Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 77
Текст из файла (страница 77)
в А и .Е, то можно найти ее плотность в любом месте ф. ()пиши гиперболу (фиг. 162), коей центр Я и взаимно перпендикулярные асвмптоты ЯЧ' и ЯХ, и которая пересекает перпендикуляры АН, ЖМ, йэ" в а, е, д, и перпендикуляры НХ, ЭХУ, ТЕ, опушенные на эсимптоту ЯХ, в Ь, ж и д Пусть площадь Увы относится к заданной площади УиэЬХ, как заданная же площадь Нейе к заданной ЕеаА; тогда продолженная линия Л отсечет длину 9Т, пропорционээьпую плотности.
Ибо, если ддивы ЯЛ, ЯЕ, Я'„> составляют непрерывную пропорцию (геометряческую прогрессию), то площади Еей(), .ЕеаА равны, значит и пропорционэлькые им плошади ХжЫ, ХйжУ также равны, и длины ЯХ, ЯУ, ЯЯ, т. е. АН, ЕМ, ЯТ, составляют непрерывную пропорцию, как этр и требуется. Если длины ЯЛ, ЯЕ, ЯЧ будут занимать какой-либо иной порядок в ряду непре- рызпо пропорциональных, то плинии.4Ы, .ЕМ, суТ по пропорциональности гиперболических площадей займут соотаетстзу)ощай порадок в другом риду непрерывно пропорциональных количеств.'ы Фвг. )БЗ.
Яжг. ЛБЬ ыг Прзмем точку Н за встало сса о в обоавачвм через я — влотвосуь з расстоаваа л от певтра 8 в через р — даазевие. Прюсеаеавыи а теасте преем, ара враватыз теперь ебозвз чеявкг, может быть взложеи таж пусть будет Нл(=лю гв=зы...па=за; по предвоыжеввю зги величавы берузта в геомстрачесзоа прогрессии, положвк зг "лле) за=лоло' - ° зв '"аоо. (л) Жели обозвачить через яе, яз, ... Б,» — жюзеовмвуюаак вазгвосав жаззякпь арсаева взаемые ордааатаии.щ ВЛ,...
(ЯО, то удазьвые веса еклюпжжтльвыз ыюев мвджктм будутс $ — и — 1 а=! ° ° ° и— Яе Ж Яз . „. %з зе лз зз зп рз = )с ~ — (сз — сз) -+. — йа — лз) Гв Яз за вла псдогазлаа авеста лз лез оа пл велачвега ре=а(Яо -Яз- %- - - Яа — ° ")(ь — () рзб й(ЯЗ.+.Ж.+.Яз.+. ° ".+.%зч--"3(л — () и =Л(бз Яз Яо Яа - 1(1 1) где $ — постоявяаа, а ааачит, дыжаввя а рзсстозвпвл ро = Ь ) — (зз — зо)-+ — (лз — зз).+ " Г Яо % ез Рз=а~ — (з — %)- — (*з з)- ГЯ % ~ зг зз зо, сз,... зв ст азатра блаум - — М,—,) -."~ %з за -. — ( — ла)--".~ Яа за - — ( — )- "~ %з за Предложейке ХХП.
део)гека ХгП Но по предположевию плотвость проморциовазьва даилевею, так что ооломюв и ю — г Рбо ро будем иметы бе="Йе-'-бг+.бз.+-" -с-оа.+.".)'()г 1) бг=л(б, б,. дз..., -6„...) Р— г) бз = гг(бз-г-бз-г- бс-г- °" +. ба-г- ".) ° (" — 1) (г) Оттуда сюдуетг аг — бо= — д(д — 1). бо б — б = — Л(Х вЂ” 1) ° ж 1 — "()' — ц =с оз полег ап получит (б) ел=обо бз= Ог бз= Ри влв (6) т= бог бе=с бог бз=сзгьг".б = бо т. е.
