Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Следовательно, движение притягиваемого тела будет то же самое, как если бы притягивающие тела были слиты в один шар, сохранив пгглонгение центра тяжести; поэтому, когда этот центр тянгести сггстемы притяпгвающих тел или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно, то притягиваемое тело будет описьшать эллипс, коего центр находится в сказанном центре тяжестк системы притягивающих тел. Предложение ХП, Задача Х1ЛТ Предполагая, юыо к огядсльньгм гыочкам круга направлены равные центростремительные силь, ваграсгыающие или убывающие в какой-либо эавискмосоги от расстотсия, требуется найти силу, с ктыорою иригкягиваежся масса, номещенная где-нибудь на иуямой, иеунендикулярной к илоскосгки круис и нроходящей через его центу.
10г — 270— Вообйазим, что из центра А (еиг. 118) каяим-дибо радиусом АЭ описав круг в плоскости, перпендикулярной в прямой АР, и требуется найти ту силу, с которою масса Р притягивается этим кругом. Проведем нз какой-либо точки Е кууга пряную РЕ, на прямой РА отложим длину РХ = РЕ и по ординате РК отложив длину, пропорциональную той силе, с которою точка .Е притщ ивает массу Е'. Пусть,УКЛ есть та кривая, на которой посгоянно лежит точка К и которая пересекает плоскость круга в Ь. Па АР берем длину ТН = РР и проводим перпендикуляр, пересекающий сказанную кривую в точье,У; ь тогда притяженве массы Р к; угон пропорционально произведению цаощади АХ„УН на расстояние А Р В самом деле, возьмем ва А.Е весьма малую длину Ее, проведем Рв и воз меч РС и РУ равными Ре; по предположению длина ГК пропорциональна тои саде, с кото1 ою масса Р притягивается г к точке .Е ко зьца; коего шири а сЕ и котолт рое описано из А, как из центра, радвусом АЕ; поэтому эгементарная сила притяжения массы Р к цент; у А будет пропорцио- АР вздьна РК вЂ”, сила же притяжения этой РЕ массы веем кольцом будет пропорцио- АР вадька произведению его площади ва РК.
—,; но площадь кодьца про- РЕ ' порциональна АЕ Ее, а так как РЕ:АЕ=.Ее:СЕ то АЕ Ее= РЕ СЕ= РЕ РУ сдедсвательно притяжение массы Р кольцом по направлению к А пропорционально РЕ Ре АР У'К РЕ т. е. РУ'. ХК. АР иначе — произведению пв площадки РКйу па расстояние АР; поэтому сумма притяжений зюссы Р всеми кодгцами, сопавляющими к1 уг, описанный ра- зж Полагая, чзо ваагн приз яжения вюрзжаечсе огрпулгю у Е Ь где г= РЕ, и обозначая через Ч вЂ” пов ргнгсгную олочиосзь, получим, чзо слагающая призяжеиия ог олемевзарного малька вюражаезся оормулою Ах=зги ° и у9)яг — 271— янусом АЭ из центра А, будет пропорциональна площади АНЛЮ, умноженной на лений АР.
Счедсочаис 1. Тан, если притяжение точною Ь' обратно пропорционально ивадрачу расстояния, т. е. если РКпГопоуционально — ~ то пло- 1 ЯЯ2 1 1 щадь АНТКТ будет пропорциональна — — —, и притяжение круга про- РА РН РА АЛ ' лорпиенально 1 — - — > т. е. — . РН РН Стдствис 2. Вообще, если притяжение точек в расстоянии ТТ обратно пропорционально какой-либо степени З" т.
е.РК пропорционально — сле- 1 довательво площадь АНТКТ пропорциональна 1 1 — — — е р че-ч рчее-ч то притяжение массы Р иругем будет пропорционально 1 РА РАе-е РПе-е Сч-дс>аоис 8. Если диаметр круга увеличивается до беснонечвости н понаэатель степени и больше 1, чо првтяячевие массы бесновечвою плосносчью обратно прон.рцновэльно РА ибо член = в этом случае е-е РА ) РНе-1 исчезает.
Предложение Х01. Задаев Х1 ч" Найти нрнеаяокенис массы, яомсичснной на оси жела орачаения, этим таеом, кочда к отдаеьнылч сю точкам ноироолян тся раоаыс нентрострелеит~леаые от|ее, еубываеоеаие ио какому-либо локону о зависимости от расстояния. Пусчь масса Р Генг. 110), лежащая на оси чела вращения ЮЛС6, притягьвается ии. Г!ересеии эчо тело какою-либо плосносчъю, перпендину- те л=лр Лееее еще Санек еиеее дс = эеа. а ° ~У1е1 ° Л ° е — 272— лярвой к оси, н пусть круг ВРЯ есть полученное сечение; по его радиусу.Е9 в какой-либо плоскости, проведенной через ось, возьми длину РК, пропорциональную той силе, с которою масса Р притвгввается этик кругом (предл. ХС).
