Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 71
Текст из файла (страница 71)
/ Ы яьс т Второй член этого ряда ~ — — „, ) а надо привять за Да, третяй Ю -$-И „яс -с- Зис-с- 2а —,Ь'а' — зэ Вас, четвертый, Ьса' — зз Яа', тогда плот- 8 среды - в какой-либо точке 6 будет ВсЧс 1-с- сес а-+-2 1 3 ~/ас -с- — а' — -+-— сс са" сасс Значит, плотвость обратно пропорциовзльва длине ХУ. Сопротивление получится по отношению его к силе тяжести, равному ЗХУ:2 6У, скоросп, же такова, какую тело имело бы дввгаясь по параболе, коей вер- ХУ' швва 6, диаметр Р6 и параметр — „, Таким образом, если привять, что плотность среды в каждом месте 6 обратно пропорциональна расстояввю ХУ и что сопротивление в любом месте 6 относится, как ЗХУ: 2 У6, то тело, пущенное из точки з с вздлежащею скоростью, и опишет зздаввую гиперболу А6К.
Пример 4. Предполагается, что 26К есть вообще некотории гиперболическая кривая, коей цевтр Х и асимптоты МХ и лЧХ, обладающая тем свойством, что если построить прямоугольвик ХЕРА, коего старова УР пересекает кривую в 6 и ее асимптоту з У, то У6 обратно пропорционально РЖ", причем показатель а задается; требуется определить плот- вость среды, брошенное в которой тело будет двигаться по атой гиперболической кривой.
Положим: пойтому, если отложить по ГЯ дйвву ГХ=мР6, то пйотноеуь будет обратно пропорциональна Хй, ибо б, 2Ыз ийа а' и — а' — -е- —,— ез еа" ' а'" суть квадраты дйвн ХЯ и ЯК Сопротивление вместе с тем относится к свдс тяжести, как т. е. как 2из-е-2и и -е- 2 скорость же повсюду такая, с которою брошенное тело шйо бы по пара- боле, имеющев вершину сл, диаметр 641 и параметр 1-+4' 2ХУа Е ('- 1тт НО УЧЕНИЕ. Подобно тому как в следствии 1 получено, что плотность среды про- 8 ° АС порционйльва, получается, если положить сопротивление пропорциональным в-ой степени скорости уу, т.
е. р, что плотность пропорциояальвапв ьее В примечании 142 получены еориулы У СЫз и= же 22 Если сопротивление Е пропорциональна плотности среды 3 и и-ой степеви скорости е, таи что р'= Й ° о'ь, причем й постовнное, то получим еь влз иь н1з ° С й = — — С ° — -= —,— ° ййй еи ь Мд н — 17 зли ь, (У ч йа1 подоланжпл вместо аз соо значение и вместо А, .В и С ик значении — С, — 2Н и — со; получим 3=К Я 4 — з «-1 Р йр) ' тде через Дел обозначен постовниый множитель. Это н есть оормула, приводимлв в тексте, ибо нт лйС вЂ” 352— — „',с ~ — „— ); поэтому, если может быть вайдева такая кривая, для которой отношение — ~ —,~, иначе — —: (1 -+- дз)" ', постоянвое, то л' тело будет двигаться по этой кривой в одвородвой среде, коей сопротивление пропорционально и-ой степени скорости К Однако обратимся к более простым кривым.
Так как движевие по параболе происходит ве вваче, как в среде ве сопротивляющейся, по описаввым же выше гиперболам может происходить и прв вепреставвом сопротинлевии, то очевидво, что кривая., описываемая брошеввым телом в одвородво сопротивляющийся среде, ближе подходит к этим гиперболам, нежели к параболе. Во всяком случае эта кривая гиперболического рода, во близ вершины опа более отходит от асииптот, а з своих отдаленных частях более приближается к асимптотам, вежели вышеописанные гиперболы; одвако эта рзявица ве настолько велика, чтобы в практических приложевиях было веудобно пользоваться этими кривыми, и может быть ови более полезвы, вежели эта более точная, во и гораздо более сложная гиперболическая кривая. Для приложевий онк выводятся следующим образом.
