Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 73
Текст из файла (страница 73)
На осях ВЗ и ЭР описывается гипербола ЕТОЕ, имеющая своело вершиною точку У и пересекающая ЭА в Е, ЗР в Т и Э(б в Г,— полное время движения вверх будет пропорционально гиперболическому сектору ТЗЕ. — 362— Ибо умепыневие скорости РЯ, происходящее в продолжение заданного весьма малого промежутка времеви, пропорционально сумме сил — тяжести АВ' — ВЗ' и сопротивления АРэ-ь.2ВА ° А1', т. е. пропорционально ВРэ — ВЗ*. Но площадь ЗТг' относится к площади ЗРЯ, как ЗТ'. ЗРэ, поэтому, если на ЗР опустить перпендикуляр 6Т, то так ЗТ: ЗР = 6Т: ВЗ = 6З: ВР то ЗТч: ЗР' = 6Т'.
ВЗэ = (6З' — ЗР'): ВЗ' = 6З'. ВР' = =(6З вЂ” (6З вЂ” ЗР )~:(ВР* — ВЗэ) =З~'.(ВР* — ВЗ*) Так как площадь ЗРч' пропорциональна Уф, т. е. ВР' — ВЗ', то площадь ЗТ)г будет пропорциональна постоянной ЗР'. Следовательно, площадь ЕЗТ убывает равномерно, уиепьшаясь в продолжение каждого из весьма малых равных проиежутков времени на равные же весьма малые частицы ЗТР; поэтому эта площадь пропорциональна времеви. Случай 3.
Пусть А1' (еиг. 153) есть скорость тела прв его движении вниз,АР'-ч- 2ВА ° АР— сопротивление, ВЗ' — АВ' — сила тяжести, угол ЗВА предполагается прямым. Если описать раввобочную гиперболу ЗЕТУ, коей центр З, главная вершина В и которая пересекает продолжения прямых ЗА, ЗР и Зч в Е, Т и Р, то сектор ЗЕТ этой гиперболы будет пропорционален полному времени падения. Ибо приращение скорости Рч и пропорциональная ему площадь З.Щ пропорциональны избытку тяжести нзд сопротивлением, т.
е. ВЗ' — АВэ — 2ВА ° АР— АР' или ВЗ' — ВР'. Площадь же ЗТг относится к площади ЗРЮ как ЗТэ: ЗРэ = 6Т'. ВР' =(6З' — ВЗэ): ВРэ = 6З': ВЗ' = = ВЗ'. (ВЗ вЂ” В1 ). А так как площадь ЗРЯ пропорциональна ВЗ' — ВР', то площадь ЗТР будет пропорциональна постоянной ВЗ'. Следовательно, площадь ЕЗТ возрастает равноиерно, увеличиваясь за каждый из весьма малых равных между собою промежутков времеви ва постоянную величину ЗТУ; таким образом эта площадь пропорциональна времени падения.
— 363— Сясдсоюис. Коли из центра В радвусом В а описать дугу круга лгг, проходящую через точку А и подобную дуге ЕТ, т. е. стягивающую угол АТ)Т, то скорость ЯР так относится к скорости, которую в среде не сопротивляющейся тело в течение времени ЕЭТ утрачивало бы при движении вверх или приобретало при движевив вниз, как площадь треугольника ВАР относится к площади сектора Л Й, и значит, эта скорость каходктся по заданному времеяи. Ибо скорость в среде не сопротивляющейся пропорциональна времени, а значит, в сказанному сектору, в среде же, сопро- Фкп 152.
тивляющейся — треугольнику, в любой же среде, когда эти скорости весьма малы, их отношение приближается к равенству единице, подобно тому как отношение площади сектора к площади треугольника. Так же может быть доказан тот случай при движенви тела вверх, когда тяжесть меньше такой силы, которая может быть представлеяа через Р аг или гВг-г- ВВг, и больше, нежели такая, которую можно представить через АВг — ВЛг, и когда ее надо представить через АВг. Но я перехожу к другому. Предложение Хлг. Теорема Х1 При игсх жс прсдиоложсииям я утверждаю, что просвграисиюо, проводимое при дтгжсгаггг оосрх мли оииз, гиооиорииоиальио раэиоспги двум ияоигадсй, ио игах исроая ость та, иовигрою представлялось орслгя, отггггая жс оаграппает илгг убиааст о арифлгстггчсской ирогрссиги, причем оияи, 13.