иогда расстоиввп л состааппот геометричеспуж прогрессию лг=)лог лз="'лог ла="зло) ° "ли=а"оо то плотвооги б пмтааапот геометрическую прогрессию (6). Из оориул (6) и (1) следует 1 б — = — ~ ° 1об — =Р(1об— Яи 1об с, вв *и, (г) бо 1об " ло ло Вместе логариовов Ныотоп берст гмперболичесвве площагяг постоаввые же без ло и лгг исзлигчаег, предоозагаа, что взвсства плотвость в двух различвых пестат, иаир.
л. в лс; тогда будем 1об б Зг1 б-"; ре ло' Ьб бс=ргг баб (8) бо зо и, по всалючевив иа атил уравиепвб и урюжеивв (7) величав гв, Ьб роз 1об ли пой гвтси 1об ба — 1об 6 б* 6 ос ° (гобои — 1об од 106 ги — 1об бс (б) $ Ьб лу — 1об л, ' Это пютношевио в заиевветгл построеввем при поиоща гипербольг. По поводу оориулы (2] макао заметать, что обозвачаи через Я вЂ” ордивату верхвеб граввцы жидкости и преювыагав что чвсло и — бесаоиечво большое, осе же рааиоогв .Еаги илопгкость какой-либо жидкости пропорциональна давлению и ежа жидкость находиигся иод действием ценжростуемгспгельной силы, наиравленной вниз и одражно ироиорциональной квадражи расстояний до ценжуа, жо я утверждаю, чжо когда расстояния обравкипи гармоническую прогрессию, жо нлотности оюидкостгг в вгиих расстоянгигк образуют геометрическую иртрессию.
— 887— „Пусть 8 (юиг. 163) есть центр, 8 х, 8В, ЯС, ЯВ, 8Š— расстонния в геометрической прогрессии. Длины перпендикуляров АН, В,у, СК и т. д. берутся пропорциональными плотностям жидкости в местах А, В, С, Л, .Е, ..., удельные веса ее в этих местах лл)л ВТ будут тогда м —,, и т. д. Вообрази, что СК зти веса постоявиы— с 'К 3, 1 первый на протяжении я от А до В, второй от В до С, третий от С до В н т. д.
По умножении -4 па АВ, ВС, СЛ, ВЕ Фиг. 163 бесковечио малы, будем иметь (го) и вообще: Откуда следуем (12) Ч= Р Че Ро и поучевяя, вроме того, упомяиуты случаю 1 1 Ч(л) = — > Ч(л) =— оэ лл 1 я мюбще Ч(л) =— ли при той же эаеисимостя вежду р и Ч, иыюяец случай 1 (л) = у — постояваой силы тяжести вблиаи поверхиости Земли, рассмотреввый Галлеем, а эатем упомииаегся в про более общую эависииссть ивкду Ч и р, выражаемую еораулою Чю Чою Вй Во всех ям>х случаях иахождевие квадратур ие представляет аатрудвевий. Присоедивяя к этову уравиеиюо то, которым выражается эавксамость между плотиостью и давлеивем, в РассиатРиваемси, вавич слУчае Ч = — Р, па>Учаек диооеРеициальвое Чо Ро уравиевие, яа которого иаходитси эависямость между Ч а я.
Если притяжение ве обратао пропорциовальио расстоявию л, а выражается иною аависяиостью, иэяр. е (о), то висело уравиеаия (12) будет бр = — йй ° Ч (л) ° Ри (12 В яредюжеиви ХХП рассмотрев случай 1 р (л) = — прв лэ — 388— и т. д., или, что то же, ва пропорциовальвые им расстоявия 8А, В8, АН В,Т СК 8С ... получаются проиэведеяия —, — —, и т.
