Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Если нз пряных углов ОРгд, ОДВ (пиг. 155) вычесть равные углы ЯРД, ЯбВ, то останутся равные углы Фвг. 1бб. ОРЯ и О бЯ, поэтому круг, проходящий через точки О, Я, Р, пройдет и через точку ф Когда точки Р и Ч' совпадут, то этот круг будет касаться спирали в месте совпадения и, значит, будет пересекать прямую ОР перпендикулярно, следовательно эта прямая будет диаметром круга, а угол ОЯР, вписанный в полуокружность,— прямым. На 01' опускаются перпендикуляры ббР и ЯЕ; предельные отношения ливий будут таковы: Щ:РЗ= ТЯ: РЕ= РЯ;1'Е= 2РО: 2РЯ точно так же РР: Р9 = РЯ: 2РО.
Отсюда следует '" 2РЯ ° ТО= 2РО ° РЗ = РОл. гю Если привять точку Б за полюс и какую-лвбо поеюянвую правую за полврвую осьз то уравнение данной логарпемической спяралн будет г=нс точка О есть центр кризпчвм для точки Р атой спирали. Обозначан через а — угол БРО' мсмду радиусом-веаторои п нормалью, будем иметь гй и = и н р=РО=г ггг.е-мз н приведенная в тексте оормула раатсильна такой Эг ° РД = гз (1 .+- из) бйз, — 370— Предложение Х т. 'Реорема Х11 Вслц плотноспзь среды в отдельных местах обратно пропсчнпссна виа нх рассзпояннял1 до неподвижнозо центра ц если центростремительная сила пропорциональна нвадраепу плотности, то я утверждаю, что тело может обращаться по спирала, перссенающееу яод постоянным утлом все раднусы, исходящие нв этпоьо центра.
Полагая то же самое, как и в предыдущей лемме, продолжаем 89 до ег так, чтобы 8ег было равно БР (еиг. 156). Пусть в течение какого-либо проиежутка времени тело, двигаясь в сопротивляющейся среде, описывает весьма малую дугу Рч', в продолжение же двойного такого промежутка — дугу РВ. Утраты в длине этих дуг, происходящие от сопротивления, иначе утраты по сравнению с дугами, которые были бы описаны в среде несопротивдяющейся в продолжение тех же промежутков времени, относятся друг к другу, как квадраты этих промежутков, так что утрата в длине дуги Рйбсоставияет одну четверть от утраты в длине дуг РВ; поэтому, если взять площадь 9ог, равную РЩ, то утрата в длине дуги Р9 будет равна половине длины отрезочка Вг, следовательно отноукение силы сопротивления к центростремительной будет равно отношению отрезочков 1 — Вг и Щ, образуемых одновременно.
'ы зы Ньютон сравнявает здесь Лвижеяие в среде сопротивляющейся с движением под действием той жо пентрострсмательной силы при отсутстиии сопротинлення, приче» он, длн нахождения отношения между силами, берет отношение отклонений, проязводииых этими сплава в прожыженяе бесконечно малого промежутка времени. Обозначим этот промежуток через -., скорость тела в точке Р— через о и ускорения от силы сопротивления — через ю, проекцию ускорения центростремительной силы ва касательную — через юы полную же вели- эз чину етой силы — через —, пассу тела будем считать равной 1.
Тогда пиесы 1 1 РО = от — — юз тз — — ютз и Я 1 1 РВ=о ° Ят — —,ю (ЯтР— — ю[зту=вес — Яеоьтз — эюзтк я з я — 371— Откловевие, производимое силою сопротюыекия среды, Ньицов представляет дли- 1 иою — Ва тьк что Я 1 1 — Вг = — ютл 2 2 чтобы получать зту длпву, водо жжбразить, что яч точки Р выходит тело, заходящееся пад действиеи той же цевтростремительвой силы, во сопротивлевия ве испытывающее, с такою скоростью, что в кродолжевас промежутка времеви т ово проходит тот же самый путь Р9. Очевидно, что зта скорость 1 ез — о — — кя~ 2 и тогда действвтольво: 1 1 1 Ро=е т — — ялте =от — — ютз — — ютта 2 2 2 В продолжение времени 2т тело пройдет путь 1 ° 2т — — юл (Ят)з .= Яос — ютз Яюз тз, 2 и следовательво, будет Вг = Рг — РВ = ютл вместе с теи влощадь РЗО= Ояг, ибо, по предположению, ва тело сопротявлепве ве действует.
