Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 66
Текст из файла (страница 66)
АЗ было равно упомянутому отношению силы тяжести к сопротивлению, то положение точки А будет известно, н значит, кривая З«аР определится. Сседстщле 5. Наоборот, когда нзвестна кривая ЗгаР, то может быть определено н сопротивление среды и скорость тела в отдельных точках «. СР ° АС Ибо по известному отношению найдется как сопротивление среды при начале, так и параметр параболы, а следовательно, и начальная скорость. Затем по известной длине касательной «Ь найдется и пропорциональная ей скорость в точке «и пропорннональное этой скорости сопротивлевие. Следстэые 6.
Так как длина 2ЗР относится к параметру параболы, как сила тяжести к сопротнвлевкю в точке З, и при увеличении скороств сопротивление возрастает в таком же отношении, как и скорость, тж Прин ~мая на время касательную ВР в начальной точке за оса к и проходящую через точку В отвесную лмнию за ось у и обозначая поврежнему начальную скорость через ее, получим уравнения движения тяжелого тель в пустоте: 1 и=воз; у= — рэз 2 атедсвателаво уравнение описываемой нм параболы еств тзк что параметр й этой параболы, относящийся к нержине В, есть Но ва еиг.
138, как указано в прнмечавии 132, ВР= — ° со= эео р значит 2ВР юр вес тела й йсо сопротнвление при начале — 324— параметр же — как квадрат скорости, то длина 2ЗР будет возрастать пропорционально скорости и, значит, ве зависит от угла СЗР и не изиеияется при изиевеввях его, а лвшь при изиевевви скорости. Слсдсзппке У. Отсюда вытекает способ приближенного определения кривой ЗгаР из опыта, аследовательво, нахождение сопротивлевия и скорости, с которою тело брошево.
Следует бросить два раввых и подобвых тела из точки З (оиг. 139) под разными углами СЗР и СЗр и заметить места Р и у их падения иа горизовтальвую плоскость СЗ; ваяв затеи какую-либо длину за ЗР или Зр, надо принять, что сопротивлевие в З находится в каком-либо отяошевии к силе тяжести; пусть длива ЯМ представляет это отвошевие.
После этого по привитой величипе ЗР вычислением иаходятся дхивы ЗР и Зу, и из вайдевного по вычислсвию отношения— ру Э1 вычитается то же отвошевие, иаи денное по опыту, и разность их Фиг. 1зр. представляется ордиватою МЖ. То же самое делается вторично и в третий раз, прививая постояввс новые значения за величину отвошевия тяжести к сопротивлению выводя новые звачевия разности Млтт. Положительные разности откладываются при этом по одну сторону прямой ЯМ, отрицательвые —. по другую, через точки Х, хтг, Х,... проводится правильвая кривая лОгХ, пересекающая прямую ЯМММ в Х; тогда ЯХ и представит величину отяошеяия сопротивления к тяжести, которое и требовалось определять.
По этому отношению выводится при поиощи вычисления длина ЗР'. Двина, тэк относящаяся к принятой ЗР, как длива ЗР, найденная из опыта, к длине ЗГ, определеввой по расчету, и будет истиввой величиною ЗР. После того как эта величива вайдева, получится как кривая Згалг, описываеиая телок, так и его скорость и сопротивление в отдельных ее точкахлж гю В атом следствии Ньютон описывает прием граеичсского решения сложного уравнения, которое он ве находит нужным даже и составлять; к таяому граеическому приему ен ярибегант и в других местах своих еНачелв.
Сопоставляя скаканное здесь с поучением — З2б— п<жчкним Впрочем, предположение, что сопротивление пропорционально скорости, более математичег кое, нежели соответствующее природе. В срединах, совершенно лишенных твердо<ггп, г;опротивлении телам пропорциональны квадратам скорости, ибо дс! ствпеи более быстро движущегося тела тому же количеству средь! во время, но столько раз меньшее, во <колько скорость больше, сообщаетги но столько же раз большее количество дви!ксвпя; сле,1оватольно, в равные вр< мена, вследствие большего количества возиущаемой сре,1ы, сообщчтсз количество дви!кении, пропорциональное квадрату скорости, сопротивление же (по П и Н1 законам дпзженви) пропорционально сообщаемому коли'ич:тву двии<ения.
Поэтому рассмотрим, какие происходят дени<енин прп таком законе сопротивлении. ОТДЕЛ П О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ ПРИ СОПРОТИВЛЕНИИ, НРОПОР11ИОНАЛЬНОИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ СКОРОСТИ Пре<1ложемие Т. Теорема 1П .Если тело, глсниягывая сопротивление, пропорциональное квадрату скорости, движептся по мнернии в однородной среде и вгян!и возрася!аюи<ме в геометрической т<ротрессии промежутки времени, то скорости в начале каждою промежупта соспювят и!акую же, но убываютгую прогрессию, пройденные же в продолжен<ле каждто промежутка тгространства буду!я между собою равиь<.
