Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 67
Текст из файла (страница 67)
— 328— С другой стороны, площадь и =-. АлуСР выражается оормулою Я Е вЂ” =)ои( -+. (). (б) Сопоставляя зту оормулу с оармулою (4), видим, что сали брать г =апас! =апд! то будет и еиу Обозначим через А — площадь прямоугольника АР ° АР; таь как АВ=) =ео и АР=-3=слил! А = оо аялз; с другой атаровой пространство й, проходимое в продолжение времени ! при равномерном движении со акоростью еа, равно еа е, значит н следовательно, а:й=. и: ), т.
е. «огда простраяство я, проходимое в сопротивляющейся среде, изображается площадью Н, то в среде весопрстивляющейся, ири той же яачлльной скорости в та жс ирена, было бы пройдено пространство, иаоорзжаеиое площадью А. Следсупвмс 3.
Сопротивление среды определяется полагая, что прк начале движенвг оно равно такой постоянной центростремительной силе, которая могла бы сообщить падающему в среде без сопротивления телу в продолжение времени АС скорость АВ. Ибо, если провести касательную ВТ к гиперболе в точке В, то отрезок АТ асимптоты будет равен АС и представит время, в течение которого постоянное сопротивление, равное начальному, может уничтожить скорость АВ, Следсппплс 4. Таким образом может бь4ть определено отношение силы сопротивления к силе тяжести или к какой-либо иной заданной центростремительной силе. Слсдспзп44с б.
Обратно, если известно отношение сопротивления к какой-либо заданной центростремительной с4ьте, то определяется время АС, в продолжоние которого зта центростремительная сила моясет произвести заданную скорость АВ; следовательно будет известна точка В, через которую должна проходить гипербола, имеющая асимптоты СН и СЭ, значит найдется и пространство АВб!Э, проходимое в среде с таким сопротивлением в продолжение времени АЭ телом, начинающим свое движение со скоростью АВ.
11редлотеиие У1. 'Реореиа 1% Равные и однородные жары, встречающие саяротивление, нроиорииональное квадуату скорости, н дв нбущиеся лижь но инсриии, описывают в нуодо,юкенссе т(ромеасутдсов времени, обратно пронорниона ьныи ни начальным скоростян, равные нро- стра!!со(ва и теряют уавньсе долго оси нолныт, своим скоростей, Пуст начальные скорости арес(- ставляютсв ординатами АВ, Лу) (о иг. 141), времена — абсписсами Аа, Р(( точек В, Ь, Ь; е какой-либо гипер- болы '"' В6В(с, имеюп(ей взаимно кор- пепдикулврвые асимптоты СР, Со. Так как по предположению Аа: Р4 = РЕ: АВ, Фиг. !11. по свойству же гиперболы РК: АВ = СА: РС, 1 1 1 1 — — — =нС и — — — =нг (1) "о причем, так как,шары равны между собою по размерам и и( массе н движутсн в той н е самой среде, «сличнна л длн обоих едва и та же. Уравнения (!) можно написать так( ро — У вЂ” — — =ву"ос 1' оо — о —,— = "го С о (в) понтону.
сслн выть яроншкутнн врсиспи Сд и С„так, чтобы было ! — оЬ т. е. обратно пропорциональные начальным скоростли, то будет ое -- " !'о — !' н У т. е. утраты скорости в продолжение стих промежутков будут пропорциоиальяы скоростям, остающимся и концу нх. пройденные иространсч на и и Х, по уравнению примечания 137, выражаютсл оормулзми (б] в=(об(нсос-+-1) и Х=1об(нУоС.+.!! ОЧЕВИДНО, ЧтО К КОНЦУ ПРОМЕжУтКОВ ВРЕМЕНИ С! П Сл, О6РатНО ПРОПОРЦИОиаЛЬНЫХ Се И Со, Э(Н пространства между собою равны.
(н 'гак кзк но условию теоремы оба (пара равны и одннтовой кассы и депжуыя в той же самой среде, *о длн них «еличииа и (см. прим. !86) одна и ча же, следовательно, длн предо(авлсяия их движения может служить та же самая гипербола. Обоамачим чер(з (е н У( — начальные отрости шаров и через о я У вЂ” их скорости по прон(естнли вр неви С. Па основании ураниеиип (2) приискания 137 будем иметь то будет (СА.г-лза):(СЗ-ь-ЗИ)= Са: СЫ=СА:СЗ=ЗЛ: льЩ вледовательво площади .4Воа и РЖс4, т. е.
пройдеввые пространства, равны между собою и начальные скорости АВ и ЗЕ пропорпиовальвы оковчатсльвым ад, дсь а следовательно, и их потерянным частям лг — ао и З.Š— 4в. Нредяожеиие Чьл. 'деорема Т Шаровые толп, иска тыввюнькс сонуотивлсннс, крокоуцкональнос квадрап у скььроспыь, ктраьь, вагот в кромсжуткп времена, прямо пр:коркаоььальныс начальнььм количествам дьпьжсгьгья а обракьно нрокорцгьопкьльные гньчальным всличанам сопротквлсякя, ровные дола своих начальных ьолачсств движсния а окисывапьпь кростраксгпва, пр»кьрцкональныс этам крсмсжугььквм вусмена а начальным скоростям.
