Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 61
Текст из файла (страница 61)
По по равенствам ЕН= С6 и ЧВ= СЕ предыдущее отношение равно отношению (СЕ-+- С6 — РЯ): (СŠ— РВ). — 288— А так как то следовательно и по следствию 2 предложения ХСЧН поверхность Еуг заставляет часпщу, падающую ва нее по линии ЭУ, продолжать свой путь по УЯ в точку В.
ПОУЧЕНИБ По этому способу можно было бы перейти к трем илв большему числу поверхносгей, но для оптических приложений наиболее удобны сферические поверхяости. Если бы составить объективы телескопов из двух стекол, ограниченных о»ерическими поверхности»ш, заполнив промежуток между ними водою, то, может быть, погрешности преломления, образующиеся на наружных поверхностях, были бы исправлены преломлением воды с достаточною точностью.
Такие объективы следует предпочесть эллиптическим или гиперболическим стеклам не только потому, что их легче изготовить, но и потому, что ими более правильно преломляются пучки лучей, расположенные вве оси стекол. Однако в действительности различная преломляемость разных лучей есть такое препятствие, вследствие которого в оптике сферическими илн иными стеклами можно достичь лишь малого совершенства, и покуда не будут в состоянии исправить происходнщие от этого погрешности, будет вполне бесполезно затрачивать труд на исправление прочих погрешностей. Примечание 116.
К предложению ВХЧ1 В этом прнмечанви мы приведем сперва вывод формул, выражающих изменения элементов эллиптического движения планет, ибо зтн формулы слу» жак основанием для учения о возмущенвях Луны и планет. $1. Тиссеран, излагая в своей «Небесной Механикс» Ньюгонову теорию движенвя Луны, пишет: «В двадцати двух следствиях 1,ХЧ1 предложения Ньютон разбирает действие предыдущих свл по отношению к производимым иии возиущенвям тела Р. Соображения, которыми он руководствуется, весьма остроумны, но по сжатости изложения за ними иногда трудно следить. «В превосходном мемуаре: „Тйбог)е ййошесг)йпе бп шоптешепь деа арпейез без р1апеьез ропг аег»)г б'аббВлоц апх Ргшс~рез йе Немсоп" (Оептгез, С.
Ч), Лагранж дал изящное геометрическое доказательство днфнерен- — 289— з = — иах Тг 61 1 "+-и И'г сов Т и' аа 1-3-и 1/1 е* 69 и' на ан р — = — 55 з1п Т 61 1«-и,11 «« 2 2 I «1 е — = — яа' р~ — е'~ — Ьсози-«- Т(1-«- — 1япю ~-ю- 61 — 1„,'Ч ! Ф д9 -«- 2ез1п« вЂ” '— 2 61 2и' ««Юа — иаЯг -+- — -+" 1-в- и 1-+-1/1 — ««ас -+-2 т1 — е зш —.— » ° —,р ИЕ 2 Ж (6) циальных аормул, полученных им перед теи аналитически, для движения ааелиев и изменений большой оси и эксцевтриситета. «Ьезр1ап11 1ТЬбопе 6бошезг16пе бе 1а таг1а11он без 61бшеп1з йез р1авй1ЕЗ (МйПО$ГЕЗ ЙЕ 1а ЯОС1Е16 6ЕЗ ЯС1ЕВСЕЗ Рауэй1ПЕЗ Ес №1ПГЕПЕЗ дс Вогбеапх, 1867)), основываясь на лекцинх, читанных в 1856 г. в Со11ййе бе Угавсе Бертраном, и пользунсь рассмотрением пар, сумел дать геометрические доказательства аормул, отвосяпшхся к наклонности и долготе узла, дополнив таким образом мемуар Лагранжа.
Исследования Ньютона и его последователей по указанному пути вытекают теперь весьма просто из аормул, выражающих провзводные эллиптических алемевтов планеты з зависюмкти от составмпощих возмущающей силы по радиусу-нектору фю'8), по перпендикуляру к нему н плоскоств орбиты фи' Т) и по перпендикуляру к этой плоскоств ((т' Щ.
«Обозначив через: а, н, е, р, р, 9, ю, «, и, г, и, и, Р— большую полуосчч среднее движение, эксцевтриситет, параметр, наклонность, долготу узла, долготу перигелня, долготу эпохи, массу, радиус-вектор, истшшую аномалию, эксцентрическую аномалию и, наконец, аргумент широты возмущаемой планеты Р, через и' — массу возмущающего тела 8 и принимая массу Т за единицу, будем иметь такие аормульп <Ь 2и' па~ р1 61 — 1-+-и ~1- — ~ ~ — ~8сзшю-+- Т вЂ” ) и (у) л-' = — и — - ия«1~à — е'(8з1в и-а- Т(сонм .«- солю)3 61 1-+-и (2) — 290— «Ю Затем Тиссеран показывает, что Ньютону было известно выражение - - ° как это обнаружилось по оставшимсн после него рукописям, перешедшим впоследствии к лорду Портсмуту, и продолжает: .весьма вероятво, что НьюИз Ир тону были известны и выражения — и — ° Я склонен полагать, что он эиал ~й о'» все формулы (1 — 7), но что ов вредпочел, вместо того чтобы их опубликовать, вывести из них большое число геометрических предложений, которые он получал, рассматривая всякий раз лишь действие, производимое одной из составляющих» (Г.
'Йззегапй. Тга!Сб бе Ыйс«пвйпе Се1езге, 1. 1П, сп. П1). Те же «ормулы приводятся и в главе ХХЧП1 тома 1, где Тиссеран говорит по поводу их: «эормулы (А) весьма важны, в особенеости, если желательно получить изменяющиеся значения элементов при помощи «Механических квадратур». Обыкновенно приведенные выше по Тиссерану формулы выводят из общей теории изменения произвольных постоянных.
