Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Следовательно, стоит только исчислить приращение каждого элемента в этом предположении и разделить это приращение на пэ, частное и представит требуемое выражение изменения этого элемента. Положение плоскости возмущенной орбиты определяется направлением новой скорости и центром О главного тела (фиг. 134). Так как положение тела Рне изменилось(точнее говоря, так как изменения положения тела Р, выливасмие довсяммем воамуи~ающвй сила, — второго порядка относительно аЧ), то прямая ОР есть пересечение этих двух плоскостей; пусть РН есть вектор, представляющий скорость р в рассматриваемый момент в невозмущенвом движении и, следовательно, лежащий в плоскости О.Щ первоначальной орбиты; чтобы получить положение ОРЯ, новой орбиты (отбрасывая я»- прежнему члены второго порядка относительно Ф), стоит только отложить длину Н6= у по перпендикуляру к плоскости РОЩ, плоскость ОРСА„ проходящая через прямые ОР и Р6, и есть требуемая.
Чтобы определить бесконечно малый угол 3, составляемый ею с плоскостью первоначальной орбиты, проведем плоскость РСз, перпендикулярную к ребру 01', и спроектируем прямую 6Н на зту плоскость. Тогда будет Но СР=г.— Й» и» АС= Н6= у; следовательно СР=— » т и предыдущая еормула будет 3=у °вЂ” с (9) Чтобы получить изменевня наклонности р и долготы узла 0, сбратямся н миг. 139 и, составнь сеерический угол ХР1»', = 3, получим новый узел 1», в новую наклонность р,.
Сеерический треугольник ЖРИ и доставит требуемые изменения этих адемевтов. Проводим Ж, К перпендикулярно к Х1', тогда (Ъг, К = 3 ° ащ 37„'Р= (зш ЖР-+- бескон. мал.) 3 = 3 ап У, причем члены высшего порядка отбрасываются. Но в бесконечно малом треугольнике ХНтК будет ЖЗ~, жп р = КИ;. ибо СР есть составляющая скорости тела Р по перпендикуляру к радиусу- вектору ОР. Но — 29б— Но ЖЖ, = 40 есть изменение долготы узла, следовательно будет в1п о . И0 = в1п Т . 3 = в1п Т у т с и, подставляя вместо у его величину ~т' И"ас, получим по разделении на с1с: 40 )1а' вшр.— = — грГвшТ.
41 с Но по еормулам (Е) имеем с аа с (1.+- и) Р (1.+. с,1 11 сс следовательно будет ае и в1п р — = — ° ВггвшТ. с11 1-+-юи 1(1 сс Это есть как рэз еормула (5) группы (А). Чтобы получить изменение накловноств, возьмем треугольник РХЖ„ и пусть РХ, у = е, = е -+- Ие, тогда будет:. РХЛ', = р; РМ,Х=п — ~~; МРРУ =3; БР=У, следовательно сов р, = сов р сов 3 — вш р в1п 3 . сов 1.
сов3= 1, в1п3=3 Но и значит, совр,— совр = — вшр бр= — в1пр ° сову ° 3, Заменив 3 и у'их величинами, получим по разделении ва ас: ггг сов Т ю' аа 41 1-+-ю Д сс (4) это есть еормула (4) группы (А). Отсюда видно, что для вывода этих еормул достаточно самых простых и элементарных соображений. 0 4. Величина н вкд эллипса в плоскости орбиты определяются элементами а и е, т. е.
большою полуосью и экбпентриситетом, от этих же элементов зависит и параметр орбиты р. Нормальная составляющая у изменения скорости вызывает лшпь изменение плоскости орбиты и не сказывается на ее виде и величине, поэтому — 296— придется рассматривать лишь влияние изменений скорости, обозначенных через а и р, именно: а=ут'ЯФ р = Уея' ТЮ Их измененные величины будут и пусть а,=аз-да новая большая полуось. Уравнение живых снл дает: ибо радиус-вектор г, как уже сказано, от действия возмущающих сил претерпевает лишь изменения второго порядка и, следовательно, должен считаться постоянным. Разность этих уранзений дает <Ь 2о,а-+-2о,р=ф— следовательно е 1яе Яэ~ ь ТР~ ее Нюх Но, по оормулам 1К), е . евое сев1пю е = — вшю ° р й и е Ю в таким образом будет с1а 2т', с Г .
