Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 64
Текст из файла (страница 64)
'Хеорема 11 так что будет Из равенств (и) и [3) следует (3) Х: " = го:("о — т). (4) 1зо Вместо непрерывных пропорций теперь рассматриваются обыквоиевно геометрические прогрессии. Стоит тоське обоавачить общую величину отношений через в, будем иметь: В=АМ С=Вйо В=лбе. ЛУ вЂ” Ай» Ксан затем привять, что» изменяется ве скачками, а непрерывно, то йт будет иокаэатезьною »увкцией от». Эта оункция будет попрежнеиу обзадать тем же о«ноевым свойством, как и «зевы прогрессии, т. е. ее «рзэвостьз изи приращение пропорциовазьао самой «увкции. В дазьзейшем Ньютон пред«танкист показательную оувяцню в виде абсциссы изи оп«иваты тачки гнпербозы, в завяснмости от 1ыовгдди, ограниченной этой кривою и ее тимптотою.
Ясли тело гсспытывает сопротивление, ярсяорниокальгюе скорости, и по инерции двяжется в однообразной среде и если взять равные последовательные промежутки времени, то скорости в началеказкдою отдель нто промюгвутка образуют нюметрическую проэресскюг иространства же, тмюйденные в продолжение каждою промезкутка, будут пропорциональны скоросисям. Случай 1. Коли время подразделить иа равные промежутки и если бы в начале каждого промежутка сила сопротивления действовала бы мгяовеняым натиском, пропорциональным скорости, то уменьшение скорости для каждого промежутка было бы пропорциовялъно самой скорости. Следовательно, такие скорости (по лем.
1 кн. П), пропорциоязльные своим разностям, составляют геометрическую прогрессию. Поэтому, если из одинакового числа этих равных ивлых промежутков составить новые равяые промежутки времени, то скорости в начале этих новых промежутков будут относиться между собою, как те члены первоначвльиой геометрической прогрессии, которые будут в ней взяты скачками, пропуская соответственно по равному числу промежуточных членов.
Вместе с тем эти члены обра- зуют новую геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен соответственной, сообразно числу пропущенных членов, степени знаменатели первоначальной прогрессия, следовательно и скорости, пропорциональные этим взитым членам, находятся в геометрической прогрессии. Если вышеуказанные малые равные промежутки, на которые подразделено время. учепьшить, число же их увеличить до бесконечности, так чтобы действие сопротивления сделать непрерывным, то скорости, в начале равных конечных промежутков времени находивпшесн постоянно в непрерывной пропорции, останутсп К и в этом случае непрерывно пропорциональныии.
Случай Й Составив разностную пропорцию, т. е. пропорцию последовательных утрат скорости, получим, что эти утраты пропорциональны полным скоростим, но пройденные в отдельные промен1утки про<транства пропорциональнь1 потерям скорости (вредя. 1 рят. 1зо. кн.
11), а значит, и самой скорости. Следспвплс. Поэтому, если опгсать раввобочную гиперболу В6', имеющую взаимно перпещпкулярвые аснмптоты АС и СН, и провести АВ и РС перпендикулярно к асимптоте АС (фиг. 13б) и если начальную скорость тела, а также и сопротивление при начале движения, представить данною длинонз АС, скорость же и сопротивление по прошествии какого-либо времени — переменною длиною СР, то время представится площадью АВАР, пройденное же в продолжение этого времени пространство — длиною АР. Ибо, если эта площадь при движении точки Р будет возрастать равномерно подобно времени, то длина РС будет убьаать в геометрической прогрессии подобно скорости; н том же отношенив убывают и части прямой АС, описываемые в равные времена.'"' ЗЗО Напнаав ураввенве П) прнвечання 128 в виде Ле т — = — ат пп н положив полутаев по ннтетрнроваввн: в=тот " — с о )1 -зат) ео и 18) Взяв на чертеже (1Зб) точку Л за яатало кооряпват, пряную ЛС за ооь ", н пряную ЛВ .за ооь Ч в обозначая ЛВ= 1; ЛС= о Предложение Н1.
Задача 1 получим уравпевие гиперболы ВО: од о — ( площадь ЯВОЮ этой гиперболы будет о Я = аь )ой — г. о — г Откуда л 4 = о (1 — е "') . (а) Сличал оормулу (4) с чориулою (3), видно, что стоит только брать ео — =и! и о=— оь и то будет На осповавви же оориулы (2) оудет е — =- — — = ЮО и т. е.
если брать площадь Б пропорциовальпо времеви, то длпва ЮС будет пропорциоиальпа величмве скорости и длииа (Ю вЂ” пройдевиому оростращтау. Ояуьбдслмень движение жела, движрщсиюя яод дсйсщвисм нос!молнией си юь ньяжести терямолинсйно вверх или вниз в однообралиой среде, соярояанвляющвйся яропоугмиояально сиоросяья. Когда тело движется вверх, пусть сача тяжести представляется данным прямоугольником ВАНН, сопротивление среды при начале движении вверх †прямоугольник ВАКХ, взятым по другую сторону прямой $В(оиг. 136). Через точку В проводится равнобочная гипербола, имеющая своими асимптотами взаимно перпендикулярные врямые АС р и (УН, пересекающая перпевдикуляры Х)Х и Ис и (т и р. Тело при я ', у ' восходя!нем движев!.и в течение > времеви Эбдд опишет пространство й Х(тве, во время РВА — полну!о ф .
