Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 70
Текст из файла (страница 70)
е. относятся между собою, как квадраты бесковечно малых промежутков 2" и ~, позтову будет 3 8 . /Л~ЭЯа ~з т 7 В В 344— Подставляя эту величину, а также и вышенайденные аначения Юлу, Ш, М,Ти ЖТ, получим Х НТ 2 () 2М,Т УТ 3 Я а так как 2%Тяж 2Впз, то отношение силы сопротивления к силе тяжести будет"* 3 Ь' ЗЯ 2 Л зД гн)з. 2)эпз . )/1 е дэ 4лс"" 1ю Легревж уделяет в своей «тйек!е без РопеЭ)оно Аэз)уяйпез» всю 17 главу третьей чэсгв евьлнтнческому решевяю этой зэхэчв, подробно разбирая ошибку, которьк была сделене Ньпповом в первом нздеввв еНлчьзо.
Хотя решевве, деваеное Ньютовох, н сушностя также кньлвтнческое н взложево весмиько подробно, что ве предстезюют вака ~нх трудностей, во мы првнеден я легренжеоо решевке, ззметяв врелвеонтельно, что если урлввевве трэекторвн зелено в виде л =Т(н), то незнчвнь З: У =Г(н -ь н) т. е. ПЛ=Г(н) -'Г(я)- —,", -Г (я)--1,";Г-(я) " сзсдовэтельно будет: Р=Г( Ь 0= — Г(н)) В= — 2Г(нй и= — бГ"(~)" ° 1, 1 Вместо буквы е у Ньютоне вепнсзвэ в льтнвском вздшвв еНечьз» бухее о; неудобство этой буквы в оорнулех зестэнвло зьмевнть ее олесь через е. Обозвечвв через Х вЂ” сяеу сопротнвзеввя, которое по предноложевню пропорцвовелько В квадрату скоростн стен, что В=доз; пусть мессе точкн резне ю; поюжвв — =ж буден вкось уреввеввя двнжеввя: л" = — д — йл', но = — йн'.
Урзввевне треокторвв =Г(н) (и) Дпоееревцнруя по времевв уревнеявя (1) одна рьз я урзввенве (2) трв рэзэ, получша л" = — йс" — д' л'; н"' = — йя" — и' й" л' = ьгГ (я); л" = ю" Г (и) -о- я'эГ'(н) ле'=вюГ(н) .а 'я"Г'(я)- Г"(я) мэ нкпс пьюжшч для креткоств пясыы, Г(н) =л' Г'(н)=В1 (а) (4) будем нпеж; с'=Лн', "=Лн"- В э1 л" = Ля"'-ю- ЗВя' м" -+. Снт ) (й) тюшм образом янгом сень урьэвевнй, е вмеввм две урлввенвя (1), две уревневвя (3) в трн уреввеввя (б). Исключяе вз зткх урэвненвй велвчнвы лг', яэ, нэ~, сг, Ф, ло', получвм одно урэвневне, свяаывэюшее вешнесмсую й, ь звэчвт, в Х с я, В в С.
— 345— Скорость же тела такова, что выходя с зтою скоростью из какой-либо точки Н по ваправлевию касательной НН, око могло бы, двигаясь в пустоте, описывать параболу, коей диаметр есть НС и соответствующий параметр Н1Дт 1 +. (Зз ЖТ Л Сопротивление же пропорциовальво плотвостя среды в квадрату скорости, поэтому плотность среды прямо пропорциовальпа сопротивлевию и обратно пропорцповальва квадрату скорости, т.
е. пропорциовальва отвотевию 38 г — — 1 -+- Я~ 4Лз ' В ч 1 -е- ф:— или, что то же, Нзедстуме 1. Если касательвую НМ продолжить, пока ова пересечет какую-либо ордввату 4г' в точке Т, то будет НХ )1 1 -+- (уе = —, л(С что и можно подставвть в предыдущие еормулы, после чего окажется, что сопротввлевие отвосвтся к силе тяжести, как ЗЯ НТ:4льз л4С, что НХ скорость пропорциовальва и что плотность среды пропорциональна л(С ЧЛ Я ° л(С дь ° НХ ' Это исключение выполняется так: из уравнений (1) и (3), на освоваяяз первых двух уравненвй (6), иаходии и'з = — — и а"' = а'(дз — д').