р — = — а' — '~ еЯвшв-+- — Т1 р1 по ваправлеввю радиуса-вектора и по направлению, к вену перпендикулярному. Обозначвм через е и о,— проешши первоначальной скорости на зти ваяразлевия, т. е. следовательно На 2ж' еаз Г р —, ~ 8еашю-ь- — Т~. й 1-+-ы 1/1 — е~ " 1 Это есть аормула (1) группы (А). Затем имеем е= ~/р ° )/ф=е,г для возмущенной орбиты будет .=4т, 4ь=(, -м првчем Таким образом еа 1ф 1.+-ю следовательно а(чр) т' — па' Тт. й 1-ю-ю (3) р= а(1 — в') значит будет Н6 ай (фу 2ае — = (1 — в') — —— й й й и, заменив †„ и †„ нх величинами (1) и (3), получен На Ир де ж' — па' 1/1 — е'(8аш ю -ь- Т(сое ъ -ь.
сов ее)). й 1-ю- ю (2) Это есть аормула (2) группы (А). Это есть аормула (3) группы (А). Большан полуось, параметр и эксцевтрисвтет связаны соотношением — 298— 2 б. Направление большой оси орбиты в ее плоскости определяется долготою перигелия о». Обращаясь к аиг. 133, имеем: хХ-»-ЖР= о»-»-а» хХ,-»-Х, Р= — о», -+-и», следовательно (хМ, — х1»1) -»- (Х, Р— ХР) = (оэ — о») -+- (и, — »е) = Иоэ -»- »ае но хж,— хК= )о,= ИВ МР,— 1»Р= — ХК= — ХЬ;сов р= — сове 40 значит будет () ! »1»о -о- а»»е = 2 вш»» ° 46 2 Но, ко аормуле (Е), 1 1-»- е сов ю = — р »' в так как радиус-вектор не изменяется, то »т»о 1»1р»1е — е ап и» вЂ” = — — — - сов и».
Л»»Ы»М Ир 3е Подставляя вместо — и — их величины (3) и (2) получим сВ М э 3»о ую' — евшю — = па' 1/1 — е»Я(2-созжсови» вЂ” сов»п»)Т-Явш»есовю). а 1-ф-уи Но, по аормуле (Е), 1 / сова= — ~1 е ~ следовательно 9 е сов»о -+- сов»»о 2 — соз ⻠— совмсозю = 1 -» — в!п»е— 1-»- е сов»е = вш»е~ 1-+- » ~=вш»е) 1-+- — ) 1-»-есово»~ ), р ) таким образом И»о»а' — Г »' т — е — = ва'11 — е»~ — Юсова»-»-Т~ 1-»- — ~в1вю~ 1-»-в» р после чего аормула (*) дает »»о . »р»»9 е — = 2е вш' — . — -+- -+- — ва' 1/1 — е' — 8 сова» -»- Х( 1 -»- — 1 вш»с] 1-»-в» р/ Это есть аормула (6) группы (А).
— 299— и — е вш и = ие -в- в — ю. Во всех оормулах, относящихся к возмущенному движению, величина в входит всегда в составе количества ив .+- в, поэтому изменение всего этого колнчесла относится на изменение в, величина же яв почитается неизменяющейся.
Поэтому в уравнении ("), при его дпеоеренцировании, будем ив считать постоянным, и тогда будет ~й=Ым-+-йо — есовив(и — вшм де. Но мы видели, что Иве = 2 в!пв-л- Н0 — Нсо. 2 (ФФЯ ) Уравнение гсовю = а(сов и — е) — гз!па йю = (сов и — е) ма — а вши би — а ме но ~/à — е*ав!пи= гв1пю следовательно дм = 1~1 — евйю-+- .
— — —.Не сов м — е На 1 в!пм а вшм подставив вместо йи его величину, имеем ев Ым-+-йо =2 1/1 — евв!пв-л-.бб-+-, йо-+- 2 1 -+- !/1 — ев со⻠— е оп 1 "+ — — — Ые. в!ом а вши Обозначим, для сокращения письма, первые два членов правой части этого. уравнения через Ь, тогда оно напишется так; соси — е На 1 Ни-в-ею=-Ь-+- . — ° — — —.Йе. вшм а в!пи По еормуле (Е) имеем У вЂ” = 1 — есовм а отсюда сов м ~Ь еди= —. дев в!пм ампм а 11. Зэк. 3350 9 6.
Положение планеты Р на ее орбите определяется для люоог!ь момента времеви в, когда известна средняя долгота для начзльиого момента, или, как ее вазьшают, долгота эпохи в, при помощи Кеплерова уравнения следовательно есозмдм= —.бе —— сове м е соз и йз вшм а зши а и уравнение (**) будет а (сов м — е) -+- е сов м Йю 7 1 . сове м1 + -+. вш м -+- —: — ) е1е а вши а 1вшм Мпи) «(созм-е-сова) Ыа 2 — Ь -е- де азшм а вши Подставив вместо Иа и де их величины (1) и (2), получим е7з=Ь-+- — * ~ Бев(пес-е- — Т~ ° , еЫ 2ш' маз Г .