Точка Е распгложитсз ва кривой ХРХУ, пересекающей плоскости крайних кругов ЛХ и ВХ в точках Х и,У. Прптя:кение массы Р телом вращении ЗЕС6 будет пропорционально площади Х Л'УВА. Слсдсгпоис 1. Поэтому, когда тело — цилиндр, происходящий от обращении прзкоугольника ЛЗЕВ (Фиг. 120) около оси ЛВ, и притяжепиз его отдельных точек сбратво пропорциональны квадратам расстояний до них, то притяжение массы Р этим цилиндром пропорционально (А — РВ -и- РЗ) Фи с 119. Фиг. 190. ибо в этом случае (предл.
ХС, след. 1) ордината РК пропорциональна 1 — — прв проведении 1 по основанию АВ получается площадь 1 АВ. РР РЛ ' РР Вторая часть —. прн проведешш по длине РВ, дает площадь 1 ° (РŠ— АЗ), РЕ что легко получить квадратурою кривой ХКУ; та же часть —,, по проведении по длине РА, дает площадь (РЗ вЂ” 1З) 1, следовательно при проведении по АВ опишетсп площадь, равнаи разности (РŠ— АЗ) ° 1 — (РЗ вЂ” АЗ) 1 т. е.
1 ° ('РХл — РЗ) вычти которую нз площади АВ 1 в получим, что площадь ХАВ,У равна 1 ° (А — РЕ-+- РЗ) следовательно сала пропорпиовальва™ (Я — РЕ -е- РЗ). Следстааме,л. Таким же образом кожно вычислить силу, с которою сеероид .4 СВС притягивает пассу Р, расположенную ва его оси л(В. Пусть лчКВМесть такое кови- ческое сечение, коего орднната ЕВ, перпевдик)слярвая к РЕ, равна, при всяком ее положении, отрезку РЭ, проводимому к точке пересечения Э этой ордиваты со стероидов.
Из вершин сьероида 2 иВ проводятся перпевдикуляры А(К и ВМ, соответ- отвеяно раввыеАРиВР, фиг. 121. пересекающие сказанноее коническое сечение в К и М(фиг. 121). Проведя КМ, отсечен от него площадь КМЛК. зтс Притяжеиие вругом, мредставляыщви сечевие тела вращевия, точнее говоря слоев, ааялычевяым вежду двумя бесзоиечяо близиими лругаии, находится по оормуле (1) примечавия 123, и высиазываемав теорема, при привитом теперь обозиачеяии, приводит и следтыщен еырвуле. Пусть р есть плотность (объеивая) тела вращевия: Р.б = а, РВ = Ь, РУ = и, РВ = Х) д Д = 2хя ) У(г) с(т РХ, будем иметь, тав иаи В = р ° Ая, притвжевие в У=о ~ () Ня.
Ь Тав, для цилявдра будет при у'(г) = —; та' () = 2 Ья ~ в с(г= згдх ( — — — ) = 2лл ~1 — — ~ =вял ( 1 —— чса-е мь где с = $Ю есть рщяус цилиндра, и, звачвт полное притяжевие будет ь Р = зть)~ ~1 — — ) ия = зиа ~ (Ь вЂ” о) — — =- ч- Ь и з(ст-+-ят) ~ Коз — Ьт ь'сл-ь ат т. е. Р пропарциояыьио (А — РЕ-е- РЗ). — 274— Пусть Я есть цевтр оьероида, ЯС вЂ” его болыпея полуось; тогда отношение силы, с которою точка Р притягивается сфероидом, к силе притяжения шаром, описанным ва диаметре АВ, равно отяошевию АЯ- ЯС' — КЖВК РЯ .АЯз РЯ'-з- ЯСз — АЯз ' ЯРЯз Основываясь па расчетах подобпого же рода, можно найти и притяжеыие сегментом схероида.
тю тм Приводимаи в атом следствии оормуяа дзя иритяжевия зззипгхвда вращения ва точку, лежащую яа оси вращепия, моисее быль иозучсяа следующим образок обозяачвм расстояние РЭ через Х; тогда, ва осиоваиии оормузы (2), будет зе.а ььо -"/( — 1 -" .-1'-") $-а 1-о где Р 1 =1 — я, ЯА = ЯВ = а, РЯ = 1, РВ= х. На основания уравнеяия эязипса прв ЯС = д, будет аз — Ьз 2Ьз1 Ьз Хз = — — хз -+- — х — — (М вЂ” оз) аз яз яз если, дзя сокращения пясьма, сделать: от — Ьз, ЬЫ А= — —— от з оз Ьз С = — — (и — ать оз в осе свеюсь к вычясзению ивтеграза ьь о ) хл' ь-а Мвтеграз ( — Ах Ньютон приводят к вычислению иьпеграса ~хбх1 в сапом дезе )Х г Ах-+-В г Ах - ° -Вх ХАХчи Х вЂ” 1 — АХ= Х вЂ” ~ х = ) х А= (Хз — Вх — С .