Дополвяют параллелограм ХУВТ, тогда прямая НТ есть касательная к гиперболе в точке 6, поэтому в месте б плотность обратно пропорсс7 циовальва ВТ, а скорость пропорциональна = и отяошевие сопротич' Ю' влеиия к силе тяжести равно НТ гк .2Я.Нр. я-+-2 Поэтому, если брошеввое из .А по иаправлевию прямой лН тело описывает гиперболу зОК, в зН по продолжевии пересекает зсвмптоту НХ в точке Н, прямая же А,У, проведеввая параллельно НХ, пересекает другую асимптоту МХ в,У, то плотность среды в точке.й будет обратно .4Н пропорциональва лН, скорость тела пропорциовзльва — в отношение чЯТ сопротивления к силе тяжести равно 2из +- 2в и-+- 2 Отсюда происходят следующие правила. — 353— Нраэило 1.
Если плотность среды в 4 н скорость, с которою тело брошено, сохраняются, а изменяется лишь угол ХАН, то и длины АН, .АТ, НХ останутся неизменными; поэтому, если эти длины будут найдены для какого-либо случая, то затем гипербола для любого заданного угла Х4Н может быть весьма быстро определена. Нразмло,8. Если сохраняются угол ХАН (фиг. 147) в плотность среды в 4, а изменяется лвшь скорость, с которою бросается тело, то длина 4Н сохранятся не- Х измеввой, а изменится .АТ обратно пропорционально квадрату скорости. Правило 3. Еслн сохраняются угол НАЖ, скорость тела з точке 4 в ускорительнэя сила тяжести, отношение же сопротивлення з 4 к дзнжушей силе тяжести * увеличивается з какое-либо число раз, то зо столько же раз лс й увеличится и отношение 4Н к А.У, при сохравешш 'й Фиг. ы7. величины параметра выше- АЛэ упомянутой параболы и' пропорциональной ему величины — по- ~,7 этому АХ уменьшится в указанное число рзз, а .4,Т вЂ” з это число, зозэьппенное з квадрат.
Отношение же сопротивления к весу узелнчится нли когда удельный вес тела станет меньше, или же плотность среды станет больше, илк же когда при уменьшении величины тела сопротвзлевке уменьшится в меньшем отношении, нежели зес. Храаило 4. Так как плотность среды близ вершины гиперболы больше, нежели в 4, то, чтобы получить среднюю плотность, надо найти отношение вавменыпей нэ касательных ВТ к 4Н и увеличить плотность з 4 э отношении немного большем, нежели отношение полусуммы этих касательных к наименьшей. Нрамио 5.
Если дливы АН, А Т заданы и требуется описать кривую АНК, то видо продолжить Н№ до Х так, чтобы было НХ: А,Т= (я-+- 1): 1, и, приняв точку Х за центр и прямые МХ и №Х за зсвмптоты, провести через точку А такую гкперболическую кривую, для всякой точки 0 которой АТ: РО=ХР":ХТ". Правило б. Чем число я больше, тем точнее представляется этою гиперболов выходящая от А ветвь траектории тела и менее точно — висходящая к К, и наоборот.
Обыкновевная гипербола занимает среднее положение и проще, нежели прочие; если взята гипербола такого рода и требуется зайти ту точку К, в которой брошеввое тело пересекает какую-либо давиую прямую А№, проведенную через А, то надо отложить длвву №К=АМ, причем Ми №суть точки пересечения асимптот МХ и ЖХ с данною прямою' А№ Нраеало 7. Отсюда следует простой способ определения этой гиперболы по испытаниям. Пусть два равных и подобных тела брошены с одииаковыми скоростями, во под разными углами НАК и йАй, и точки вх падения ва горизовтзльвую плоскость суть К и й. Определяется отвошевие АК к Ай, пусть будет АК: Ай = Н: е. Затем, восставив перпендикуляр АТ и отложив по ием какую-либо постоянную длвву А,Т, прими некоторую произвольную длвву за.АНыли й и построй чертежом по правилу 6 длины АК и Ай.