Дальнейшее рассуждения пояспевий ае требуют. Чтобы вместо пропорциоиазьвостей получить раееиства, стоит толью заметить, что будем . тз; тО. ЗРз= — РОз. ЗР= — р.зы, 1 )лз 1 1 2ЗРз ' 2 2 отсюда следует На осиовавяя формулы (4) текста имеем 1 ОЗ Роз Вг'= — — . — =ю 2 ОР ЗР Значит, 1 ОЗ Р(И 1 1 ОЗ оз 2 ОР ю ЗР Я ОР ЗР Но, по предположеввю, ю =Ьгбец, где Ь есть плотвость среды и Вà — постояивый ковоевциеат, и так как — ОЗ: ОР = — я: Я1.+- вз 1 1 2 2 то предыдущаа оормула дает 1» 1 Втд =— 2 ь'1.+.ят ЗР Затем, иа основание оормулы (1~), 1 я Из 1 я ю= №тз =— ° — — — мл.
Я,)1., „з ЬРг 2 ьг(-пят (е) Отиошеиие же ю: юз есть пгиошеике силы сопротивлеиия к цевтростреююельвой. Так как центростремительная сила, действующая на тело в Р, обратно пронорционвльна ЯРз и так как по лемме Х книги 1 отрезочек Т9 пропорционален втой силе и квадрату времени, в продолжение коего описывается дуга Рч (ибо в зтом случае соппотивленисм, как бесконечно меньшим — 372— РО, 1 РО ° т'ЯР 1~ЯР т. е. обратно пропорциональна 1(ЯР.
На основании подобного рассуждения, скорость, с которою описывается дуга ьлВ, обратно пропорциовальва т34. Но этв дуги пропорциональвы скоростям, с которыми ови описываются, т. е. относятся друг к другу, как ~/Яф к у'ЯР, иначе как Яьл' к УЯР $9, по равевству же углов ЯРЯ=ЯОг и равенству площадей РЯь) = юг отношение дуги РО, к Ог равно отношению ЯД к ЯР. Из этих пропорцвй следует, что разность Вт, равная 9.— ДВ, Вг — — (ЯР— ь|ЯР ЯЩ = — Р'О ° —, (2) ибо в пределе, когда точки Р и 9 совпадают, отвошевие $Р— ~/ЯР ЯО 1 к — Ф'9 равно едиввце. Но так как происходящая от сопротивления утрата 2 длины дуги Р9, влв величина Вг, вдвое ее ббльшая, пропорциональва сопротввлеввю и квадрату ар~певи, то сопропвлевие пропорционально Вг РО' ° ЯР (3) На основавви же приведенного вьппе выражения Вг, будет Вт 1 Уф 1 ОЯ (4) Рдэ.ЯР 2 РО ЯР Яд 2 ОР ЯЯ ибо в пределе, при совпадении точек Ри О, $Р= ЯО, угол РТО,— прямой, и по подобию треугольввков РРЯ и РЯО будет Р9: — Р9 = ОР: — ОЯ.
ОЯ Таким образом, пропорционально сопротивлению, а следовательно, плотности среды в точке Р и квадрату скорости, Исключая пропор- центростремительной свлы, я превебрегаю), то Т9. ЯР', т. е. по преды- 1 дущей лемме — Рьи ° ЯР, пропорцвопальво квадрату времени, следовательво время пропорциовальио Р9 т'ЯР и скорость тела, с которою в эти время описывается дуга Рч, будет пропорциовальна 1 циовальвость квадрату скорости, т. е. —, останется,чтоплотвостьсреды О8 О8 в Рпропорциовальва, .
Для задаввой спирали отвошевие —— 1 постоявиое значит плотиость в точке Р пропорциональна —. Следова! 8Р тельно, тело может обращаться по сказанной спирали в среде, коей плотность обратно пропорциовальна расстояюпо ало центра. Слсдсяюяе л. Скорость з любой точке Р такова, с которою тело в среде ве сопротивляющейся могло бы обращаться под действием такой же цевтростремвтельной силы по кругу з расстоявии от центра, раппом БР. Оледсчясие 2.' Плотность среды при постоянном расстоявии БР про- 'ОЯ порциовальна — „если же это расстоявие ве постояввое, то плотность про- 08 порциовзльва —, поэтому можно приспособвть спираль к любой плотвости среды.