р 1 е(сонм-+-созм) 1.+.ае* 17Г ее! с ~ авшм 2ме' маа — — — ~/ 1 — ез '18 ып ее -+- Т(соз ее -ь- сов иИ еИ. 1-е- ме зш и Соберем во второи части члены, содержащие 8 н Т, так, чтобы было 2ме' бз = Ь -+- мое(АВ-+- ВХ) М 1+-ш тогда )/1 — е" вш м е зш и е(сов м.+- соз м) 1/1 ез авшм вшм а (1 — ез) = е(савел-+-сонм) — — =есовее~-ессеи — 1 — есовее= —— а В=(созее»- сова)~ — — )П вЂ” е'1= О ЯФ' еа )11 — ез следовательно 2ФВ' ае = Ь мяе'Яме.
1-е- ее Подставив вместо Ь его величину и разделив на Ф, имеем й 2еаш е1 гм . 7 е) — магЯ-+- . — -+. 2 71 — е'зш' — — (7) В 1-+-ем 1 +- 1/1 — ее е)1 2 Ф Это есть оормула (7) группы (А). Такши образом все аормулы группы (А) могут быть выведены весьма просто, прямым и непосредственным образом, на основании указания Ньютона, совершенно независимо от общей теории изменения произвольных постоянных. Вместе с тем вывод этот требует нахождения приращений или диеееренцирования лишь самых простых «ункций и применения таких правил, которые все имеютса в «Ме$Ьобпз Ипхюппш»; поэтому надо думать, что Тиссеран был вполне прав утверждая, что Ньютону эти «ориулы были известны.
0 7. Получив таким образом все хормулы, дающие изменения эллиптических элементов в зависимости от проекций возмущающей силы, можно сделать н дальнейший шаг, введя вместо 8, л" и Л' производные так называемой пертурбационной еуакцви Л, через которые эти силы выражаются. Положим сперва, что возмущающее тело только одно, масса его ж', масса возмущаемого тела ж н главного тела 1. Как известно, проекции возмущающей силы на оси координат выра- дЛ дЛ дЛ жаются частными производныия — — — пертурбацвонной «ункцви по дх ду д« соответствующим координатам возиущаеного тела.
Пусть х,, у,, л, суть координаты возмущающего тела, х, у, з — возмущенного и начало 0 находится в центре г..авного тела, тогда полагая г«=х'-+-у'-+-л«, г'=.х«+.у«+,л« 1 1 1 1' р« = (х — х,)' -+- (у — у,)' -+- (з — г,)', (10) будем иметь 1 хх,-«-уу,-+-л«, ) Р «1« 1 дЛ вЂ”,. — -=8(совТсозй — вшТвйпйсовр1-+- («а' дх -Х( — 1 Т.
0 — Т 1пй р) 1 йв1пр 1 дЛ вЂ” — = 81совТзшй-+-в(пТсовйсовр)-«- ('1а' ду (11) -«-л'1 — ьйпТв1н0 ч-совТсовйсово] — 5'созйвш 1 дЛ )1а' дв — — = 8 в1п Т з1п р -+- Т сов Т з(в р -+. Й" сов р 11* После этих предварительных замечаний обратимся опять к «Небесной ййехапикеэ Тиссерана и возьмем из нее следующее место главьв ХХУП тома 1. «По теореме проекций, воспользовавшись еормулами сеерической трнгонометрви, будем иметь: дЛ дЛ дх дВ ду дЛ де — = — — ° — -+- — — -+-— да дх да ду да де да (12) дх ду де. Величины производных — — — найдутся на основании эормул элшптвда да да ческого движения, вмевно: х=г(совТсовй — вшТвшйсовх) 1 у = г(сов Т вш 0 — в)п Т сов 0 сов р) г=гвшТвш Т = щ — 0 -4- ее и — е аш и = н$ -+- е — ю (13) г = а (1 — е сов в) = Р 1 +.
е сов «е 1 . /1-+-е 1 1и — ю=у 1и — и. 2 71 — е 2 «Производные по р вычисляются без вояках затруднений; по отношеняю и производным но 0 необходимо заметить, что 0 входит з еориулы н явно и не явно при посредстве величины Т, затем д д д Наконеп„производные по а, е, е легко получаются заметив, что будет: де де — = — асовю 1 д«ае вш еа д«У1 ее д1' 2-+-есовм .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
