Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 69
Текст из файла (страница 69)
ыз. Прямая АЗ (аиг. 148) проводится перпевдвкулярко к АС, представляющев силу тяжести, и по вей откладывается клава АЗ= АС. Цевтром З и полудиаметром АЗ описывается как четверть круга АлЕ, так и раввобочвая гипербола АУЛ, имеющая ось АХ, главную вершвву А и асимптоту ЗС. Если провести Зр и ЗР, то всякий круговой сектор А8З будет пропорциокалев времеви подъема до кавбольшей высоты, и пшерболический сектор Ал'З будет пропорциовалев времени падеввя с каивысшев точки, предполагая, что тавгевсы Ар и АР пропорциокальвы скоростям.
Свучай 1. Пусть прямая Зод отсекает от сектора .ЙЪ и треугольвика АЗр моменты или весьма малые, совместно описываемые, площадки еЗо и йХ~. Так кан этв площадки, имен общий угол, относятся, как квадраты сторон, то будет СЗС З"=мЗР' Зз РЗ' а так кэк 8З задано то йЗв пропорционально — но ДЗР Э РЗз яви=-АЗ.я. 1 2 лс~ Уразиеиие (!) пряиечакия 140, будучи иаписаио а киде Ло = — гг шу.+. Лог дает при теперешаих обозиачезиихг ~ДУ-~ ° —. агсск ( ~ о ) -+- Ол = — С. (3) Обозначая через Т вЂ” время а момеит достижеиия телом иаибольшез зысоты т. е. когда о Ог имеем $/ — ° — зшга ( )/ — о ) = Т вЂ” С (з) Соаершеииа так же при даижоиии вниз будет шно — = — лс гзу — Зоз откуда следует — лгзтзьур ( ~ — о ) = с (4) если крема С и этом урышеиии считать с *ого иамеитз, когда о = О. Уразиеаиями (Э) и (4) и зыражаотси зысказаииое предложение.
Следовательно, площадка улгп пропорциональна — т. е. првмо про- РЧ порцвональна весьма малому уменьшению скоростиро и обратно пропорциональна силе Сй, которая производит это уменьшение скорости, следовательно пропорциональна весьма малому промежутку времени, соответствующеиу этому уменыпевию скорости. При сложении окажется, что сузила всех площадок СЗс, образующих сектор АЗ(, пропорциональна сумме всех промежутков времени, соответствующих утрачиваемым частицам ро скорости, пока эта скорость ве исчезнет, т. е. весь сектор АЗ( пропорционален полному вреиенн движения тела вверх до наивысшей точки.'" — 369— Случаи 2. Если прямую ЩР провести так, чтобы ею отсекались от сектора ЭАГ и треугольника ЗАД весьма малые площадки ТЭГ и 1ЗЯ, то отношение этих площадок будет равно ЭТэ: ЭР', вли, что то же, ЮХэ: ЗАэ; проведя ТХ параллельно АР, имеем ЗХэ.
Э ~в ТХг. Арэ (ЗХэ Ттэ). гЗАэ Арэ) Но по свойству гиперболы: ЗХэ — ТХ'= И' по предположению же: АР'=АЗ АК следовательно будет ТЗР:РЗд=А1Р:~А1Р— АЗ.АР= З:<АЗ вЂ” АК~=АС:СК. Итак, ТЭР = РЗЯ ° —. АС СК Но так как АС и АЭ заданы, то ТЭГ пропорциональна, т. е. РЯ прямо пропорционально прнрзщешпо скорости РД и обратно пропорционально действующей силе СК, т. е. пропорционально весьма малому промежутку времени, соответствующему изменению скорости.