Олздсчязве 3. Сила сопротивления в любом месте Р относится к цен- 1 тростремительвой в том же месте, как — ОЯ: ОР, ибо эти силы относятся. 1 как — Вг: Щ, иначе как 1 КД ° РД 1 Рф 4 8Д ' 2 БР 1 1 т. е. как — И'„>: РЯ, что равно — ОЯ: ОР. Следовательно, когда спираль задана, то вайдется отвошевие силы сопротввлеввя к центростремительной, и ваоборот, когда задано это отношевие, то найдется спираль. Олсдсювие 4. Следовательво, тело только тогда может обращаться по такой спирали, когда сила сопротивления мевьше, нежели половвва центростремительной. Если сопротивление будет равно половине центростремительвой силы, то спвраль обратвтся в прямую ливию Р8, я по атой прямой тело будет падать к центру со скоростью, которая будет откоситься к найдеввой выше (случай параболы, теор. Х кв.
У) скороств движевия в среде не сопротивляющейся, как 1: 1/2 . Время пэдевия будет обратно пропорционально скорости и, значит, найдется. Саедстяеяе б. Так как при одвваковом расстоявии от цевтра скорость в движении по спирали Р9Л и по прямой 8Р одна и та же, длина же — 374— спирала находится в постоянном отношении к длине прямой Ж, вмевво как ОР к 08, то время опускания по спирали и время опускання по прямой 8Р находятся в том же отношении ОРк 08, и значит, первое найдется.
Слсдстяеме б'. Колк цецтром 8 н двумя какими-либо заданной длины радиусами описать два круга к, сохраняя нх, изменять как угодно угол, составляемый спиралью с радиусом $Р, то число оборотов, совершаемых телом при переходе его по спиралям от одной окружности к другой, про- РЗ порцнонально —,, т. е. тангенсу угла, состазляемого спиралью с радиусом Р8, время я~е этих оборотов про- ОР порцнональво — т. е. секансу того ОЯ ' же угла, иначе — обратно пропорционально плотности среды. Следствеие 7.
Коли тело в среде, плотность которой обратно пропорцнональна расстоянию мест до центра, будет совершать по некоторой кривой АЖВ оборот около этого центра и пересечет первый радиус А8 (енг. 157) в точке В под таким ясе углом, как раньше в А, н с такою скоростью, которая относятся к его скорости в точке А, как ~/В8:~/А8, то это тело будет продолжать совершать бесчисленное множество подобных обращений ВЕС, СОВ и т. д. и, пересекая радиус А8, выделит на нем отрезки А8, В8, С8, З8 н т.
д., образующие непрерывную пропорцию (геометрическую прогрессию). Времена оборотов будут прямо пропорциональны периметрам АЕВ, ВРС, СОР орбвт и обратно пропорциональны скоростям й э в нх началах А, В, С и т. д., т. е. будут пропорциональны .48, В8, а 2 С8 н т. д. Наконец, полное время, в продолжею~е которого тело достигнет до центра, будет относится ко времени первого оборота, э в з как сумма всех членов прогрессвв А8, В8, С8 и т.д., продолженной з до бесконечности, к первому ее члену А8 , т. е. пропорционально частному от разделения первого члена А8 этой прогрессии на разность э 3 2 АЯ АЯ' — ВЯ или, приблизительно, пропорционально — —; отсюда это время и находится весьма просто.
Следспгтге 8. Отсюда можно также с достаточным приближением вывести движение тел в срединах, коих плотность или постоянная, илн же следует какому-либо иному заданному закону. Из центра Я радиусами ЯА, ЯВ, ЯС и т. д. в геометрической прогрессии опиши несколько кругов и прими приближенно, что продолжительность оборота между периметрами двух из вих в среде, о которой шло дело, так относится ко времеви оборота в предложенной среде, как средняя между этими крутани плотность этой среды относится к средней плотности между теми же кругами среды, о которой шло дело. Прими также, что секанс угла, под которым вышеопределевная спираль в среде, о которой шло дело, пересекает радиус АЯ, находится в этом же отношении средних плотностей к секансу угла, под которыи новая спираль в предложенной среде пересекает тот же радиус, и наконец, что полное число оборотов между теми же двумя кругами приблизительно пропорционально тангенсам сказанных углов.
Если это сделать для любой пары кругов, то движение может быль продолжено через все круги. При таком предположении можно без затруднений определить, какни образом н в какое время Поливы обращаться тела в любой среде правильного строения. Следствие 9. Хотя такое движение, как эксцентричное, должно бы происходить по спиралям, приближающимся к овальной перме, но рассматривая, что отдельные обороты этих спиралей так же отстоят друг от друга и в такой же степени приближаются к центру, как и для вышеописанной спирали, можем себе представить, каким образом происходят движения тел и по того рода овальным спиралям. Предложение ХУ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