у В (й) Тогда последнее из уравнений (6), в связи с первыи из уравиеняй [3), дает д (у -ь Мда') — аал д' = Л а' (дз — д') -о- ЗВа'т д .с- Сам — йуд = ~а' ж В юлс' т'1 -+-льз слеыюательно р' С ъг1 льят юу йпз При вьютововов ойозначевви: а= — В В= — 2В в С= — 68. так что оориула (7] в есть та саная, которая дава в тексте. Сеедсрвеие л. Таким образом, если крввая л'гНсе будет задана, как обыкновенно, уравнением, связывающим абсциссу аС и ординату СН, то по разложенви выражения ординаты в сходящийся ряд легко получить решение задачи по первым членам этого рида подобно тому, как в следующих примерах. Нрнлсен 1.
Пусть кривая РЯБ есть полукруг, описанный на диаметре РЧ, требуется определить плотность среды так, чтобы она заставила бы брошенное тело двигаться по этой правой. Разделим диаметр РЯ пополам в точке а, и пусть будет: АД=в, чС=а, СН=е, СЛ = а, тогда ЗУР =.ьЯР— лцзр = рР— а' — 2аа — а' = е' — 2аа — а'. По извлечении по нашему способу корня, получим а 1 р ар а ар Ш= е — — а — — а' — — и' — — а' — — ар — и т. д., е 2е 2еР 2ес 2ес заменив е'-с-а' через ир, имеем р а ар акр Зу= е — — а — — а — — а' — и т. д. е 2 ее 2е' В рядах такого рода н распределяю члены следующим образом: первым членом я называю тот, который не содержит бесконечно малой а, вторым — тот, где эта величина входит в первой степенв, третьим — тот, где она во второй степени, четвертым — где она в третьей и т. д. до бесконечности.
Первый член, который в этом примере есть е, всегда представляет длину ординаты СН, проведенной через начало веопределенного ксличеасс с тва а. Второй член, который здесь равен —, представляет разностьмежду СН и срлрр т. е. отреэочек р1ГЛ, получаемый дополнением параллелограмма НСПМ, им определяется положение касательной Нрр', так, для этого при- ЯК мера, взяв отношение —, имеем МХ аа а НМ е' е' асар Третий член, равный здесь —,, представляет отреэочек УХ, лежапщй между касательной и кривой; этот член определяет угол касания,УНср', иваче — кривизну кривой в точке Н. Когда этот отрезочек,УЖ вЂ” конечной величины,'" то ов представляется третьим члеяом вместе с суммою всех прочих до бесковечвосги, во когда этот отрезочек умевьшается до бескомечвости, то все члены, следующие за третьим, становятся бесковечво иевыпе третьего, в поэтому ими можно пренебречь.
Четвертый член определяет измевяемость кривизны, пятый — изменяемость этой измевяемости, и так же продолжается далее. Отсюда ясно немаловажное примевевие этвх рядов при решевив задач, зависящих от касательных и кривизвы крввых. Сопоставляя ряд а мз аиз е — — а — — и — — из и т.
д. з е 2ез 2 ел с рядом Р— Дн — Лаз — 8к' и т. д., з 2ез ' 2ез и 9= —, следовательно, о*=~/ гоз Пои словами.аотрсзочеи .Тгг нонечвоо всзичиньгз (Люгае еаз юакиггнэвна) нано разуметь, что величина «в рассматриваемого раз«он;енин ионечназ, кроме того, что у«ов) не равно нулнь а и получится: что плотность среды должна бьзчь пропорциовальва —, т. е. ие ' и АС вЂ”, ибоя есть величина постоянная, иначе — отвошевию —, т.
е. длиие Нл" того отрезка касательной в точке Н, который завлючев между этою точкою и диаметром Аг", перпеядикулярвьш к Уду, и что сопротивление относится к силе тяжести, как За: 2в, или, что то же, как ЗАС:Р9, скорость же будет пропорциональна )) СН.
