Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Скорость в точке 9 такая же, с которою тело шло бы в среде ве сопротивляющейся по обыквовеввой параболе, имеющей своею вершиною С, диаметром про- 202ч должеввую вниз прямую р6 и параметром „.; сопротивление же в точке б будет отиосится к силе тяжести, как ат 2 2 рь и — 2 Поетому, если ВАХ представляет горизоитальвую прямую и если, сохраняя плотность среды в точке А и скорость, с которою тело бросается, как бы то ви бьыо изменять угол.№И", то дливы АЫ, А,У, НХ останутся без изменения, и следовательво, найдется точка касания Х и положение прямой ХУ; прививая затем Фия 1лз. УС: 4У=Хрк; ХУ", можно определить все точки 0 параболической кривой, через которые проходит брошеввое тело.
ОТДЕЛ 1П О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ ПРИ СОПРОХИВЛЕННН, ЧАСТЬЮ ПРОПОРПИОНАЛБНОИ ПЕРВОИ СТЕПЕНИ СЕОРОСТН, ЧАСТЬЮ вЂ” ВТОРОЙ Предложемке Х1. 'Хеорема чШ Ясли тело, иоямтмвая сочютивление, чаотью пропорциональное еервоб степени скорости, насытю — второй, движется в однородной среде мо икоркам, и времена взяты в иртрессни арифметической, то количества, обравино ироисрмиональн~ге скорости, сложенные с некоторою поспюянною величиною, составят мроьреежю ьсомет1нлческую. Прв цевтре С и взаимво перпевдикулярвых асимптотах САВд и СЫ (миг.
149) описывается пшербола ВВе, и пусть .4В, ЭВ, Ые параллельвы асичптоте. На асимятоте СЗ задаются точки О и А; если представать. 1 величина —, по подобию ее убывавия, пропорциональна скорости. Если 1 же количество ОЗ, обратно пропорциональное, увеличить ва постоявмую величину Сб, то сумиа СЭ, прк раввомервом возраставив времеви АВРВ, будет возрастать в геометрической прогрессии "'. ты Уравнение движения в вхои случае кажет быть написано, нри саво собою понятных обозначениях, тан: бе фв — = — (Ьл е .+- Лз езр Лт 1!олатвя ал = жвт, ал = жив буден иметь Ио =ба иае +.влез йй время равномерно возрастающею гкперболиыескою площадью АВАР, то я утверждаю, что скорость может быть представлена длиною ЭГ, креи обратвая Ро, сложевваяс заданною С6, образуют длину СР, возрастающую в геометрвческой прогрессии.
В самом деле, пусть площадка ЭЖИ представляет постояввое весьма малое приращевие времеви, тогда Зсв будет обратно пропорциовальво РХ, 1 т. е. прямо пропорционально СЭ. Умевьшевие же — (по лем. П этой СЭ 1Ы СР СС-+. 6Э квиги), раввое, будет пропорциовальво — т. е. или 1 СΠ— -е- — . Следовательно, когда вре- (зЭ СЭ2 К мя АВЛЗ возрастает равномерно от присоедивевия постояввых частиц ЛРсзе, В 1 величина — убывает в таком же отво- ОЭ шевии, как и скорость, ибо умевьшевие скорости пропорциовзльво сопротивлевик1, которое по предположевию состоит из суммы двух членов †одво У пропорцио валье ого скорости, дру- Фвт.
149. гого — квадрату ее; умевьшевие з:е 1 1 ССт величины — пропорциовальво сумме количеств — и — з с вз вих ИЭ 6Э ИУ 1 СО 1 Первое есть само — с второе же „пропорционально —,„; поэтому — 358— Следствие 1. Следовательно, если при задзвных точках А и 6 вреия представляется гвпевболическою площадью АВЕР, то скорость предста- 1 внтся через —,„, обратную с 0Р. Следствие е. Беря отношение 0Р к 0А равным отношению начальной скорости к скорости по прошествии какого-либо времеви АВРЕ, найдем точку О, когда же она найдена, то найдется и скорость в конце любого заданного времени.
Предложение ХП. 'Реорема Х1 откуда сзедует л( — +. "з) =,ш нг '+ нз (з1 н, во нвтегрнрованвн, мг ( мг) (4) где через со обозначена скорость в момент 3= 0. Формула (4) в выражает высиазаннукз теорему. Ври тех же предположениях утверждаю: что если брата пройденные пространства в арифметической прогрести, то скорости, увеличенные на некоторую постоянную величину, составят прогрессию В геомеягрическую.
На асимптоте СР берется точка (Фвг. 150) В н восставляется перпендикуляр ВЯ, пересекающий гиперболу в точке Я; пусть пройденное пространство предстаб вляется гиперболическою плоФвг. 160. щадью ВЯЕР, тогда скорость будет пропорциональна такой длине 0Р, которая, будучи сложена с постоянною длиною С0, образует длину СР, убывающую в геометрпческой прогрессии, когда пространство ВЯЕО возрастает в арнФметической. Ибо, при постоянном приращении Е1Че пространства, отрезочек Рс(, представляющий уменьшение длвны 0Р, обратно пропорционален ЕР, следовательно прямо пропорционален СР, т. е.
сумме 6Р -+- 0С. — 359— По уиекьшевие скорости в продолжение каждого весьма малого промежутка времеви, обратно ей пропорциовальвого, в течение которого проходится постояввая частица РдлЕ пути, пропорционально сопротивлению и этому времени, т. е. это умевьшевие прямо пропорциовальво сумме двух величин, из коих одна пропорциовальва скорости, другая — квадрату ее, и обратво пропорцповальво скорости, следовательво это умевьшевие прямо пропорпковальво сумме двух количеств, из коих одно постоянное, другое пропорциовальиое скорости. "' Таким образом умевыпевие скорости и умевьшевие длины ВР следуют одинаковому закову, при одинаковом же законе своих уменьшений сами убывающие количества пропорциовальвы, т. е.
