Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 65
Текст из файла (страница 65)
СР было равно отношению полного сопротивления при начале движения к силе тяжести. На асимптотах ЭС и СР описывается какая-либо гипербола СТВО, пересекающая перпендикуляры ЭС, АВ в 6 и В, и дополняется Вл и затем, заиеяия е его величиной — и интегрируя еще раз, получив Сь ч- жд ° с .+- йл = — нсд о с .+. йе я илн„на оеиоваини уравнения (2), юд .+. йе (т -+- шд ° с .+- йл = и Делая з этом уравнении — "— "о имеем о- !'о С! —— н н предыдущее уравнение вапищетгл так: йз = ж (ее — о) — юд ° С нлп т !» л=-(ео е) — — д'с й й (в) Уравнение же (З) можяо нависать так! е — т ии '"д '+' й"о о (! — с-исЛ (зг) Сопостаеляи уравнение (И) с уравнением (!), написанным так! (=г ! — с видим, что приняв длину ЮЛ пропорциональной йго, ЛС-пропорциональной жд, иж, что то же, считая нлощадь ЬЮ.(П нропорцнональнон Кто и площадь ЛВНС пропорциональной тд, видим, что о =Лазо кожно принять пропорциональной времени с, длина дЭЛ представит скорость е, и площадь магд, яа осяоваиии еормулы (4), представит пройденное пространство.
Из этих еормул вытекают и все высказанные следствии. — 318— параллелограмм Э6КС, коего сторона ОК пересекает АВ в Я. Длина В берется так, чтобы быио Х: ь)В = ЭС: СР. По перпепдикудяру ВТ, восставлевпому ив какой-либо точки В прямой ЗС и пересекаюшему гиперболу в Т и прямые ЖИ, СК, ЭР в Х, 3 я Р; (ОУ ьтУУВ берется длива )г = — —, пли, что то же самое, дйива Вг =; тогда ,с; брошеииое тело в ковке времени У)ВТ6 придет в точку г, описав кривую линию Все, па которой ага точка постоянно лежит, причем вйибольшей высоты опо достигает в а па перпепдикуйяре АВ, после чего д .т Фвг.
138а. Фвг. 138Ь. ово асимптотически приближается к РС. Вместе с тем скорость его в любой точке г пропорциовадьватзв касательной е'Х. тзт Решение этой задачн основано «а двух предыдущнх, прячем двнжееве точки разлагается ва дввженве по горазонтальной осн (по дальвоств) я по вертнкальвой (по высоте). На освованвн теоремы 1, обозначая через ол — проекцию начальной скорости на ось г н через ев — п)юекЦню скоРостн в какой-лнбо момент ва тУ же ось, нмеем (пРнм. 138) влн ж тв т-т--е = — ет й и )г Действительно, следовательно, Л, Е)Л. ЕЛ Е)У В В 1 у ЗЛ т'лЛ вЂ” ту' ЕЕЛ АЛ вЂ” ЛПО'Е' Вг= В1г — Кг Пусть время представляется площадью ВЕУСТ, движение )ке тела разлагается (по след. П законов) на два — вертикальное и горизонтальное. так каь сопротивление пропорционально скорости, то и оио разлагается на две составляюуцих, соответственно пропорциональных н противоноломсиых по направлению скоростям этих двух составляющих движений; таким образом путь, пройденный телом горизонтально (по предл.
П кн. 11), пропорционален длине Е)В, высота же )но предл. П1) пропорциональна площади ВВ ° А  — ВЕЕСт'т т. е. длине Вг. Прп самом накале движения площадь ВЕЕОТ равна ЕлВ ° Аф, поэтому длина ЗЛ АЕт' — РЕЕ. АСЕ ЕЕЛ 1 РЛ Е)т Е)' . К м. в силу уравнения (З)прим. 128, для наибольшей дальности, За величину Х Ньютон серег [оиг. 138) длияу РС, а таи как зта же величина представляет и горжювтальную прогкпию начальной скорости, то, значит, дливы РВ= — т; тн о СР =' тз й где через то обозначена яачальная скорость и через ил — ее вертикальнаи просадил Уравнение (1) покзаывает, что длина ю нс=— и т. е. представляет ем; значит, отрезок касательной гв представляет скорость и, когда точка яащдитсл в г.
В выражения самих ноордннат движущейся точки входят показательные оункпии времени, нщорые Ньютон рредставлне, как уже указано, зависимостью между координатаии точек гиперболы и пщщадью, заключенвой между гипербюлою и ее асимптотою. За зту вспомогательную гиперболу Ньютон берет здесь такую, у которой одною аси»- птотою служит ось я-ов, другою — прямая РС, т. е.
а нмятота трзентории движущейся точки, и время представляется площадью ЯРС Т злой гиперболы, которая, при рассмотрении движения по высоте. и играет ту же роль. ква гипербюла нрнмй на ьиг. 188 прв респенни задачи 1. — 320— т. е.
Ве". ЛВ = ЯЗ: В'= СР: ЭС, т. е. как вертикальвзя составляющая вачальвой скорости кгоризовтальвой. Так как Вг. постоявво пропорциовзльво проидеввому пути по высоте и л)В— пройдеевому пути по дальвости, и при вачале движевия Вт относится к Х)В, каи путь, проходимый по высоте, к пути, проходимому по дальвости, то, чтобы и во все время движевия Вг находилось к д)В в атом отвошевик, т. е.
