Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Ррредложсивс ХС111. Теорема ХЬШ Если ягела, траниченное с одной стороны гьюокоотью, с прочих мое егггорон нетраниченное и простираюигееея до бесконечности, состоит — 277— ив рави к частим, одинаково притягивающих, причем притяжение их убывает пропорииокально какой-лабо степени расстояния ббльшс ц нежели вторац и кокая-либо ноеса, лежащая где уюдно относи«кельне граничащей плоскости, притягивается этим телом, то это притяжение прм удалении от плоскости убывает пропормионолыш степени расстояния тела до плоскости, на гари единимы меньшей той, пропормконалыа .которой убывает притяжение отдельным частим ягела.
Случаи 7. Пусть Х,61 есть плоскосттч ограничивающая тело, которое расположено от вее в сторону Х и подразделено ва слои бесчисленным множеством плоскостеи: тНМ, гьХУ, оКО (миг. 123) и т. д., параллельных плоскости 6Хч и масса С лежит вне притягиваю- лг щего тела. Проведем прямую ''-. в ССНХ перпендикулярно сюзавным плоскостям, и пусть притяжение частиц обратно пропорционально степени и расстояния, не меныпей 3; тогда, по следствию 3 вредложевия ХС, сила притя- т л в жения массы С какою-вибо плоско« гъю тНМ обратно пропорциональна СН" . Возьми в пло— г в . гдз. скости тНМ длину НМ, обратно пропорциональную СН" ', тогда сила притяжения плоскостью тНМ будет пропорциональна этой длине НМ.
Подобным же образом и по другим плоскостям откладываются длины 6Л, ЛЧ, КО и пр., обратно пропорциональные Сб"' ', СХ ', СК ' н т. д.,— притяжения этих плоскостей будут пропорциональны соответствуюпщм длинам, значит сумма этих притяжений будет пропорциональна сумме этих длин, т. е. площади 6ХОК, продолженной до бесконечности в сторону ОК. Эта же площадь (по известным спо«обам квадратур) обратно пропорциональна С6" ', следовательно и притяжение всего тела обратно пропорционально этой величине. Случай 2. Кслн же масса С (миг. 124) лежит внутри тела, то отложив длину СК, равную С6, и проведя плоскость оКО, отсечем такую часть Х НйоКО тела, ограниченную параллельными плоскостями 16Ь, оКО, которая ва массу С притяжения не оказывает, нбо дейстеня противоположных частей этого отсеченного тела взаимно уравновепгивзются, следовательно масса С вЂ” 278— притягивается только телом, лежащим за плоскостью ОК, сила же этого првтяжевия, по доказапному для 1-го случая, обратно пропорциозальва СК" л, т.
е. СО" ', ибо СО= СК. Следсжяие 1. Поэтому, если тело Х,ЯТЖ огравпчево с обеих сторов плоскосгямп Х,О и У17, простирающимися до бескопечвоств, то его притяжевие зайдется вычтя из полного притяжевия веогравичеввого тела АМОКО првтяжепив его части ЛУКО, также простирающейся бесконечво в сторову КО. Следствие 2.
Если првтяжевие этой второй части тела по сравнению с первой будет ничтожво мало и его отбросить, то притяжевие первой часта при увеличевии расстоявия будет измевятьсв приблизительно пропорциовально СО" '. м о Следсяиве 3. Поэтому, если какое-либо конечное тело, ограппчеввое с одной стороны плоскостью, притягивает частицу в области близ средины этой плоскости и расстоявие от 3 частицы до плоскости чрезвычайно мало по с сраввепию с размерами тела, тело же это само состоит иэ одиваковых частиц, коих притяжевие убывает пропорцковальво какой-либо степеви расстоявия выше четвертой, то првтяжевие всего тела убывает пропорциовальво степени вышесказавпого малого расстоявия ва Фиа 1з4. три едивицы меньшей, вежели та степевь, коей обратпо пропорциовально притяжевие частицы. Это утверждевие ве отвосатся к телу, коего часпщы првтягиваип обратно пропорциовальво кубу расстоявян, ибо в этом случае притяжевие упомяяутой во 2-и следствии второй веогравпчеввой части тела бесковечво больше првтяжевв~ первой его части, ограпичепвой с двух сторов.
ПОУЧЕНИЕ Если пакое-либо тело притягивается перпевдикулярво давкой плоскости и требуется определить его движение, когда закон првтяжевпя задав, то задача решается определяя (предл. ХХХ1Х) движевие тела, падающего прямо ва эту плоскость и слагая (след. П законов) это движевие с раввомервым движением, параллельвым этой плоскости. Наоборот, если требуется зайти заков притяжевия к плоскости по перпевдипуляриому к вей ваправлепию при условии, чтобы притягиваемое тело двигалось по заданной кривой, то задача решается поступая подобно тому. как в задаче П1.
Это последнее определеняе иожет быть упрощено разлагая ординаты в сходящиеся ряды. Таь, если к оси А под каким-либо углом проводятся %5 ординаты В, коих длины пропорциональны какой-либо степени А" абсцисс, и требуется определить такую силу, направленную по ординатам вли в сторону к оси абсцисс, или в сторону обратную, которая заставила бы тело двигаться по кривой, проходящей через концы ординат, то положив, что абсцисса получает какое-либо весьма малое приращение 22, разлагаем ордивату (А -е- сс)" в бесконечный ряд 2 е — Ъ вЂ” тн ти — ФИИ А"-+.— А " ° ц-+, А " -ат-+- и ' вн' и принимаем, что сила пропорциональна тому члену, где и содержится зо второй степени, юиенпо: и-2в н Ин 2нт т.