скорость и длина ОР. Следсепвие 1. Коли скорость представлять длиною ОР, то пройдеввое пространство будет пропорциовзльво гиперболвческой площади РОНЯВ. Следсжвие 9. Коли привять где бы то ви было точку В, то точка С получится, если взять 6В к 6Р в отношении начальной скорости к скорости после прохождевия какого-либо простравства ВЯЖР.
После того как точка 0 найдена, найдется и пройдеввое простравство по заданной скорости, и ваоборот. Следспмпсе 3. Так как (вредя. Х1) при задавив времеви ваходвтся скорость, по этому же предложению по зздаввой скорости находится пространство, то пространство зайдется п по заданному времени, и ваоборот. Предложемве ХШ. Теорема Х Предполашя, чжо тело, ноходяпоееся под дййствием силы тяжестями, направленной вниз, движется пуямо вверх или вниз и юпо оно исяытываема сопротивление, часовая пропорииональяое первой степени скорости, частью второй, я утвеуждаю: юяо если для курка или аиперболы провести чеува конем дипметуа прямую, параллельную диамежру, с пеувым сопряженному ив Зю рассумдевие раввосиаьво кому, когда мы, капиева раковские ш=— йк е получаем иа уравиевия (2) врвмечаиия 145 какое: озе =зх вас .+.
иа еа каи, по сокрапдевии, иге-вас=(в -ю-вако)е ыи "". — 360— н перпендикулярному ему, и представлять скорость омлревками эяизй прямой отп заданном на ней тонки, то времена будут предспьввляться площадями секторов, транесченных прямыми, проводимыми нз иентра к конном сказанных отрезков, и обратно. Случай 1. Положим сперва, что тело движется вверх; при центре Р (аиг. 151) каким-либо радиусом РВ описывается четверть круга ВЕТК и через конец диаметра В проводится неограниченная прямая ВАЕ', параллельная полудиаметру Р.Е На ней задается точка А, и берется отрезок АР, пропорциональный скорости.
Так как сопротивление частью пропорционально скорости, частью квадрату ее, то пусть полное сопротивление пропорционально АРт -с- 2ВА ° АЕ'. Проводятся прямые РА в РЕ', пересекающие круг в точках Е и Т; пусть сила тязкести представляется длиною РА*, т. е. что отношение силы тяжести к сопротивлению равно Фвг. 15п РА'. (АРе -+- 2ВА ° АР), тогда полное время движения вверх будет пропорционально площади кругового сектора ЕРТ. Пусть прямая РУ(е отсекает от скорости АЕ' ее приращение Хф и от сектора РЕТ вЂ” приращение РТР, соответствуюшие зздаяному приращевяю времеви. Это изменение скорости Рч будет пропорционально сумме сил тяжести РА' и сопротивления АР'-+- 2ВА ° АР, т.
е. пропорционально РР' (Эвкл. «Элем.в, кн. П, пр. 12). Поэтому площадь РР(), пропорциональная Р(е', пропорциональна и РР', площадь же РТР, относящаяся к площади РР9, как РТ'.РР', будет пропорциональна постоянной РТп. Следовательно, площадь ЕРТ, от отнятия частиц РТР постоянной величины, будет убывать равномерно, подобно будущему вреиени, поэтому эта площадь пропорциональна полному вреиени движения вверх.'" ла Направив ось л всртинальио вверх и полетав воеоеиниеит сопротивлении .Йл = Зжлл и йв — — жиа, где ж есть масса тела, будем иметь при движении вверх уравнение Ло — = — 1о+ Зиле-е-нет). лс = — 361— Лусть будет в,=а ° яв и р=Ьл ° яз тогда предьыущее уравнение напишем таю бо = — яз бс. (е — а)з -с- Ьл — аз Величина а у Выстояв предстыыена длиною Лв,и в дальнейше» он различает два случая: 1) когда дл — ал ш о и 2) когда ьз — аз ( О.
В перво» случае он берет Ь = Ш (оиг. 151) н, полагая В ув = сз = Ьл — аз строит круг ВЖ7Х, площадь сектора коего и будет пропорциональна временя. Действительно, уравнение (2) в знои случае будет бс = — илж Ф-+.(е-+ а)л из нсго следует агссй / ~ — агсьл — = сяз (т — 11 /с-+- а1 а с с (3) где через У обозначено време подъема до наивысшей точки, т. е. той, где скорость о=в. Зто время определяется из равенства со-с-а а асс ж — агссй — = сяз Х с с следующего из (3), если сделать с=с н с=со.
(4) Равенства (3) п (4) и предстанлеяы Ньютовом геометрически, причем вместо углов ов рассматривает пропорциональные и» площади секторов. Во втором случае Ньютон берет (оиг. 152) длину с = ВЮ так, чтобы было тогда уравнение(2) будет ле — — — -- = — «нбс (с .+- а)з — сл (2/) и вместо оормулы (3) будем иметь /о-+-ал /а1 еесс. (йьур1 — ) — сесе. сййур1 — ) =сиз (7' — 1] ~ l ри) т.
е. вместо круговых секторао — гиперболяческяе. Случай /г. Коли скорость прв движенви вверх представлять„как в раньше, длиною АР (еиг. 162), и принять сопротив (ение пропорциональным АРл-е- яВА АР, и если сила тяжести окажется меньше такой, которую люжно оы было представить длиною ЭР*, то надо взять длину ВЭ так, чтобы разность АВ* — ВЗ' была пропп)шиональва силе тяжести; пусть ЭЕ перпендикулярно и равно ВЭ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