Утрачиваемые части количества движения пропорциональны сопротизлевию в времени; чтобы этп части были пропорциопаььпы своим целым, пропзведевие сопротивлевия на время должпо быть пропорциовальво количеству движения, значит время прямо пропорционально количеству дввжепия и обратно вропарциопальво сопротивлению. Поэтому, если брать весьма малые последовательные промежутки времен.:, вэходящиеся в таком отяошевии, то тела будут утрачивать одпваковые доли своих полных количеств движевия в продолжение каждого такого ььромежутььэ, следовательпо будут обладать остающимися скоростями, составляюпшми одинаковые доли от вачальвых их скоростей; так как отношение скоростей после этого будет оставаться постокввым, то описываемые простравства будут пропорциовальвы вачальвым скоростям и времени.
Сгсдстьас 1. Коли сопротивления, испытываемые телами при раввых скоростях, пропорцповальвв| квадратам диаметров, то шары одной и той же плотвоств, двигаясь с какими угодно скоростями при прохождевии простравств, пропорциовальвых своим диаметрам, утрачивают одинаковые доли своего начального количества движевпя. Ибо количептво движевия какого- либо шара пропорциопальио его скорости и массе, т. е. скорости и кубу диаметра, по предположевию же сопротивление пропорциовальво квадрату диаметра и скорости; ва освовавии доказапвой теоремы время пропорциовальио количеству движевпя и обратно пропорционально сопротивлению, т. е.
ово прямо пропорциовальво диаметру и обратво пропорциовальво скорости, поэтому простравство, которое пропорционально скорости и времеви, пропорционально диаметру. Следствие я. Если тела при равных скоростях испытывают сопротивления, находящиеся в полукубическом отношеввв диаметров, то шары одной и той же плотноста при движеаии с какими угодно скоростлми утра~авают одинаковые доли своего начального количества движения при прохождении пространств, находящихся в полукубическом же отношении диаметров.
Следсяиае 3. Вообще, если тела при разных скоростях испытывают «опротивлевия, пропорциональные какой-либо степеви и диаметров, то пространства, при прохождении которых шары одной и той же плотности, двигаясь с любыми скоростями, утрачивают одинаковые доли своих полных количеств двнжеаия, будут пропорциональны степени 3 — и дваметров. Пусть дааметры суть Э и Ь" и сопротивлеввл, когда скорости равны, пропорциональны Зк и .Е", — пространства, при прохождевви коих шары, двигающнесл с какими угодно скоростямн, утрачивают одинаковые доли своих полных количеств движения, пропорциоаап.ны дг "и .Р "; таким образем шары одной и той же плотности, пройдя пространства, относящиеся как Зз " н Ез ", будут обладать скоростями, находящимися в таком же отношении, как и при начале движения. Следствие 4. Если же шары не одной а тон же плотности, то проотранство, проходимое шаром более плотным, надо увеличить в отношении плотностей, ибо количества движения при одинаковых скоростях пропорциональны плотностям, поэтому время, по доказанной теореме, возрастет пропорционально количеству движения, прощенное же пространство— пропорционально времени.
Следствие б. Когда шары движутся в различных средах, то пространство для среды более сопротивляющейся должно быть уменьшено пропорционально этому большему сопротивлеюпо; по доказанной теореме время уменьшится в этом же отношении и пространство уменьшится пропорционально времени. Левал П Момент произведения равен сумме моментов отделен«эх иро вводи«лелей, умнохоеннз«х на показатели их степеней и коэффиииенти. Я называю «произведениемо вообще всякое количество, которое в-арифметике происходит от умножеаия, деления и извлечевил корней из отдельных его сомножителей, в геометрии же оно образуетсл нахождением объемов, площадей, сторон, крайних и средних пропорциональных, не делая сложения и вычитания.
К такого рода количествам относятся: произведения, частные, корни, прпмоугольвикп, квадраты, кубы, стороны квадратов и кубов и т, и. Я рассматриваю здесь эти колнчестна как неопределенные и измепяюи1иесп и как бы возрастающие и убывающие от постоянного движения пли течения, и ьх мгновенные прпрап1епия плп уменьшения разумею под >ловом момсищм, так что приращении почитаются за положительные илн прибавляемыс момен кы, у пеньи>евин — за вычитаемые или за отрнц >тельные. По озаботьсп, чтобы пе принимать за таковые конечных частиц. Конечные частицы пе суть моменты, но сами суть количества, нз моментов происходящие. Надо подразумевать, что это суть лишь едва-едва зарождающиесн начала конечных величин.
Поэсому в этой лен.'е никогда н пе рассматриваются велкчппы моментов, по лишь их начальные отношепж>. То же самое получитск, если вместо моментов брать или скорости увеличений, плн уменьшений [которые поэтому можно называть движенинмн, нзменевщ>мн или патоками 1флюксиямн) колпчеств1, нлп >ке какие угодно конечные количества, этим скоростям пропорциональные. Коэффициент же при какой-либо переменной есть количество, получаемое от разделения произведения на эту переменную. Таьпм образом смысл леммы тот, тго если моменты каких-либо возрастающих или убывающих непрерывным течением количеств А, В, С и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