е. искоиая сила пропорциональна 2 и — 2 вн — вин 2И' вли, что то же, 2 2 ии — ВЧИ 2222 Так, еслк орднвата описывает параболу, то их=2 и и=1 и сила будет пропорциональна Зо, т. е. постовннзя. Под действиеи постоянной силы тело описывает на самом деле параболу, как это доказал еще Галилей. Если же ордивата описывает гиперболу, то будет Ив=0 — 1 и м=1, и сила будет пропорциональна 2А ' или 2луе, следовательно, когда сила про- порциональна кубу ордиваты, то тело будет двигаться по гиперболе.пи 222 В обилен случае уравнение траектории будет вада: *=В; л=ч(в)=р(Л2) преуяолаган, что ось у-кон велта тав, чтобы движение происходило н плоскости лв; сила Х=Р = — и=(яро(и).
лг — 280— Опуская яодобвого рода предложения, перехожу к другим, которых я еще не касался. ОТДЕЛ Х1т О ДВИЖЕНИИ ВЕСЬИА ПАЛЫХ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕИ ПЕНТРОСТ1зЕИИТЕЛЬНЫХ СИЛ, НАПРАВЛЕННЫХ Е ОТДЕЛЬНЫИ ЧАСТИЦАИ ВЕСБИА БОЛЬШОГО ТЕЛА Предложение ХС1т. Теорема ХЬт1П Фиг. 126 Но «3 О (х -+- «) = О (х) -о- «у (х) -+- —, ° тп (х) е-..., 1 2' и следовательно, сила действительно пропорциональяа яозооициевту при «' в разлолсении хуняции ь(х-+-«) по степеням «. Но затеи надо выразить из уравнения я=р(х) перемен- ную х через л и подставять в выражение Оп (х). Кази две однородные среды разделяются пространством, заключенным между двумя параллельнымн плоскосзиями, и пило, прн переходе перез это пространство, прнтяьивается или побуждаезпся к одной нз средин перпендикулярно к плоскосзки раздела, Я друьих же сил к нему никаких не приложено, и если при 'ьв этом притяжение, прн всяном расстоянии от обеих зьзоскостей, одно и то же и направлено в ту же сторону, то синус узла падения на первую плоскость нако'ли днтся в постоянном опьношенни к синусу узла выхода нз втором.
Случай Ь Пусть лза, Вй(аиг. 125) — две параллельные плоскости п тело падает на первую плоскосп, по прямой СН и, в продолжение всего своего перехода через промежуточное пространство, притягивается к первой среде, и под этим действием описывает кривую ль)', и выходит по направлению,(К. Проводим к плоскости выхода перпенлпкуляр ЛХ, пересекаьощий продолжение ливии падения 6Н в М и плоскость падения в Л. Пусть продолженная линия выхода ХК пересекается с продолженной линией падения Хан Х. — 281— Из центра В радиусои ХУ опишем круг, пересекаюпшй прямую НМ в точках Р и 9 и продолжение МУ в точке Х Если положить, что притяжение, действующее ва частицу, постоянно, то по доказанному Галилеем кривая ВУ будет парабола, обладающая тем свойством, что произведение постоянного ее параметра на длину ХМравно НМ*, причем точкою Л длина НМ разделяется пополам. Поэтому, если из 1 опустить на МУ перпендикуляр ЛО, то МО= ОЯ; если к этим равным приложвть равные ОХ и ОХ, то и суммы МВ и 7Я будут равны, а так как 1Я постоянно, то и МХ вЂ” постоянная, следовательно отношение произведения КМ Му к произведению постояявого параметра на МУ, т.
е. к НЛР, постоянное; но МК МУ= РМ МД= = Муз — Р1Р = МТР— УВз в НМ' = 4МЕР следовательно и отношение ~МР ВУь~. Муз постоянное, значит постоянно и отношение у,уа 1У вЂ” — т. о. и Фиг 12а Ыо во всяком треугольнике синусы углов пропорциональны сторонам, следовательно постоянно и отношение синуса угла падения АМЯ к синусу угла выхода ХУЯ. Случай 2. Положии теперь, что точка переходвт через несколько пространств, ограниченных параллельными плоскостями АаЬВ (фиг. 126) ВЬсС и т. д., и что она находится под действием силы, которая в каждом пространстве постоянна, во в разных пространствах различная. По вышедоказапному синус угла падения на первую плоскость Аа находится в постоянном отношении к синусу' угла выхода из второй плоскости, по этот синус есть, вместе с тем, синус угла падения яа вторую плоскость ВЬ и находится вностоявяом отношении к синусу угла выхода из третьей плоскости, этот же— в постоянном отношении к синусу угла выхода из четвертой плоскости ЭИ в т.
д. до бесконечности, следовательно, по перемножении зтвх отношений, — 282— подучатся, что сппус угла падеппя па первую плоскость находится з постоякпом отпошепяп к синусу угла выхода пз последпей. Положим теперь, что промежутка между пдоскостямп уменьшаются, число же пх упелпчппается до бескопечпостя, так что заков пзмепеппя прптяжеппя пдп капора может быль сделав каким угодно пеерерыпяо пзмезиошпмся, тогда тап как отпошенпе синуса угла падеппя па первую плоскость к спнусу угла выхода пз последпей остается постоякпым, то оно остапется такспым и нрп всяком законе прптяженпя.ж' Предяожеппе ХС т. 'деорема ХУЛХ При тех жс предположениях я утверждаю, мто скорость чаотьмы до падения отностнся к сс скорости после выхода, как синус угла выхода к синусу узла падения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