Таким образом, если тело выходит с надлежащею скоростью из места Р по направлению прямой параллельвой Рф если плотность среды во всяком месте его кути пропорциональна дливе касэтельвой НТ и сопротивлевие относится к силе тяжести, как ЗАС: РЧ, то это тело опшпет четверть окружности РН9. Но если то же тело выйдет из точки Р по направлению прямой, пергевдикулярвой Р)'.), и начнет двигаться по дуге полукруга РЩ, то АС или а будет расположено по другую сторону от цевтрэ А, поэтому надо переменить знак и писать — а виесто а.
Прв таком условии получится, а что плотность среды пропорциональна — —, т. е. отрицательная, при которой движение тела должно бы ускоряться, чего природа не допускает, поэтому естественно не может быть такого движения, при котором тело описывало бы четверть круга РР, для зтого необходимо, чтобы среда, напирая, ускоряла бы движение тела, а не препятствовала бы ему своим сопротивлением. .Ырил4сР Я. Пусть кривая РЩ (Фиг. 145) — парабола, воен ось АР перпею~вкулярна к горизонту Рф требуется определить плотность среды, при которой брошенное тело могло бы двигаться по этой кривой.
По свойству параболы произведение РЭ.ЭЯ равно произведению ординаты Э,Т на некоторую постоянную длину, поэтому, если обозначить зту длину через Ь и положвть: Фаг. 145 РС= а, РЯ = с, СН= е, СЭ = а, то будет (а -4- а) 1с — а — а) = ас — аз — 2 па -+. са — а' = д ° Э,Т, и следовательно, ас — аг с — 2а а' Э.у= д -+. — и и значит, с — 2и 1 Ь Ь и — =Л и так как дальнейших членов нет, то козФФициент при четвертом члене Я Я= О, и поэтому количество, которому пропорциональна плот- 1- — — У ю ность среды, уничтожается; следовательно, брошенное тело движется по параболе в среде нулевой плотности, как это и доказано Га.гпиеелг.
Хфалгу 3. Пусть кривая А6Х (Фиг. 146) есть гипербола, коей асимптота ЖХ перпендикулярна к горизонтальной плоскости, и требуется определить плотность среды, при которой брошенное тело будет двигаться по атой кривой. Пусть МХ есть вторая асвмптота, пересекающая продолжение ординаты Э6 в точке )г. По свойству гиперболы произведение ХР' г 6 есть постоянное, а так как отношенве ЭЖк гХ также постоянное, то постоянно и произведение ЭЖ У'6. — 349— Тогда будет: У6 = —; УУ= — (а — а) ЖВ=а — а; 6Ю = ЖХ вЂ” УУ вЂ” Р6 = с — — а -+- — ив Я в а — а Ьо По разложении члева а — а в сходящийся ряд получится ж Ьт Вб=с — — а — — -+- в а т Ь' Ьэ -+- — а — — а — — аэ— в а' аэ Ьэ „з Я~ Второй член этого ряда ( ж Ь~д — — — ) а видо привять за9а в а~) 1 третий, взятый о обратным зваЬэ ком —, а", — за Вал, четвер- -".
тый также с обратным знаком —, а — за Ва', следовательно Ь' Ь2 —, в — и надо подставить вместо ф В, фиг. 146. Гю Ьэд их коэаыщиевты ~ — — — ~ ~ ~и вьl Я в предыдущую аормулу, тогда получится, что плотность среды пропорциовзльва Ьэ Ьэ ~$ дЗ еР вжЬ' Ьл а'-+. — а' — — -л-— и' и аэ Отложвв от точки Г по прямой 6Р дливу Рл'= 76, построим длину ХУ, которая и представляет звамеватель в предыдущей аормуле, ибо жг 2жЬ2 Ьл а' = ХЛэ и —, а' — — -+- —, = ЯХв.
Пусть это произведение равно Ьэ; дополвим параллелограмм ЭХА и положим: Вл1=а; ВЭ=и; ВХ=с и ВЗ~ в Влч=а; ВР=а; ЖХ=с, и пусть Ьс РУ:РМ=сЬ:е и У6 = тогда будет: РФ= а — а; У6 =; РУ= — (а — а) Ь' д (а — сс)" ' е сс дс 6Р = лчХ вЂ” %"Л' — У6 = с — — (а — а)— в (а — х)" Ь' По разложеивв члева „в ряд получится л)а Ьс сЬ яЬс а е а ч с а вс-си 6Р— с а д с 2а"'се еа'"се и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