Тзк как сопротивление пропорционально квадрату скорости, уменьшение же скорости пропорционально сопротивлению, то при подразделении времени на бесчисменное множество равных кроме!кутков, квадраты скорости и начале каждого из этл<х промежутков будут пропорциональны разностям самих скоростей. Пусть сказанпыо весьма малые промежутки времени представлиютси отрезками АК, КУю АМ и т. д. (юиг. 140), откладываемыми на примой <'Э, и пусть проведены ординаты .4В, Кй, л.1, в конце отдела 71 кянгн 1, а хакас с предюжевясм ХЬЛ кнвгн 111, нетрудно видеть, что получевне коряя с любою степенью точнгстк выполнялось 1!ьютоном по тону способу, который н теперь носат его кмя.
Заметим также, что Ньютон считает очевидным. что если частные знаюння непрерывной оункцнн прк двух частных зваченнях переменной независимой имеют равные знаки, то зта ьункцнп врн некотором нрокежуючном частном зваченнн переменной обращается н нуль. Мж,... точек В, й, 1, ж,... гиперболы Вй1ж0, нмеюгцей своими аснмпто- тамя СХХ н СВ и центром точку С, тогда будет АЗ:ЛЪ= СК:СА, (АЗ вЂ” Кй): Кй = АК: СА значит аледовательно (А — К1л1: АК= Кй; СА = АВ ° К1;: АВ ° СА.
ззз За«то ноа еловом «нротрос«ннл Ньютон разум«от «закон измонн«монти«н<юбщо. Но так как АК задано и произведение АВ ° СА постоянное, то А — Кй пропорционально кпонзведению АВ ° Кй, т. е. в пределе, когда точки Л и К совпадают, пропорционально АЛ'. На оспованин подобного жс рассуждения, Кй — Х1, Х1 —.ХХлн н т. д. будут пропорциональны Коз, ХР и т, д.
Такнм образом разности длин АЛ, Кй, Х1, Мж н т. д. пропорциональны квадратам этих длин, а так как н разностц скорое гей также пропорциональны квадратам самих скоростей, то длн обеих велвчнн прогрессия '-' одинакова, из чего следует, что и площадн« оппсываемые сказанными длинами, находятся в прогрессии, подобной с про- 1- у странствамн, нроходимымн вледствнр :т.
упомянутьбх скоростей. Поэтому, есы скорость в начале первого промежутка +нн, ИО. времени АК представить длиною АЛ, скорость в начале второго КХ вЂ длин Кй н пространство, пройдевоое в течение первого промежутка,— площадью АК1 З, то все последующие скорости представятся последующими длинами Х1, Мж,... н пройденные пространства — площадямп К1, Хна н т. д. Сложнн, получим, что если полное протекшее время представляется суммою АМ частных его промеокуткое, то полное пройденное пространство представится полною площадью АМпгВ, составляющею сумму частных площадок. Вообрази теперь, что время АМ подразделено на промежутки АК, КХ, ХМ н р. д.
так, что СА, СК, СХ СМ н т. д. образуют геометрическую прогрессию, тогда н эти промежутке состмат такую же прогрессию, скорости АЗ, К1«, Х1, Мж н т. д. составят гзз Предполагая, что движение прозсходит по оси и и обозначая через ю — пассу двине жушегося тела, через е = — — его скорость, через Й вЂ” козеииниевт сопротввзения и яз через сь — начальную скорость, ииееи уравнение двнженн» откуда позагав езедует 1 1 — — — = ис. со Приникая натив 14О точку Я аа начало иоордиват, прикую АВ за ось Е и прнную яВ за ось ч и обозначая возучзи уравненяе гипербозы Вууюба аЛ 11 = о -Е атвуда 1 1 1 — — — = — ° Е.
чо (з) уравнения (2) и (3) нокззывают, что Есаи брать 1 — ( =из оЛ во=со=1 то будет Из уравнения (2) сзедует со бс — — бя иоое + 1 атвуда ииееи 1оз (иоо С -+ 1) = в т. тогда такую же обратную прогрессию, пройденные же пространства Ай, Х(, Ьзв будут между собою равны.
Следствие 1. Отсюда следует, что если время представить отрезком АЭ асимптоты и начальную скорость ординатою АВ, то скорость в конце этого времеви представится ордннатою ЭС, пройденное же пространство— прилегающею к ним гиперболическою площадью АВСВ; вместе с тем пространство, описываемое телом в то же время пря движении с начальною скоростью АВ в среде весопротивляющсися, представляется прямоугольником В АВ. Сесдснппзс В. Поэтому пространство, проходимое в сопротивляющейся среде, опр деляется взяв его к пространству, которое тело прошло бы с постоянною скоростью АВ в среде несопротивля1о1цейся, в отвошенви пи гиперболической площади АВСЭ к прямоугольнику АВ ° АЭ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
