дляяы дуг, описываемых маятяиком. '" Затем я сосчитывал число размахов, после которого маятник утрачивал восьмую часть величяны своего размаха. Например, когда маятник отводился от отвеса на 2 дюйма и пускался так, что полная величина дуги нисходжцей части размаха бьыа равна 2 дюймам, полная все величина первого размаха составляла почти 4 дюйма, то после 164 качаний ов утрачивал восьмую часть величины своего размаха, и пря последнем размахе 3 длина восходящей части составляла 1 — дюйма.
Когда прн первом размахе 4 нисходящая часть дуги составляла 4 дюйма, то ов утрачивал восьмую часть после 121 размаха, причем восходящая часть последнего размаха 1 составляла 3 — дюйма. Когда маятник при первом размахе описывал дугу 2 в 8, 16, 32, 64 дюйма, то он утрачивал восьмую часть размаха после 1 1 2 69, 36 — 18 — 9 — размахов. Следовательно разность длин нисходящей 2 2 3 дуги при первом размахе и восходящей при последнем составляла соответственно в первом, втором, третьем, четвертом, пятом и шестом случаях: 1 1 — —, 1, 2, 4, 8 дюймов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