Если отвошеш~е АК:Ай окажется равным Ы:е, то длина АН взята правильно. Если же нет, то отложи по веограывчеввой прямой ЯМ длину ЯМ, раввую принятой АН, и по восстановленному в точке М перпендикуляру отложи АК А длвву М№ раввую произведению разности — — — ва некоторую постоявАй е ную длвву, Подобвым же образом, зздавеясь различвыми значениями длины АШ, надо найти несколько точек № и провести через вих правильную кривую ЖНХ№, пересекающую (фиг. 139) прямую ЯМММ' в точке Х. Приняв затем АН раввой ЯХ, надо найти соответствующее АК, тогда дливы, которые так относятся к принятым АТи АН, как определенная по опыту длина АК к определеввой указазвым построением, и будут ыстиввыми значениями АТ в АН, которые ы требовалось найти.
После того как овв определевы, вайдется и сопротюаевие среды в точке А, ибо ово отвосится к силе тяжести, как АН' к 2А,У. Затем плотность среды надо увеличивать по правилу 4, и если в том же отвошевив увеличить и сопротивление, вайдеввое как указаво выше, то ово получится СЕ:АЛ=РН:КН, СК= РН следовательво Значит, точка Н лежит на гиперболе, описаввой ва асвмптотэх АК и КР, и такой, что сопряжеввая с вею ветвь проходит через точку С, т. е.
эта точка Н ваходится в пересечении скэзаввого круга и этой гиперболы. Необходимо также заметить, что это построение выполяяется одиваково, горизонтальная ли прямая АК, или вакловвая, и что, в виду пересечения круга и гиперболы в двух точках Ни Ь, получаются два угла №И'и №Й; при самом исполиеняи чертежа достаточво провести только круг, а затем приложить неопределенной длины линейку СН так, чтобы ова проходила через точку С и чтобы отрезок ее РН, заключенный между кругом в прямою РК, развялся бы отрезку СЖ, заключеввому между точкою С и прямою АК. Что сказано о гиперболах, легко прилагается и к параболам. Пусть ХАОК (фиг.
148) представляет такую параболу, имеющую своею касательною в точке Х прямую ХР, что ее ордвваты А,У в ОР пропорциональны я-ой степени абсписс ХУ' и ХР'". Если провести ХТ, ВТ, АН, причем ХТ параллельно УВ, прямые же ОТ и АН касаются параболы точнее. Лравило 8. Когда дливы АН и НХ иайдевы в желательво получать ваправлевие прямой АН по которой задо бросить тело с задаввою скоростью, чтобы ово упало в даввую точку К, то следует: в точках А и К восставить к горизовтальвой плоскости перпевдикуляры АС, КР, из коих 1 .АС направлен вввз в равен А,У или — НХ; ва асимптотах АК КР построить такую гиперболу, сопряженная ветвь которой проходит через точку С, точкою А, как цевтром, и радиусом АН описать круг, пересекающий эту гиперболу в точке Н, — тело, брошенное по прямой АН, упадет в точку К.
Ибо длина АН эадава, поэтому точка Н лежит где-либо ва круге, опвсаввом как сказаво вьппе; если провести СН, пересекающую соответственно АК и КР в Ю и' Р, то по параллельности СН и МХ и равевству АС= А,У будет АЕ= АМ, и следовательно, АЕ= КХ По в точках О и А, то тело, брошевкое с валлежащею скоростью из точки А по ваправлевшо прямой АЫ, опишет зту параболу, когда плотность среды зо всяком месте 6 обратво пропорциональна касательной ВТ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