( (Вх-о С х =хХ вЂ” ( ° А*=хХ вЂ” (ХА ( — - 'ях. Откуда Но аодстававя в оормузе (1), получим Б = '--1 "-':-: (2) Подставляя в зту оормузу пределы (1 ч- а) я (1 — а) и обозначая через и — взоящдь ЛУВХАВ, та о И.а — 275— вли вет. Пусть АСОР (Фпг. 122) есть притягивающий ог*ероид, 8 — его центр, Р— притягиваемая точка. о Проведем через эгуточку Р полудиаметр ЯРА и еще две каких бы то ни было прямых З.Е и УС, пересекающих саероид в точках Э, Е, Г и 6, и пусть РСггг и Шлт предста- Фяг.
122. вляют две соероидических поверхности, лежащих внутри данной, одноцентренных и подобных ей, причем первая из них проходит через точку Ри пересекает прямые ЭЕ, каменке .б, .В я С ях зелвчкньмн н заветна, что ярн а=г — а будет я в что пря будет и получая х = г -ь а Х = г -ь а, (Ва +. С) Х~гьа 2а (Р -+- азг Вз — ЛС)г и — аз- Ьз г ° 8 а (Р 4- аз) ) абз г (Я рл,г) — — 1=" ': Р— аз.+- Ьз Р— ас -з- Ьз 1 и — аз -+- Ьз ео и 2аг = МЛКа — (ВМК = КМВК = Юд а так как врятяженее шара, опвсаввого на днаветре з(В, есть 4 таад з то я будет оь — гнг,и В' ЛО Р з Ьз Згз) Зто в есть пркведеввая в тексте аоркула.
По поводу атой аорвулы заметим, что, как медно вз сочввеввя Ньютона — «Пе сш таина снгтаппв», ему было вззестно ве только геомстрнческое, во в авалвтвчегяое представлевне ватегразов, содержащих корень квадратвый вз трехчлена второй степенв относвтельно незаевонмой переменной. Следопьяие 3. Когда притягиваемая масса лежит внутри со ероида на его оси, то притяжение ее пропорционально расстоянию до его центра. Это легко можно получить следующим рассуждением, и притом находится лп притягиваемая точка на оси, г ГС в точках В и С, вторая же пересекает эти прямые в точках Н, Х,,У, Ь. Все эти спероиды имеют общую ось, и отрезки прямых, закдючеввые между вими, будут соответетвевво равны, а имевво: РР=ВЕ, РР= СС, РН=Е7, УЕ= ЛС ибо прямые РЕ, РВ в НУ разде шютея пополам в тех же точках, как ЕС.
РС и ХР. Вообрази теперь, что РРР и ЕРС представляют два протввоподожвых конуса, описаввых бесковечпо малыми углами РРР и ЕРС, и что ливии РН и ЕУ также бесконечно малые; тогда вырезаемые этими ковусами части РНРК к СЕУЛ поверхностей с ьеровдов будут пропорциовальвы квадратам расстоявий до точки Р и, в виду равеветеа длин РН в ЕТ, оказывают ва эту точку равные притяжения. На освовавии этого, если объемы РРУ и ЕССВ подразделить бесчисдеввым ивожеетвом подобных, одвоцевтреввых и имеющих ту же ось еаероидачееьих поверхностей ва эдемевтарные объемы, то все овк попарно притягивают точку Р с раввыми силачи в противоподожвые стороны, следовательно силы првтяжевия ковуса РРР и ковичеекого сегмевта ЕССВ между собою раввы и, будучи ваправдевы в противоположвые стороны, взаимво увичтожэютея; это относится, значит; и до всей материи, расподожеэвой вве ввутреввего еьероида РСВМ, которая таким образом ва точку Р првтяжевия ве оказывает.
Следовательно, точка Р притягиваетея только ввутреввим счероидом РСВггг, и по следствию 3 преддогкевия 1,ХХП сила этого притяжевия так относится к прятяжеввю точки А веем схероядом АСОР, как расстояние РЯ к А8. Предложепие ХС11. Задача Х1У1 Найти закон убывания ивнтростромительных сил, ггаправленггых к отдельным частииам заданною притягкваюгиего ныла.
Из задаивого тела надо сделать шар илв цилиндр, идв иное тело правильной ьормы, для которого закон подвой сиды притяжевия, ваходящвйея в соответствии с законом убывавия притяжения отдельиой частицею, мог бы быть вайдев по преддожевиям 1 ХХХ, 1 ХХХ1 и ХС1. Произведя затем испытания, определяют притяжевке тела в раздичвых расстояниях; вайдеввый по этим определевням заков притяжения к целому телу доставит я искомый закон прятяжевия его частицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