как высота к дальвости, веобходимо, чтобы тело двигалось по кривой Х)гаР; ва которой постоявво лежит точка и. Следсжвпс 1. Так как то если вродолжить ВУ до Х так, чтобы было т. е., дополвив параллелограмм МИСРУ, соединить РХ. которая пересекает СР в У, и продолжить ВТ до встречи с д)У в Х, то будет т. е. зта длина пропорциовальва времени. Слсдсжбэсс 2. Позтому, если брать бесчислеввое множество абсцисс СЛ или, что то же, ЯХ в геометрической прогрессии, то все Хг будут в прогрессии ариьметической, и таким образом кривая ЗгаР легко строится прп помощи таблицы логари ьмовлм 1ЭН=х = т — Ь (! — с ~~С) л еэ юр .+- М'э с и» Лт = с = — ° ь ь ь (! — с 'т ) — — рт. (з) л'равнение же нсноиогательвол гиперболы ьл а — ( в=РС; Ь=л(С; Ь=АВ.
Плопдадь 8 = ЯРС Голод гиперболы будет и 8 = Ь» (об— в си Координаты а и л тоиаи т граеитории при набранных оснх (РС еа ось и-ов и РН эа ось л-св) выражаытсэ еориулаин: — 321— Слсдсюаие 3. Если при вершние Э и диаметре Эб, продолженном вниз, построить такую параболу, коей параметр так отпосвлся бы к 2ЭР, как полное сопротивление при начале движения относится к силе тяжести, то скорость, с которою тело должно быть брошено по ваправлеввю ЭР, (=а 1 — с (3) Сопоставляя это ураввевяе с ураввевием (!), видим, что взяв ю 8 а= — е! и из=в Х ы яваче 1 8 ю Я 1= —. — = — ° -„ 'Ы Х'Ы будет а=( Пс ураввевию всяоиогательвсй гиперболы; ВИ=— Ьт а значит ЕЯ==' 1 а и фп ° .ВС а — Ь „т! ср и Но, по условию построения чертежа.
(а — Ь: Ь = Лот . ~ау а — Ь); а = 1 се '. (юд .+. лет! следовательно М= ! 1 тау ч- 1 г ВЯ ° ЛЯ ЯВИ т Ьг = «а освсваяиа равенств ВЯ -.4Я ' Лт - юо Ф с! л ЯВИТ Я ЬЫ а ге а юд Р( )т ю Ь вЂ” а 1пл е! 2 прививает вмд ьм -+- ту а тд Ь 'е, Л' (41 ь д ьоо ге юд что раавосильво ооряуле (2). Для аычаслевия во оормуле (1) и (2) в раввосильвым ям (3) я (4) иесбводамо звать величиву чтобы в однородно сопротивляющейся среде описывать кривую Лгайд, есть та самая, с которою оно должно бы быть брошено, чтобы описывать сказанную параболу. Ибо при самом начале движения параметр этой параболы, соотвечВ рт сгвующии начальной точке Л, равен — — при этом гат Вл тс Но если провести к гиперболе ггТЯ касательную в точке С, то оиа будет парэллельна прямой ЛК, следовательно будет но было дв ° Вс СР ВЛ ° СК.
СР 2ВС' фВ а так как ЛВ: ЛС = Л гг: ЛР, то будет ВВт ° СК ° СР 2 ВР" ЯВ и следовательно, параметр будет ВГ' 2ВР' ° фВ 2ВРт ° ВА г Иг СК. СР глС 7Р ибо ЯВ: СК= ЛА:.2С. мо йзо есть сила сопротивлении при начале движения, юр — нес тела, отношение же — Ньютон зо У выражает н следствии Э атого предложении через параметр параболы, онисапжеиой телом при движении в пушоте. Прело*веление показательной еункции в ниде координат точки гиперболы в зависимости от плошади, заключенной между этой кривою, ее асииптотою, постоянной ординатой и переменной, встречается в дальнейшем киото раз, и на нем мы более астанавливатъсн не будем, оз сыпал к этому примечанию.
Обратив внимание ва заключителаные слона слгдствив М «таким образом крвзан ЗгаХ легко стровтса при поиошм таблицы логарииюв, нетрудно прийти к выводу, что геометрическое пргдстанление служило Ньютону лишь средством рассуждении, длн практических же применений полученный окончательный ргзулыат представпыси аналитически или же выражался пюламн, Отсюда следует, что параметр так относится к 2ЗР, как ЗР.
ЗА к СР АС, т. е. как сопротивление к силе тяжести."с Следстяэве 4. Следовательно, если тело брошено по направлению какой-либо данной по положению прямой ЗР с заданною скоростью и сопротивление среды при начале движения известно, то может быть найдена и описываемая телом кривая ЗгаР. Ибо по заданной скорости находится, как известно, параметр параболы; если затем взять 2ЗР в таком отношешенни к этому параметру, как сила тяжести к силе сопротивления, то найдется ЗР; после того, если рассечь прямую ЗС в точке А так, чтобы отношение СР.АСк ЗР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
