Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 79
Текст из файла (страница 79)
В сопротивляющейся среде наибольшая скорость движения имеет место не в яизшей точке С, а в указанной выше точке О, разделяющей дугу аВ пополам, и когда тело после того продолжает свое движение к а, то ово замедляется совершенно так же, как оно ускорялось при своем движенни от В до О. — 395— Предложемие ХХ г'У. 'Реореиа ХХз Качания маятников по ииклоиде в суеде, оказывающей сопрсвяивление, пропорциональное скорости, изохуонни. Ибо, если два тела, рзявоудзлеввые от центров подвеса, описывают при качании пе равные дуги, то скорости в соответствующих частях згих дуг относятся между собою, как эти полвые дуги разиахов; сопротивлевия, пропорциональвые скорости, будут также в этом отношении друг к другу. Следовательно, если к движущим силам, происходящим от тяжести, которые пропорциопальвы этим же дугам, приложить или от ивх отвять зто сопротивление, то разности или суммы будут находиться в том же отяошеиии, а так как приращение яли умевьшевие скорости пропорционально этим суммам или разностям, то скоросп~ все время будут пропорциональны полным дугам размахов.
Следовательно, если скорости в каком-либо случае были прои орциопальвы п олвым дугам, то о пи и оста вутся постоявво в этом же отиошевии друг к другу. Но в начале движения, когда тела только что начинают опускаться и описывать эти дуги, силы, так как опи этим дугам пропорциональвы, произведут скорости, им пропорцвональвые, следовательно скорости постоянка будут пропорциональвы полвььм дугам размахов, поэтому эти размахи будут описываться одновременно. Предложение ХХ гП.
'кеорема ХХгз .Если маятники испытываюпг сопропгивление, пропорииональное квадрату скороогпи, гио разности времен их размахов в суеде сопротивляюиьеася и в среде тою асс удельного веса, по не сопропгивл ющейся, бугпЗт пуиблимапельно пропорииональни величине размахов. Когда два одинаковых маятвика совершают в сопротивляющейся среде размахи неравной величины А и В, то сопротивление тела, описывающего дугу А, относится к сопротивлению в соответствующей части дуги В, как квадраты скоростей, т.
е. приблизительно как Рз: В'. Если бы сопротивление ва дуге В откосилось бы к сопротивлению на дуге А, как А.В:Аз, то по предыдущему предложевию времепа размахов по дуге В и по дуге А были бы между собого равны. Поэтому сопротивлевие А' па дуге А, соответствующее сопротивлеяяю А В па дуге В, производит увеличевие времеви размаха по дуге А по сравнению с таковым же в среде песопротивляющейся; точно так же сопротивление В' проиаводит увеличеиие времеви размаха по дуге В по сраввепию с таковым в среде, не оказывающей сопротивления. Но эти увеличевия приблипвтельио 14.
Ззк. 3350 пропорпиовальвы производящим их силам, т. е. А В и В', или, что то же, дугам й и В. Следствие 1. Таким образом по временам размахов разлячвой величины, совершаемых в сопротивляющейся среде, можио узвать время размаха в среде того же удельного веса, ве оказывающей сопротивления. Ибо развость времен будет так относиться к избытку времени качания по меньшей дуге по сравиевяю с таковым же в среде ве сопротивмпощейся, как разность величавы размахов к меньшему из вих. Следсггияге.з, Малые размахи более близки к изохроввости, нежели большие, самые же малые совершаются в сопротивляющейся среде во время, весьма близкое к тому, как и в среде, сопротввлевия ие оказывающей.
