Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 63
Текст из файла (страница 63)
д1' а'д1 — е' — в1пю д, дТ вЂ”,=о, «Мы не заменяем а в выражении пе-»- е — ю, ибо мы предполагаем, что в еормулы вводится ~ мхе вместо вй дх ду д «Найдя на основании такого вычисления — — и — получим на > да' да да з основании хормул (11) к (12), производные —. дле да где через Т обозначено угловое расстояние планеты до ее восходящего узла, т. е. аргумент широты. «Пусть а есть который-нибудь из элпштнческих злементов, тогда будет После простых приведевий получатся следующие результаты: \ 1 д — — =Я— ~а~' да а 1 д — — = И"тз)п1 11з' др 1 дВ 2 -+- е соз ю — — = — Лйсозш-+- Т типю 1"~в' де 1 — еэ 1 д.В ее а~ г — =— —, — =8 — ыпш-+- Т вЂ” у1 — е' Ж дз с Рл' дз 2 — — = — 2Тгып'-- — УРгзш э сов Т 1 дВ 1 дВ 1 д —,. — = — —, ° — -+- Л..» ~~л' да 1ж' де Из этой выписки видно, что для нолучевия аормул (С) достаточно вепосредствепвых диааерепцировавий и простьш подставовок.
2 8. Чтобы получить аориулу (А), Тиссеран подставляет значения производпых, даваемых аормулаии (С), в общие аориулы изменений элемевтов, получаемые на основании общей теории. Мы же будем следовать как раз обратному пути; так как груша аормуз (А) вами выведена вепосредствепво, стоит из аормул (С), получаемых, как видпо, также независимо от общей теории изиепевия произвольных постояввых, пайтв выражения 8, Т, Л'через провзводеые пертурбациоэпой пункции В и подставить их в аориулы (А), то мы и получек ту общую группу аориул, устаповзевие которой требуется.
Обратив взимание на состав аормул (А) и (С), ветрудпо заметить, что величипы Я, Х и Йг входят в обе группы одинаковыми между собою сочетаниями, поэтому из аормул (С) надо вепосредствевпо находить требуемые сочетавия, которые и подставзять в аориулы (А). Так, аормула (4) группы (С) дает пепосредствевво: Уу 1 ~/1 — зэ дВ к (~а' а да что, по подстановке в аормулу (1) группы (А), в силу соотношения У'. (1 ш) э, з дает да 2 дВ дэ аз дс (1б) — 304— дз 1 дВ дЕ еа~/1 — ее вш а др Формула (4) группы (А) содержит величиву 1тгсовТ; в группе (С) эта величива содержится в уравнениях (б) и (6) совмество с Тю Исключив Тг вз ураввевий (б) и (6), получвм 1 1 дВ 1 а /дВ дВ1 уугсовТ= — —, —.- — —, 1я- ~ — -е- — ) (т' в1па до (ев' 2 1да де / после чего подстановка в аормулу (4) группы (А) дает (16) 1 С3 и дЛ дВ (еа' аае 1/~ — еа (да де ) др 1 1 дВ аае 16 — ее вш р до Заметвв, что и 2- есовм (1- 1- есовю)в 1 У вЂ” 1 -+- — 1 -+.
е (1 — ее) Р 1-+- е сов м можно аормулу (3) группы (С) написать твк: 1 1 дЛ е1 —, ° — ° — = — 8совее-+-Т~ 1-+. — ) вшю (3') 1а~' а де Р после чего ураввение (6) группы (А) обратится в следующее: да 1,— —;дВ ., р ٠— = — у1 — е* — -+- 2 в(пе— дв аае е де 2 де дЕ Звмеввв — его величиною (16), получим да 1(1 — ев дВ 3 з дВ дв ааее де аае1(1 — ее др ' да де Стоит только подставить в аормулу (7) группы (А) значения — и— де де и выражепве 1 1 дВ 8г= —, 1'ев' а да и замевить у' (1 «-ев) через в*а', чтобы получить формулу де 2 дЛ 3 з дВ 1 — 111 — ее дВ де ее~' Ч'1 — ее до д + *': — 16 — е* ..