Зак.3350 АЬ: ЭВ = РВз: 4ВА ° АС. Если, построив гиперболу ЬХ, имеющую своими взавиио перпецдикулярвыми асимптотаии СК и Сс(, проводить КН перпендикулярно к СК, то площадь АЬ.УК будет возрастать или убывать в ариометической прогрессии, когда сила СК возрастает в прогрессии геометрической.
"' Я утверждаю, что расстояние тела до наивысшего его положения будет пропорциональво избытку площади АЬЖК иад площадью ХЖТ. Так как АХ пропорциокалько сопротивлению, т. е. АР'-+- 2ВА ° АР, то возьием какую-либо постоявиую длину Я и положим АР'+- 2ВА ° АР. Я тогда (по лем. 11 отой кяиги) КЪ вЂ” приращеиие дливы АХ вЂ” будет выражаться так: 2АР ° РО.-с- ЯВА Рбй 2ВР ° Рсб Я Я приращевие же КЪОльс площади АЬЖК будет КРОХ 2ВР Рь) Оу. ВР ° Р(е. Взл Я 2Я'СК ° АЗ рж Уравнение (Ц примечании и7, на основании равеества бл = с ес, взшипнлсв олс = — ел «з сл -с- Янзв -с- У Этому уравнению можно придать вид 2», Ес 2нз Ил. нз се -Ф.
Янзо -$-у (Янз о -с- Янл) Ыо вз са -с- Ялте ч- у Откуда следует — ш — \ вз Ф .+- Яв с -ь у у тде через и обозначена та нрутован влн пшерболичесшш площздь, нотарош предстжшнетсв время в пранечввии 747, и через Н вЂ” наибольшие внсата подъема. Равенство (2) и шлрвжает вьссвазанвую веерему. свежавлеииые ил ямжеезаи и саиповзмвлеиия, беруя)ся в иуеавессми теомеиззричесиой.
Длина АС (миг. 154 а, Ь, с) берется пропорциовельиой силе тяя(ости, ялика АК вЂ” сопротивлению, причем точки С и К берутся по одну сторону от точки А, когда тело движется вииз, и по разные, когда ово движется 'вверх; перпеидикуляр АЬ восставляется такой длины, чтобы было Фаг. 1545. Фаг. 151Ь. Фаг. 154а. Случай 2. Негде тело движется вверх н сила тяжести пропорциональна 5Ва-5- ВЗа, причем ВЛТ есть круг (Фиг. 1545), то длина, пропорцвоиальпая тяжести, будет 5С= +' у — Збб— РР=АР'-+ 2ВА ° АР-»-АВэ-и-ВЗ»=АК Я-»-АС Я=СК.Я, поэтому площадь ЗТР' будет относиться к площади ЗЩ, как ЗТ' яли ЗВ* кСК Я.
Сливай 2. Если тело двкжется вверх и тяжесть вропорциональна .4В' — ВР», то ливия АС (еиг. 154Ь) будет ВР» — АВ' Я ЗТ»:З =ЗР,(ВР— ВЭл) =ВУР:(ВР— ВЗ)= = ВЗ': (АР»-»- 2ВА ° АР-»- АВ' — ВЗ') = ЗВ'. (АХ Я-»- АС Я) = = ВЗ'. СК'. Я, следовательно площадь РТР будет относиться к площади ЗРЯ, как ВЗ'. СК.
Я. Случай 8. На основании такого же рассуждения, когда тело движется вниз и поэтому тяжесть пропорпиональна ВЗ' — АВ* и линия АС па (еиг. 154Ь) будет то, как и выше, площадь ЗТР".РРЯ = ВЗ'. СК Я. Итак, площади эти всегда находятся в этом отношении. Если вместо площади РТУ, которою представляется всегда самому себе равное весьма малое приращение времеви, написать какой-либо определенный прямоугольник, положим ВЗ ° т, то площадь ЗРЯ, равная — ВЗ Рф будет относится к ВЗ .»и, как СК.
Я: ВЗ'. 1 Поэтому будет .Щ ° ВЗ»=2ВЗ ° т ° СХ ° Я в вьпвенайдевное приращение КРОХ площади АБАК будет КЗСВ= РВ'ВР'т. АВ Отнимая приращевве ЭТ)г площади РЕТ ЗТ)г=ВР т останется Кг,СРУ ЗТУг АВ Но разность приращений равна приращению разности самих площа- АР ЗР дей, которое, таким образом, есть — ш ВР; а так как .