Времена размахов, совершающихся по большего протяжения дуге, немного продолжительнее, оттого что сопротивление при движевив тела вниз, увеличивающее продолжительвость размаха, вследствие большей дливы описаяпой дуги больше сопротивлекия при последующем движении вверх, которым эта продолжительность сокращается. Кроме того, как время малых размахов, так и больших, весколько удлиняется вследствяе движения самой среды. Ибо тела при замедляющемся движении испытывают вемвого меньшее сопротивлевие, движущиеся же, ускоряясь, немного большее того, которое соответствовало бы их скорости при равномерном движении; эго происходит потому, что в первом случае среда, вследствие воспрвпятого ею от тела движения, ваправлевного в одну сторону с движевием тела, более тесво за телом следует, во втором случае — менее, и поэтому более или менее согласуется с движением тела.
Вследствие этого маятники при движении впиэ испьпъшают большее сопротввлевие, при движеиви вверх в меньшее, нежели соответствующее скорости, и от обеих причин время размаха удливяется. Предложепме ХХгШ. Теорема ХХШ Ясли «олеблющийся ио цикла«де маятник испытывает мосяюянное сопротивление, то оно так относится к глгле тяжести, как рамнюгяь между ивяною длиною дуги нисходяивей часгви размаха и следу«имей за нею восходжцей отноаггися к удвоенной длине маятника. Пусть ВС представляет (оиг. 16б) дугу висходящей части размаха, Са — восходящей, Аа — их развость; ва основании установленного и доказавиого в предложевви ХХч', отиошевие силы, ускоряющей колеблющееся тело в каком-либо его положевии Л, к силе сопротивлевия равно отвошевию дливы дуги СЛ к двине дуги СО, равной половине сказанной ра~ости.
Поэтому сила, ускоржощая тело в начале циклоиды, т. е. в высшей ее точке Я, где эта сила равна полной'силе тяжести, относится к сопротивлению, как длина дуги ЯС цнклоиды между этой высшею и самою низшею ее точками относится к дуге СО или, удваивая оба члена последнего отношения, как полная длина циклоцеы, т. е. удвоенная длина маятника, к дуге Аа. Предложение ХХАХ. Задача ге Предполагая, кто колеблющееся по миклоиде тело испытывает сопротивление, пропорциональное квадрату скоростнн, найти величину сопроиеивления в казсдом отде. пном месте. фип 186. Пусть Ва — полная величина размаха (еиг. 166), С вЂ” нижняя точка циклонды, СЯ вЂ” половина полной ее дуги, равная длине маятника; требуется определить сопротивление, испытываемое телом в каком-либо месте Э.
На неограниченной прямой ОЧ берутся точки О, 8, Р, Я так, как будет указано виже, и восставляются перпендикуляры ОК., 8Т, РТ, ЧЕ; на асимптотах Оч и ОК строится гипербола ТТОЬ, пересекающая перпендикуляры ЯТ, РТ, фЕ в точвах Т, Т, Ж; через точку Т проводится прямая КР, параллельная асииптоте ОЧ, пересекающая асвмптоту ОК в К, перпевдикуляры жеЯТи чŠ— в В иР. Точки О, Я, Ри Чнадо взятьтак, чтобы отношение гиперболической площзди РТЕО к гиперболической плот ади РТТВ равнялось бы отношению длины дуги нисходящей части размаха ЗС к длине дуги восходящей части Са и чтобы площадь,ТЕК относилась к площади,ТХТ, как 09 к 08.
Затем перпендикуляром МЖотсекается гиперболическая площадь РОМ, так относящаяся к гиперболической площади Рад, как дуга СЯ к дуге ВС Пели затем перпецдикуля- 14л — 398— рои Л6 отсечь гиперболическую площадь РЛ6В, которая относится к площади РТУ(), как произвольно взятая дуга СЭ относится к дуге ВС, то сопротивление в точке Э будет относиться к силе тяжести, как площадь™ гьл Чтобы поясяить приведевиое в тексте решение, сопоставим его со следующяя, в котором выкладки расположены так, чтобы оия соответствовали даваеиым в тексте геометрическим вредсгавлеиияи.