(19) аа'е де формула (2) группы (С) дает 1 дВ юг зш Т = —.— 1ае' др что, по подстановке в аормулу (б) группы (А), ва освоввввв того же соотношевия (*), дает — 305— (20) или иначе ду 2 !!1 — ее (дВ дЛ! д! Яа 1доо де! д Остается епде найти — Но мы имеем р=а(1 — е'): (21) взяв логариемическую производную, имеем Пе де 1 Иа 1 ду 1 — е" д! а, д! у <И дп ду Подставив вместо — и — их велячины (15) и (21) получим, де 41 — Ы дВ ! —, 1 — !!1 — ев дВ д! аа" е да пао е да Танин образом мы получаем следуюшую группу аормул: 2 дВ аа д (1 5) до 1,Л вае !1! — ее в!и с др (16) 6 в дЛ е'! — е' дЛ до (18) пи' е де пав !/! — ев д9 !!1 — е' дЛ ~ е ! — !!1 — ее дЛ аае е до~ ' аае е де (22) (В) 1 дЛ па~ !/! — с!в)п е до дЛ 16 —,- 9 а да вас !/! е 2 !/! — оа (дЛ дЛ! аа ~да де! (21) Подстановка величины в уравнение (3) группы (А) дает еа 6 Т ('дВ дВ'! (17) пав!!! — е' !~да де! ! — 11! — И дЛ (13) др !/1 — е' аа' е де — 306— Эта группа аормул, приведенная на стр.
190 т. 1 «Небесной Механики» Тиссерана, составляет заключвтельный вывод главы Х1 этого тома и служи г основанием для всей теории возмущенного движения планет по методе изменения постоянных произвольных, изложению которой и посвящен весь этот шм. Достаточно обратить внимание на то, что В есть линейнан п однородная функция масс ж', и»", ... возмущающих,тел, именно: где р,д = (м — хс)« -«- (у — у,-р -»- Ы вЂ” л,)« » — я»» уй+я« Тогда можно рассматрвватао что от взаимного притяження ва эти тела действуют соответственно силы, сообщающие им следующие ускорения: телу Т . 1» /.М » $ .» Я1 по Т$ и —,— по ТР $Т и —.; » $Р 1~ »ЕТи —, » Р$, так же как и полные составляющие возмущающих снл, чтобы видеть, что мормулы (В) совершенно общие„т. е.
что они ииеют место прп любом чиспю возмущающих тел. Из этого примечания, нарочно изложенного с такою подробностьиь видно то значение, которое имеет следствие 3 предложения Х «'Н для «Небесной Механнки»; вместе с тем стоит только сравнить вывод ториулы (А) и затем (В), данный здесь, следуя истн1 ному смыслу слов Ньютона, с вывоводом этих формул на основании общей теории изменения произвольных постоянных в «Механике» Тнссерана нли в т. 1 Аппа1ез йе ГОЬзегтаФоп е де Раг!з раг П.
Ю. Ье Уегг1ег, где этот вывод, опуская все простые и промежуточные выкладки, занимает 22 страницы мелкой печати большого щ 4', чэобы еще более убедиться в пользе изучения ныотоновых «Начал» при изучении даже и совремеввой небесной механики.
9 9. Приведем теперь выражении слм $, Т и 1Г Примем за плоскость ху плоскость орбиты тела Р, и пусгь массы этих тел суть: главного тела Т... Л, тела Е' . и» и возмущающего тела $... ж', обозначим соответственно расстояния: ТР= г; Т$ = «,; Р$ = р. — ЗО7— причем порядок букв, напр. ТЯ, указывает, что ускорение направлено по прямой ТЯ от Т ь Я, а ЯТ означает, что ускорение направлено по той же прямой от Я к Т.
Но движение рассматриваемого тела 1' относится к телу Т, принимаемому за неподвижное, следовательно надо к прочим. двум телам приложить такие силы, которые сообгцали бы им ускорения, равные и противоположные ускорению тела Т; таким образом к телу Р надо еще приложить ускори' те рп, тельные силы: — по РТ и —,'; по направлению, параллельному ЯТ; таким тэ т ! образом на тело Р будут действовать следуипцие ускорительные силы; ~(М-ь-ю) У вЂ ., параллельно ЯТ Ф'~" рп' —, поРЯ е и па тело Я вЂ” следующие силы: Р = ~'Ъ 1= ИО к~ 1'„= —.
параллельно 1Т "-= Ф 1,= —, по Я1. ) ~53 Р11 э ~с.а и сила Р,— на следующие три: ТН вЂ” Р В г 1 ТЯ вЂ” Р' В 1 Так как имеется в виду рассматривать движение тела Р, то и разбереи силы, ва него действующие. Сида Р„направленная к принятому за неподвижное телу Т и обратно нропсрциовальвая квадрату расстояния до него, дает вевозмущепное эллиптическое движение. Возмущающие силы суть Р, и У'„их и надо разложить по вышеприведенным трем направлениям. Для этого опустим иэ точки Я ка плоскость орбвты тела Р перпендикуляр Я',/ и из точки Х перпендикуляр Ш иа радиус-вектор Т1', тогда сила Г, разлагается на следующие три: — 308— таким образом будет: РН ТН, ГРН ТН 1 Т Н=Р— — Р— =Т '~~ — — — ~ в' р ас ~р гь~ в ~ а з ~ /Ъь Т=Тпв ~ —,— — з~ ° Н,Т сГ1 11 с'с ~ Тив 'ьаг = твв —, — —, °,ТЯ, С с Р следовательво РН ТН ТН вЂ” г ТН Т1 11 с Н вЂ” — — — — ~ ~ТН вЂ”, св 0 а з — з ~р з — ( а зТ' Р С1 11 И'=( — — — ) .,И.