узе. ньноту подъема Х(тВ; во время ЛВК1 опишет вниз пространство ВЕК, во время КЛе — вниз пространство Кг(ьь Пропорциональная сопротпвлевию среды скорость будет в соответствующие моменты: АВЕН, — 315— АВед, нуль, АВВЕ, АЗУ; наконец, наибольшая скорость, которую тело при своем падении может достичь, будет ВАСН. Кслп прнмоугольпик ВАСН подразделить на бесчисленное множество прямоугольников Ай, К1, Ьт, Мм и т. д. (фиг. 137), которые были бы пропорпиопальны приращениям скорости в соответствующие равные промежутки времени, то площади: О, Ай, А1, Аж, Ап и т. д. — будут пропорциональны полным скоростнм, а значит, по предположепикь и сопротивлению среды в начале сказанных равных промежутков времени; поэтому отношение АС к АК или АВНС к.4ВйК будет равно отношению силы тнжести к сопротивлению при начале второго промежутка времени; по отнятии сонйотивлениа от силы тяжести будут оставатьсн илонлади АВНС, КУНС, В1НС, МтНС и т.
д., пропорциональные тем силам. которые действуют на тело н начале последующих промежутков времеви, следовательно (по .в П закону) эти плошади пропорпиональвы прпращепипп скорости, т. е. ,Р С прямоугольникам Ай, К1, Елп, Ма ит. д.; поэтому (лем. 1кв. П) ови образун т геометрическую прогрессию. Вследствие этого, если зримые Кй, И, Мж, Ла и т. д. по продолжении пересекают гиперболу в у, г, л, 1,..., то площади .4ВуК, КугЕо Е гзМ, М4Х и т.
д, будут между собою равны и, значит, пропорпповальпы как равным промежуткам времени, так и постоянной силе тяжести. По площадь АВуК(след. о лем. ЧП и лем. Ч1П кн.1) отно- 1 1 сится к плошади Вйу, как Ку к — Йу, т. е. как 4Ск — АК, т. е. как сила тяжести к сопротивлению посредвне первого промежутка времени; на основании такого же рассуждения видно. что площади уКЪг, гВМз, лИХ1 и т. д. относятся к влощадпм уИг, г~жз, зжпл п т. д., как сила тпжести к сопротивлению посредине второго, третьего, четвертого и т.
д. промежутка времени. А так как равные площади ВАХо, уК1л, гЕМз, зМЖ и т. д. пропорппональны силе тяжести, то площади Ву1, уйлг, г1жз, вап8 и т. д. будут пропорциональны сопротивлениям в моменты посредине последовательных промежутков времеви, т. е. (по предположению) пропорциональны скорости, а значит, в пройденным пространствам.
Суммы этих пропорциональных величин будут также между собою пропорциональны, т. е. площади Вйй, В)т, Вжз, Вяз и т. д. — полному пройденному пространству, площади же АВйК. АВгХ, АВзМ, АВ)Ж вЂ” времени. Следовательно, тело при .падении в продолжение какого-либо времени АВг1 пройдет пространство Вьг и в продолжение времени Хгьлч †пространст гЫ.
Подобным же образом доказывается и восходящее движение. Следсяниле 1. Следовательно, наибольшая скорость, которую может достигнуть тело при падении, так относится и скорости, достигнутой к концу какого-либо задзяного промежутка времени, как постоянная сила тяжегти, действующая на тело, относится к силе сопротивления, действующей в конце этого промежутка времени. Слсдсжвгсе 2. Когда время возрастает в ариюметяческой прогрессии, то сумма упомянутых в следствии 2 скОросгей нри движении вверх и разность их нри движении вниз убывают в прогрессии геометрической.
Слебсидие 3. Пространства, описываемые в равные промежутки времеяи, убывают в той же геометряческой прогрессии. Следсигвие 4. Пространство, описанное телом, есть разность двух пространствв, яз коих одно пропорционально времени, протекшему от начала падения, второе же пропорционально скорости, так что при начале падения они между собою равны."' гзг Привяв точку Р (еиг. 138) ва вачаю координат, пряную РС за ось с, пряную РВ за ось 11 н полагая РЛ=Ь. ЯС=а; Рс=я-+-Ь=с; ЛВб=а получив уравнение гиперболы Одп: ал 11 Плоюдкь ее Рб)дд будет е Я = ау 1оз — ж, с — г, в с — ь = се Ы С другой стороны, вапрйявы ось л вертикально вверх и обозначая через д — ускорение силы тяжести, для движевяя тяжелого тела вверх кисеи уравнение гй) и начальное условиег при 1 =едалжво быть с=ее, л=о, тогда, полагая виген жд-ю-йе=(ждч-йео)е ~~1 — 317— Предложение П'.
Задаю И Вредяатасвя, что сила пзяжестм в какой-либо среде яос)яояииа и иаяров,сека яеряеисяскулярко к и()ялзоияшлмягм млоскости, окределыпса дщсжемие брожеимою в в!моя среде жела, мримммая соярояьмвлемие ее ярояропормиопалаиым смерос!ям. Пусть из места Л(овг. 138) брошено тело по направлению прямой ЭР, причем длина ЛР представляет и начальную его скорость. Из точки Р на горизонтальную прямую ЭС опускается перпендикуляр РС, и ЭС рассекается точкою А так, чтобы ЛА относилось к АС, как сопротивление, происходящее при начале от движения по высоте, к силе тяжести, иначе, что то же самое, чтобы отношение ЛА ° ЛР к АС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