д. пропорцио- 8А 8В БС вэльвые дзвленяям. Так как плотвости пропорционзльвы суммам этих давлений, то развоств плотностей АН вЂ” В.Т, В,? — СК и т. д. будут АН ВТ СК пропорциовзльвы развостям сказаввых сумм т. е. величинам — » — — ' ЯА 8В 8С и т. д. Опиши какую-либо раввобочвую гиперболу, цевтр которой 8 в асимптоты 8А и Яа и которая пересекает перпещикуляры АН, В.Т, СК,... в а, Ь, с и т. д., перпецдикуляры же Ю, .Тм, Кю, опушеввые ва асимптоту 8х, в Л, г', Й; рзавости плотностей а>, аю и т. д.
будут пропорциовальвы АН .В,Т вЂ” — и т. д. Произведения ~и ° й, мю ° и> и пр., т. е. площади прямоАНй В?ш' угольников ф, иа и пр„ будут пропорциовальвы — > и т. д., т. е. пропорциовальвы Аа, ВЬ и т. д., ибо по свойству гиперболы ЯА: АН = 8А:Ж = й: Аа, звачит АН. й 8А Точно так же будет В,Т. и> — = ВЬ 8В и т. д. Но дливы Аа, Вд, Сс, составляют геометрическую прогрессвю и поэтому пропорциональны своим развостям, следовательно этим же развостзм пропорциовальвы и площэди прямоугольввков 1р, пй и т.
д., суммам же этих разностей таким, как Аа — Сс или Аа — Зд, пропорциональны суммы площадей ~р->-иа или трч-мй-+-и>г. Пусть число такого рода члевов весьма велико, тогда сумма всех развостей, скажем, Аа — ХТ будет пропорциовальва сумме площадей всех прямоугольвиков, скажем, гйп Будем увеличивать число членов и уменьшать расстоявия между точками А, В, С в т.
д. до бесковечкости, тогда сумма площадей сказанных прямоугольвиков ставет равною гиперболической плошади гйм, поэтому и развость Аа — ГТ пропорциовальва атой площади. Если теперь принять какие-либо расстояния ЯА, ЯЗ, 8Р в гармонической прогрессии, то развости Аа — Зд, .Ы вЂ” г?'будут между собою раэвы, поэтому пропорпиовальвые этим развостям площади й?х> х>ях будут также раввы и — 389— плотности И, Ях, Ял, т. е. АН, ~М, ГУ, составят непрерывную про- порцию.
Слебсжэяе. Таким образом, если будут заданы плотности жидкости АНи ВХв двух местах, то будет известна площадь Й|м, соответствующая разности их 1в, и значит, найдется плотность УУ в расстоянии ЯУ, если взять площадь Йил в таком же отношении к известной площади Йпе, как разность Аа — Щк разности Аа — В6.
Подобным же рассуждением может быть доказано, что если сила притяжения, действующая на частицы жидкости, обратно пропорциональна кубам расстояний до центра и если взять величины, обратные квадратам ЯАэ ЯАэ ЯАэ расстояний (т. е. — — — .. ) в арифметической прогрессии, то ' ЯАю ЯВ2 ЯС~ плотности АН, ВУ, СК будут в прогрессии геометрической.
Если сала притяжения убывает, как четвертые степени расстояний, и взять величины, ЯА' ЯА' ЯА' обРатные кУбам РасстоЯний, напР. яАи~ - —, — ит. д., в аРиеметнческой прогрессии, то плотности АН, ВУ, СК будут в прогрессии геометрической. Подобно атому до бесконечности. Кроме того, если притяжение частиц жидкости при всяком расстоянии одно н то же и расстояния взять в арифметической прогрессии, то плотности будут в геометрической прогрессии, как это нашел знаменитевшнй Эдмунд Галлен.
Если притяжение пропорционально расстоянию и квадраты расстояний взять в арифметической прогрессия, то плотности будут в геометрической, и подобно этому до бесковечности. Все это имеет место, когда плотность яшдкости пропорциональна снимающему ее давлению, или же, что то же самое, объем, занимаемый жидкостью, обратно пропорционален этой силе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