в вТ' 1р ь. Т Условившись означать через л и Л,— долготу тела Р и тела Я, считаемую в плоскости орбиты тела Р, и через ф — широту тела Я от той же плоскости, будем иметь: ТН=гвсоз рсоа(л,— сь) Н,Т=гвсоз()з(п(л, — Л) ,ТЯ=гзз1пр таким образом будет: Я= — — -ь-11 — — — )г соз~)соз(Л вЂ” л) = — ра („,а аз) 1 Л1 11 Т= ( —,— — з) гссозрзш(Лз — Л) Р (23) /1 11 УР'= ~ — — — ) г з)п ~3.
в з/ 1р а.,) р '=г, *~1-ь-3 — соз(Д,— Д)~ св Предложение ЬХ71, как указано Ньютовом в предисловии, имеет в виду приложения к теории Лупы, поэтому для общего обозрения главвейшвх верзвевств ов сперва пренебрегает накловевием зуевой орбиты к эклиптике, т. е. полагает в формуле (23); соз~) = 1; тогда будет г с' 1 рз = в,' — 2ггс соз(д, — д) -+- в' = с,' ~ 1 — 2 — сои (Л, — Л) -+- ал ~с 1 "1 г 1 вместе с тем отвошевие — составляет около —, поэтому, если пренебречь ас 400' квадратами в высшими степенями этой величины, то можно в первом приближении взвть — 309— н тогда будет г Г1 Зг 1 1 8= — — -+-~ — -а- — соз11 — Х) — — ~г соз(1 — Х) га ~„а .4, т .з~ 1 1 1 1 т.
е. гГ1 3 Я= — ~ — -ю- — сое 2 (Х вЂ” Х)~ 2 2 1 (24) 3 г Т= — ° — гйп 2 (Х вЂ” Х). 2 ',.в 1 1 Эп~ величвны, при подстановке в оормулы группы (А), а также и при непосредственном рассмотрении действия на тело Р снл, имн представляемых, в значительной степени облегчают понимание высказываемых в следствиях предложения ЬХ71 утверждений. О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ КНИГА ВТОРАЯ ОТДЕЛ 1 О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ ПРИ СОПРОТИВЛЕНИИ, ПРОПОРПИОНАЛЬНОИ СКОРОСТИ Предложение 1.
Теорема 1 Количссжво доиисстсия, пьеряемос толом ож совросаиолсния, п(оопориионалвноьо скорости, пропорционально пройденному прм дснллсснаа простпрансиьму. Ибо количество движения, теряемое в продолжение каждого отдель- ного весьма малого промежутка времена, пропорционально скорости, т. е. и пройденному в этот промежуток весьма малому путя, следовательно, ауожив, получим, что и полное потерянное количество движения пропорционально полному крапленному пути. Следствие. Поэтому, если тело, никакому тяготению не подверженноет будет двигаться в свободном пространстве по инерции и будет известно как его начальное количество дввжения, так и остаюшееея после прохождения какого-либо заданяого пути, то найдется и полное пространство. которое тело может описать в бесконечно большое время; именно, это пространство так относится к уже описанному, как полное начальное количество движения к потерянному.'"" 1Ы Осонначив черен ю, с, й — массу.
скорость и кон ьоицнент сопротижеяия и полатан, что точка движется по оси х, выйди на начала координат со сяоржтью се, можем написать диооереицнальвое ураввение ее движения тал: ж йс ся — = —.— й = ас и откуда. при вьпяеукыавных начальных условиях, следует (и) сисе — 1ис = йх. Энт равенство и выражает высканавную теорему. Нанболыпее прост(жнстно дэ проходимое тетом. получится полагая в оормуле (Эр с=о н .с=э( — 312— Лемма 1 Колгсчесгява, яроппртвиональные своим разностям, образуют непреры вную проев(ригою. Пусть будет з(:зй — В =В:  — С= С: С вЂ” 1) и тогда по обращении получится: А:В =В:С=Пгу) и т. длю Предложение 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