Пусть будет: ю — масса маятяике 1 — длина его, раеиая длине Снодиой палуветви циклоиды, р — ускорение силы тяжести, Ь = С — иачальиое отклонение моятииио а = Сов его отклоиевие в кояце первого распаха, л = СЭ вЂ” отклонение в какой-либо моменте, с — ско- 1 рость в ятот момент и .К = — Й»яя — сопрсживкеиие. 2 Уравнение движевия маятвика будят д 1 1 бе1е .+.— е=.о.
Ь ~ а1е 1 2 (бе/ бв бо прячем яиак .+- мадо брать, когда — ( О, и эвак — когда я- ~ О. де Дуга считаются поюяштельвыим от С к В, тогда, полагая и = и, получим для первого 1 волураяиаха ураввевие (2) По бе = ~ бе о следоватасьио Фа бс обо бее бс Зе и ураввеияе (2)вавюпется оЖ 1 — -+- яа = — йое. Ио (й) Полагая — ео = и, прививая о — ва пвремевиую невависияую и обовяачая ~ червя м~, би имеем и' — Ьи = — «о. (а) Откуда следует (Ь) Длп овредолеввя постоявиой проковольвой С имеем усювие, что ври и = Ь велячява м=с, т.
е. О = Ссйь -е-.бЬ.+- В. также обраоои будет м=якч- — (ЛЬ +-В) Ь(е Ло — 399— Происходящие от силы тяжесп1 силы, которыми тело ускоряется в точках Я, В, З и ач пропорциональны длинам дуг СЛ, СВ, СЗ, Са, ати же длины пропорциональны площадям РТАМ, ИХ9, РУСЛ, ГЛТВ, повтому можно представить и силы и дуги зтиаж площадями. Пусть, кроме того, Зс( есть весьма малое пространство, пройденное телом при Но сила сопротивления все же тела каменка .й в В нх значенвямя, волучмм !ь ' ) .,ь1 -ь 1 ОБ=с, ОР=р, О()=К, ОМ=Ь, РЛ=), Оп=с, ВИ=ч тогда уравпенве гиперболы Т,ИУЬВГ будет и упавппаемые в доквзатехьстве плошддв будут. РУВД =рд )ои К ' РЮТБ =р~1ои Р; РУОВ =РЪ |ок —; ,уЬВ= ь(д — р) — рьЫК вЂ” ', ~.Т=рь(ок — — ь(р — с) К. и Рс с ' .ТОП = Ь ($ — р) — РЬ 1ов — ° и Р ТЛ(Х = РХ! ов— Ь р Между етним плопюдямп уатананлвваются аютяошевмя, которые выражаются следуюпмпсм ураввсвпямж 1ок —; 1ои — =Ь."а К .
и р ' с (Ч вЂ” р) — РЬМ ~ ~: (Р1ои — — (р — с)~ = К:с 1ои —: 1ок — =1: д К и и МК вЂ”: МК-=а: Ь с. К р' р Пусть будет 1ов — = рч тогда пв последаей пропоряпв вмеем К и гс с=р ° с (10) Обратммса теперь к решеввю Ньютона. Првмея точку О ва начало ююрдппат, прямую МΠ— ва ось 1 я прямую О)ь — еа ось ч я воложяю что можно написать так: ( ОО )' ОВ.
6В= ОР РТ но ва основании равенств ОВ НО = ОВ Н — ОВ ° ОВ = ОВНН вЂ” ОРТК = РТНВ = = РТОВ -е- ТОН в ураввевяя (9) примут следующий вяд: ес И=р ° с)с; е=р ° е; й=р-е пя еп — 1 — П= — — 1-+-е ) ° е ,ь Ой) в отяошевве силы сопротмелеввя к силе тюкеотк, раввое ~-б~ ° люл' — л(рлл): Рхим будет е / ж е ° (еп — 1 — М) — (1е — 1 — — ) (: — =( 1.+ — — (1- В)еь ): 1 ь ь ))(ь (1 ь величина (ь пока произвольная; стоне только веять в мы получим, чщ предо;лущее осноше а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