Но эта теория требует для своего установлении довольно сложных выкладок и соображений, между тем все эти формулы можно вьиесчп непосредствевпо основываясь на предложении ХЧП ньютоновых «Начал». Но прежде чем привести этот вывод, обратим внимание нз следующие слова Лагранжа в $ 2 его мемуара, упомянутого выше: «Ксш сочинение Ньютона и не предлагает точной теории движения аэелиев, то тем не менее оно содержит ее зачатки, и лишь трудность ее развития, может быть, мешала до снх пор воспользоваться ими. Ови находятся в предложена~ ХЧП первой книги, в котором показано определение элементов конического сечения, описываемого телом, брошенным с заданною скоростью по заданному направлению и подверженным непрерывному действию центральной силы, обратно пропорциональной квадратам расстояний.
В третьем следствии этого предложения Ньютон замечает, что если тело движется по коническому сечению и каким-либо натиском бу ет отклонено от своей орбиты, то можно найти его новую орбиту, по которой оно после того будет двигаться, присовокупив к тому количеству движения, которым тело уже обладало, то количество движения, которое натиск ему сообщил, ибо таким образом получится по величине и направлению то новое количество движения, с которым тело покинет то место, где на него подействовал натиск». З 2. Приведенное в словах Лагранжа следствие 3 предложении ХЧП и содержит всю теорию изменения элементов орбиты.
В самом деле, если натиск внезапный и весьма малой продолжительности, вроде удара, то оз производит лишь изменение количества движения тела, иначе скорости его, — 291— положение же тела за время действии этого натиска ме мгмеяяежея; значит, по этому прежнему положению и новой скорости и найдутся элементы вовой орбиты.
Коли же натиск, иначе говоря возмущающая сила, действует постепенно и непрерывно, то и скорость изменяется непрерывным образом. Коли рассмотреть то действие, которое произведет нозмущающая сила в продолжение бесконечно малого промежутка времени Ф, то скорость получат приращение, направление коего совпадает с направлением силы и величвна которого пропорциональна напряжению силы и продолжительности ее действия сМ, изменения же или приращения координат тела, вызываемые дейстнием этой возмущающей силы, будут пропорциональны вввв, т.
е. буду»в евпорово порядка оивяосиввельно сЫ. Следовательно, надо взнть аормулы эллиптического движения, придать приращение лишь скорости; члены первого порядка в полученных приращениях элементов, по разделении на д1, и дадут так называемые «изменения эллиптических элементов», выражаемые в небесной механике приведенными выше аормулами (А).
Остается теперь выполнить выкладки, вытекающие из приведенного выше указания. Сам Лагранж, излагая в своей «Мйсашйпе Апа1у1ййпе» теорию изменения произвольных постоннных и прилагая ее затем во И главе в/11 отдела к изменению эллиптичЕских элементов планет, делает вышеприведенное указание, но, не развивая вытекающего из него способа получения требуемьвх аормул, он находит их из общих аормул изиенения произвольных постоянных, являющихся результатои общей теории им данной. й 3.
Основные аормулы эллиптического движения, которые нам понадобятся и которые можао найти в любом курсе астрономии, следующие: 2 т' — = с... интеграл площадей сИ у2 11 св = ф ~ — — — ) интеграл живых сил 1т а) ев «зв //л = /(1 в- ж) = — = —, ° ав = нв ав р ™ с= 1/ф ° 1/р = на' 1/1 — е' р а (1 — ев) 1-+-есовю 1.+-есовв» т = а11 — е сов а) т э1пве=а 1/1 — е'зшм тсозве= а(созм — е) и — е вш и = м1 -+- в — ьв. — 292--- Пусть ю' есть масса возмущающего тела; обозначим, как уже сназано, составляющие возмущающей силы (ускорения): по радиусу-вектору— через ую'8, но перпендикуляру к нему в плоскости орбиты — через Гпэ' Х и по перпендккуляру к этой плоскости — через уяэ' И; и через в, ~й, у — проекпяи или составляющие бесконечно малого изменения скорости, производниые этими силами в щюдолжение бесконечно малого промежутка времени оэ Тогда будет: в = у .
т'ЯМ; ~ = (тв' Тб$ у = (т' Рг бэ. (8) Начнем с нахождения изменений элементов, определяющих положение плоскости орбиты, т. е. долготы узла 0 и накловиости ф. Если в момент времени э — М тело проходило через какую-либо точку Р, своей орбиты со скоростью 1г„то когда возмущающей силы нет, оно приходит в момент Ф в некоторую точку Р той же самой орбиты, обладая скоростью Р'. Если определять элементы орбиты по положению Рн скорости Р; то получится та же самая начальная или невозмущенная орбита. Но когда тело подвержено действию возмущающей силы, то выйдя в момент З вЂ” Ф из точни Р, с тою же скоростью Р"„оно придет в момент г в некоторую точку Р„обладая в ней скоростью Р,. Зто новое положение Р, и новая скорость Р; и дадут элементы возмущенной орбиты.
Разность или приращение соответствующих элементов этих двух орбит, по разделении на й, представят производные элементов по времени, которые и требуется найти. Но расстояние Р1' двух вышеупомянутых положений тела Р есть величина второго порядка относительно Ж, разяости же соответствуюпц~х слагающих скоростей р, и р'суть в, ~) и у, г. е. величины первого порядка относительно Ж Поэтому, при разыскании нроизводных элементов орбиты, можно рассматривать, что точки Р и Х', совпадают, иначе — что положение тела Р не изменилось от действия возмущающей силы, но по тело обладает в этой точке скоростью ры коей составляющие отличаются от составляющих скорости р" на величины и, В, у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