яэ есть величина постоянная, то это приращение пропорционально АР, т. е. скорости, а значит, и весьма малому приращению пространства, описываемого телом при движении вверх или вниз. Следовательно, упомянутая разность площадей н это пространство, коих приращения пропорциональны и которые совместно начинаются нли исчезают, пропорциональны между собою. С~едояюме. Если обозначить через М вЂ” длвну, получаемую отразделения площади РЕТ на длину ВР, и длину Р взять так, чтобы было то пространство, проходимое телом при движении вверх или вниз в сопротивляющейся среде, будет тан относиться к пространству, которое тело прошло бы в продолжение того же времеви в среде несопротнвляющейся, свободно падая из состояния покоя, как упомянутая выше разность пло- ВР ° Г' щадей относится ь , и значит, когда время задано, то пространство найдется. Ибо в среде ве сопротивляющейся прощенное пространство пропорционально квадрату времени, т.
е. Г', а так как ВР и А — посто- ЗР ° Ут янные, то оно пропорционально и Но .4З РЗ' ° АЗ и так как приращение Ад есть Ш, то приращение предЫдущей плОщаДи есть РА' ° ЗР РЛ' ° АВ Но это приращение относится к приращению разности площадей АЬР1К вЂ” РЕТ, ь АЗ .4 с= ° ЗР ю РА' ° ЗР АУ 4 ВР АЗ 14А РЕТ РАР РЗэ Я ' РЗ2 это же отношение, когда площади РЕТ и РАР весьма малы, имеет своим ЗР. У2 пределом единицу. Следовательно площадь — и разность площадей А — 368— Або — ЭЕТ, когда все эти площади весьма малы, имеют равные прнрапчепяя, и значит, равны между собою.
Так как скоростя, а поэтому я одновременно описываемые пространства, в обеих средах при начале двяжевия вниз или пря конце двяжевия вверх прябляжаются к равенству, т. е. вахо- ВЭ ° Р' дятся в таком же друг к другу отношении, как площадь — к раз- АВ ности площадей АЬ1ЧК вЂ” ЭЕТ, и так как пространство, проходимое в среде ВЭ 'Р яесопротивляющейся, постоянно пропорционально, пространство же, проходимое в среде сопротивляющейся, постоянно пропорционально разности площадей АЬЕК вЂ” ЭЕТ, то необходимо, чтобы пространства„ проходимые в той и другой среде в любые равные промежутки времепв, ВЭ- Т" отпосилясь бы друг к другу, как площадь — относятся к разности площадей АИЧК вЂ” ЭЕТ.
ПОУЧЕНИЕ Сопротивление, испытываемое шарами нрп движения в жидкости, происходит частью от ее сцепления, частью от трения я частью от плотности. Та часть сопротивления, которая проясходвт от плотности жидкосгя, как уже намя сказано, пропорциональна квадрату сьорости; вторая часть, которая происходит от сцепления жвдкостя, постоянна, т.
е. ее действяе пропорционально приращению времеви, поэтому следовало бы перейтя к рассмотрению двяженпя тел, испытывающих сопротивлепяе частью посгояняое, частью пропорциональное квадрату скорости. Но достаточно приложить уже изложенное в предложениях УН1 я 1Х я их следствпях ь атому исследовапию, так как в ннх можно заменить проясходзщее от силы тяжестн постоянное сопротивление, яснытываемое телом при движении вверх, постоянною частью сопротивления жидкости, происходяшея от ее сцепления, когда тело движется по янерции. Есля тело двяжется прямо вверх, то эту часть сопротввлепвя пело приложить к силе тяжести, есля же тель паданг вниз — то вычесть. Затем следовало бы перейти к рассиотренвю движения тел, испытывающих сопротивление частью посгояпное, частью пропорциональное первой степени скорости, частью †втор.
Путь указан в предложениях ХН1 и Х1Ч, в которых стоят только или заменять силу тяжести постоянною частью силы сопротивления, происходящей от сцепления среды, илн же приложить ее, как я раньше, к силе тяжести. Но я перехожу к другому. — 369— ОТДЕЛ ур О КРУРОВОИ ОВРАЩЕНИИ ТЕЛ В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ Лемма Ш Пусть 1лчеВ есгяь спираль, пересекаипцая все радиусы, такие как Я1л, Яч, ЯВ и т.
д., под одним и тем же умом; проводится прямая РТ, касаюигаяся спирали в какой-либо точке Р гл пересекаюигая радиус Яге в Т, полюс Я соединяется прямою ЯО с точкою О пересечения нормалей РО и гбО к спирали. Я у верждаю, что ктда точки Р и ф приблмпгаясь друз к друзу, совмесгкятся, то в пределе угол РЯО обратится в прямой м предельное опсноисение прямоутлт ника 21лЯ Тгб к Рчбл равно единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