По сложении окажется, что сумма всех промежутков времени, в продолжение которых скорость .АР образуется из своих частиц Щ пропорпяональна сумме всех площадок, составляющих сектор АТЭ, т. е. полное время пропорционально млощади всего сектора. 1 Слсдсжэис 1, Поэтому, если взять АВ = — АС, то пространство, описываемое телом при падении в продолжение какого-либо времени, относится к пространству, которое тело прошло бы в то же время, двигаясь равномерно с наибольшею скоростью АС, как площадь АВМ?, представляющая путь, пройденный при падении, к площади АТЭ, представляющей время. Действительно, так как АС: АР= АР: АК то по следствию 1 леммы П этой книги будет ЬК:РД= 2АК: АР= 2АР:АС, — 340— и значит, ЬК: — Р9 = АР: — АС = АР: АВ.
2 '4 Но вместе с тем КК: АЭ = АВ: СК следовательно будет Х КРУС: ЭРч = АР: СК. Но, как бьыо показано, ЭРД:ЭТР=СК:АС. Значит, будет АКАРО: ЭТР = АР: АС т. е. это отношение равно отношению скорости тела к наибольшей скорости, которую оно может приобрести при падении. А так как моментьг ХКУО и ЛТг' площадей АВМ? н АТЭ пропорциональны скоростям, то образующкеся приращения этвх площадей пропорциональны проходимым одновременно частицам пути, следовательно полные площади АВЕК и АТЭ, образовавшиеся от начала падения, пропорщюнзльны йолным пространствам, пройденным за это время. Следсввие 2. На основании этого находится также пространство, пройденное при дввжении вверх, а именно, оно так относится к пространству, которое тело могло бы пройти при равномерном движевви со скоростью АС в течение того же времена, как площадь АВяй и площади сектора АИ.
Следсшвис 3. Скорость тела в конце промежутка времени, при падении в сопротивляющейся среде АТЭ, относится к скорости, которую тело приобрело бы в продолжение того же времени при падении в среде без сопроткзлевия, как площадь треугольника АРЭ к площади гиперболического сектора АТЭ, ибо в среде не сопротивляющейся скорость возрастает, как время АТЭ, в среде же сопротивляющейся — как длани АР, т. е. как площадь треугольника АРЭ; при начале же движения внлм эти скорости были равны, так же как и сказанные площади АТЭ и АРЭ. Следсюэие 4.
На основавви такого же рассуждения, скорость в любой момент при движении вверх так относвтся к скорости, которую тело утратило бы в продолжение того же времени в среде не сопротивляющейся, как площадь треугольника АРЛ к площади кругового сектора АЫ, иваче— как прямая Ап к длине дуги Ад — 341— Следствие б. Время, в продолжение которого тело, падая в сопротивлящейся среде, приобретает скорость АР, относится ко времеви, в продолжение которого тело, падая в среде не сопротивляющейся, приобрело бы скорость, равную наибольшей АС, как площадь сектора АЭТ к треугольнику АЭС, 'время же, в продолжение которого тело, двигаясь вверх. могло бы утратить скорость Ар, относится ко времени, в течение которого та же скорость утратилась бы при движении вверх в среде не сопротивляющейся, как дуга А~ к своему тангенсу Ар.
Следстввис б. По заданному времени движения вверх или вяиз найдется и пройденное пространство, ибо для тела, падающего вниз бесконечно, наибольшая скорость находится по следствиям 2 и 3 теоремы 71 книги П, следовательно найдется и время, в продолжение которого тело могло бы приобрести эту скорость, падая в среде не сопротивляющейся. Тогда, взяв сектор АЭТ или АЭ~ в том же отношении к треугольнику АЭС, как яаданпыв промежуток к вышевайденному, найдем скорости АР и Ар, а также м площади АВЕК и АВпк, относящиеся к площадям секторов АЭТ или АЭ1, как искомое пройденное пространство к тому, которое тело могло бы описать в течение заданного времени, двигаясь равномерно с выше- найденною наибольшею скоростью. Следствие У. Обратно, по заданному пройденному прн движении вверх вли ввпз пространству АВпй или АЗЛК найдется время АЭ1 или АЭТ.
