Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 78
Текст из файла (страница 78)
По можно вообразить к другие законы сжатия, напр. что куб сжимающей силы пропорционален четвертой степени плотности. В этом случае, если притяжение обратно пропорционально квадрату расстоянии, то плотность будет обратно пропорциональна кубу расстояния. Если вообразить, что куб сжимающей силы пропорционален пятой степени плотности и притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния, то плотность будет обратно пропорциональна полуторной степени расстояния.
Если вообразить, что сжимающая сила пропорциональна квадрату плотности, притяжение же обратно пропорционально квадрату расстояния, то плотность будет обратно пропорциональна расстоянию. Перебирать все случаи слвшком долго. Впрочем, опытами установлено, ото плотность воздуха или в точности пропорцнонад на давлению, или весьма к тому близка, поэтому плотность воздуха в земной атмоспере пропорциональна весу всего накрывающего воздуха, т.
е. высоте ртути в барометре. Предложение ХХШ. 'Георема ХТШ Вели платность хеидкоати, состаяиьей иэ взаимно отталкиоаюиаихся частиц, пропорциональна сжимающему давлению, то отталкиоательнце силн частиц обратно пропорциональна расстояниям межф их центрами. Наоборот, частица, отталкпеаюненеся огаимио с силамп, обратно пропорциональиими расстояниям между своими ценьпрамп, обраэуюьп уедэуьую оьждкость, плотность которой пропорционально даолеип1о. Предполагается, что жидкость заключается в ку- "У бическом пространстве АСЖ и затем сдавлнваннем приводится в меньшее кубическое же пространство асс (пнг.
164). Расстояния частиц, занимающих сходе ственное положение в обоих пространствах, будут Фнп 164. пропорциональны сторонам АВ н аЬ кубов, плотности же жидкости обратно пропорциональны объемам 4Вь и аЬ'. На грани АВСЗ большего куба берется квадрат ЗР, равный грани ИЬ иеньшего куба; по предположению давление, с которым квадрат ЗР действует на жидкость в болыпом кубе, относится к давлению, с которым квадрат бЬ действует на жидкость, заключенную.в малом кубе, как плотности жидкости, т. е. кзк айь: АВь. Но полное давление, с ноторым квадрат ЗВ действует на заключенную в большом кубе жидкость, относится к полному давлению на нее квадрата ЗР, как ЗВ'.
ЗРь, т. е. как АВ'. айь. Следовательно, полное давление, с которым квадрат ЗВ действует на жидкость, относится к давлению на нее квадрата дЬ, как аЬ: АВ. Пусть жидкость разделяется плоскостями РСН и ~дй, проведенными через кубы, на две части; эчн части оказывают друг на друга такие же полные давления, как и на грани АС и ас, т. е. относящиеся друг к другу аЬ: АВ, поэтому и оттзлкнвательные силы, которыми эти давления поддерживаются, находнчся в том же отношении. Ибо вследствие одинаковости как числа частиц, так и их положення в каждом из кубов, силы, с которыми все частицы дейсчпуют друг на друга через плоскости Р6Н н удй, пропорциональны силе, с которою каждая отдельная частица действует на отдельную же.
Следовательно, силы, с которыми отдельнан частица действует на отдельную' через плоскость РОВ большего куба, относитсз к силе действия отдельной частицы на отдельную через плоскость ./уй меньшего куба, как аЬ;. АВ, т. е. обратно пропорционэльяо расстоянию между частицами. Наоборот, если силы взаимодействвя двух отдельных частиц обратно пропорциональны расстоянию, т. е. обратно пропорциональны сторонам кубов 4В и аЬ, то и суммы сил будут находиться с том же отношении, и давления' граней ЗВ и ЫЬ будут в отношении сумм сил, т.
е. давление квадрата ЗР к давлению грани ЗВ, как айэ: АВ', следовательно давление квадрата ЗР к давлению грани НЬ, как айэ: АВ', т. е. что сжимающие давления пропорциональны плотностям. ИОУЧЕЫИЕ На основании такого же рассуждения, если отталкизательные силы частиц обратно пропорциональны квадрату расстояний между их центрами, то кубы сжимающих снл будут пропорциональны четвертым степеням плотностей. Ксли оттзлкнвательвые силы будут обратно пропорциональны кубам или четвертым степеням расстояний, то кубы давлений будут пропорциональны нли пятым, или шестым степеням плотностей.
Вообще, если обозначить через З вЂ” расстояние и через Ж вЂ” плотность сжимаемой жидкости и принять, что отгзлкивательные силы частиц обратно пропорциональны и-ой степени расстояний, т. е. З", то давления будут пропорциональны и+2 а +-2 з степени — т. е..Е , и наоборот. Все это относится до действия между частицами таких отталкивательвых сил, которые ограничиваются лишь ближайшими частицами и ие распространяются далеко за них.