Предложение Х. Задача П1 Нрсдполаия, что постоянная сила тяжести направлена псрпентькулярно к ьоривонтальнсй плоскости и что сопротивление прспориконально плотности среды и квадрату скорости, требуеьпся найти таврю плотность среды в любом месте, п4т которой тело донеслось бы пс заданной как бы то ни было кривой, а также скорость тела и сопротивление среды ма нвьо. Пусть РД (авг. 144) есть сказанная плоскость, перпемдикулярная плоскости чертежа; РРН9 — заданная кривая, пересекающая в точках Р и Д плоскость Рч; 6, Н, У, К вЂ” четыре последовательных места на этой кривой, считая по направлению от Г к 9; СВ, НС, ХЭ, КŠ— четыре ординаты, проведенные от этих точек до плоскости РЯ, пересекающие ее в точках З, С, Э, Е, причем расстояния ВС, СЭ, Э.Е между ордвватами равны.
Из точек 6 и Н проводится прямые СЬ и НЖ, касающиеся к кривой в точках 0 и Ни пересекающие продолженные вверх ордннаты в л и Х, и дополняется паралеллогрзэпи НСЭМ. Промежутки времени, в продолжение которых тело описывает дуги ОН и НТ, пропорциональны корням квадратвьш из высот л.Х и ЖТ, ва которые тело в продолжение этих промежутков опустилось бы падая от касательных, скорости же пропорциональвы ОН и НТ и обратно пропорциоиальвы этим промежуткам времени.
Обозначим эти промежутки через Т и Л и скорости через ОЫ Н,Т вЂ” и л' э тогда уменьшение скорости в продолжевие времени ~ будет И Н НТ х т Это умекьшевие происходит от с опротивлевия, замедляющего движение тела, и от силы тяжести, его ускоряющей. Сила л тяжести, когда тело при своем падении проходит простраиство ЖТ, производит такую скорость, с которою, двигаясь равномерно, тело прошло бы в то же самое время удвоен- 2ЖТ вый путь, как то доказал Галилей, т. е.
скорость, равную — --- Вследствие этой скорости, когда тело описывает дугу НТ, эта дуга уве- НТ личивается на величину разности НТ вЂ” НХ, раввой ХТ вЂ”, и саедова- 2М,Т ° 2Ч Т тельво, сила тяжести производит увеличение скорости тела на Придавая это увеличение скорости к указаввому выше уменьшешпо ее, получии, что полное~измевевие скорости, происходющее от сопротивления среды, равно ОН НТ 2МТ ЖТ Т с,Ф ° ЫТ Так как в продолжение того же времени сила тяжести производит АУ при свободном падении тела скорость — ~ то сопротивление относится Ф к тяжести, как (Н! НТ 2йТТ ХТ 2Ж1 2' 8 8 ° Н,Т ванче как ~С с Н НТ 2МТ. ЮТ) 2НТ Примем теперь абсциссы СВ, СЗ, СЛ соответственно равными: — а, а, 2а.
Ординату СН обозначим через Р и величину ЛЕТ положим равной сумме некоторого ряда Тогда все члены етого ряда, следующие за первым, представят ЮТ, так что оП= Ва' — 8аз-ь-... и ордвнаты Л,Т, с"Х в ВС будут: З,Т= Р— 9а — Ва' — ЯсР— .. ЛХ= Р— ЗЯа — 4Ва~ — 88аа — .. Вб = Р-ь- ~а — Вай-+- Яс~ — .. Возвысив в квадрат разности ординат ВН вЂ” СН н СН вЂ” РТ и приложив к ним ВС' н СЗ', получим квадраты дуг СН, НТ: СНа = сР -ь- Д а' — 2 ДВа' -+-... НТь = аь -+- Яа сР -а- "ЯВаа -+-..., коих корав квадпатные и дадут самые дуги: 6Н = а 1/1 -а- ф — -+- .. фй ас НТ=ат Я: -~ ' и'1-+- Д' Затем, если из ордиваты СН вычесть полусумму ординат В6 и ЗТ и из ординаты З,Т вычесть полусумму ординат СН и ЛХ, то останутся стрелки дуг ЯТ и НХ, равные Ва' п Ва'-+- ЗЯа', которые пропорциовальвы отрезочкам ЬН и КТ, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