Пример имеем в телах магнитных. Их притягательная сила почти ограничивается телами такого же рода, с нами смеживши. Действие магнита суживается, если проложить железяую пластинку, и почти ограничивается этой пластивкою, ибо расположенные за всю тела не столько притягиваются самим магнитом, сколь этою пластинкою. Подобно этому, если частицы отталкивают другие близкие к ним, на более же отдаленные не оказывают никакого действия, то жидкость, составленная из таких частиц, и рассматривалась в этом предложении, Если же действие частиц распространяется до бесконечности, то потребуется бблыпая сила для одинакового уплотвевив большего количества жидкости. Состоят ли жидкости на самом деле из взаимно отталкивающихся частиц, — есть вопрос физический.
Мы доказали математически свойства жидкостей, состоящих из таких частиц, и предоставляем физвкам повод исследовать этот вопрос. — 392— ОТДЕЛ И О ДВИЖЕНИИ ИАНТНИКОВ ПРИ СОПРОТИВЛЕНИИ Предложение ХХП'. Теорема ХХХ Массы маятников, у контрик расстояния ивнтра качания до иентра нодвеса одинаковы, относятся между собою, как произведение весов маятников на квадрата времен их размахов в нусиюте. Скорость, которую данная сила может сообптить данной массе в заданное время, пропорциовальна силе и обратно пропорциональна массе.
Чем больше сила, чем больше время и чем меньше масса, тем ббльшая будет сообщена скорость. Это следует из второго закона движения. Если маятнияи одинаковой длины, то движущие силы при одинаковом отклонении от вертикали пропорциональны весу; пусть два тела при качании описывают равные дуги и этв дуги подразделены на равные части; так как времена описания каждой из сходственных частей этих дуг пропорциональны полным временам размахов, скорости же при прохождении через сходственные частя дуг прямо пропорциональны движущим силам и полным временам качаний и обратно пропорциональны массам, то массы прямо пропорциональны силам и временам качаний и обратно пропорциональны скоростям.
Но скорости обратно пропорциональны временам, следовательно величины, которые прямо пропорциональны времеви н обратно пропорциональны скорости, пропорциональны квадрату времеви; поэтому массы пропорциональны движущим силам н квадратам времеви, т. е, весам маятников и квадратам времеви размахов. Следствие 1. Поэтому, когда времена качаний одинаковы, то массы тел относятся как веса. Следствие х. Если веса равны, то массы относятся, как квадраты времен.
Следствие 3. Есле массы равны, то веса обратно пропорциояальны квадратам времен. Следствие 4. Так как квадраты времен при прочих равных условиях пропорциональны длинам маятников, то если времена и массы равны, то веса пропорциональны длинам маятников. Следствие 5. Вообще, масса маятника прямо пропорциональна его весу и квадрату времени качания н обратно пропорцяонэльна длине. Следствие б.
В среде, сопротивления не оказывающей, масса маятника прямо пропорциональна кажущемуся весу и квадрату времени и обратно Предложение ХХЧ. Теорема ХХ Маятники, >испытывающие в канон-либо среде постоянное сопротивление, и маятники, которые качаются в среде пюю нее удееь>нпо веса, но сопротивления не оковываю>аей, соверщают свои размахи по никлоиде в одинаковое время и одновременно описывании пропорниональные насти дрь своик качания.
Пусть ехВ (еиг. э 16Ь)есть дуга цикловды, описываемой телом З в продолжение некоторого времеви при качание. >еь. вии в среде яесопротивляющейся. Разделим эту дугу точкою С пополам, так что эта точка будет самая низшая точка дуги; тогда ускорительнзя сила, действующая на тело в точках З, сь или .Е, пропорциональна длине дуг СЗ, Са или СЕ. Представим эту силу этою длиною дуги; так как сопротивленне постоянное, то пусть ово представляется постоянною дугою СО; возьмем дугу Осе так, чтобы было и о ОН>СЗ=ОВ:СВ Так как в среде сопротивляющейся сила, ускоряющая тело в точке Ы, есть избыток силы Сд над сопротивлением СО, то она будет представляться >от Краткое оиисеиие этих оиьпои си. виже — кинга Ш, иреяюжекие ЧВ пропорциональна длине маятника.
Ибо, как объяснено выше, кажущийся вес есть движущая сила во всякой тяжелой среде, поэтому, когда эта среда сопротнзлення не оказынает, он представляет то >ке самое, что и абсолютный вес в пустоте. Следствие 7. Отсюда следует способ как для сравнения между собою тел по отношешпо к их массам, так и для сравнения веса того же тела в разных местах, чтобы исследовать изменения силы тяжести. По некоторым, произведенным точнейшим образом, опытам я нашел, что масса всякого тела всегда пропорциональна его весу."' — 394— дугою ОЫ и, значит, относится к силе, действующей на тело в точке Р в среде не сопротнвляющейсн, как дуга Од к дуге СЗ; по этому же самому в точке В будет — как дуга ОВ к дуге СЗ. Таким образом, если два тела З и д выйдут из точки В и будут подвергаться действию этих сил, то так как эти силы пря начале движения относятся между собою, как дуга СВ к дуге ОВ, скорости при самом начале движения и пройденные в нем пути будут находиться в этом же отношении.
Пусть зти дуги суть ВЗ и ВН„тогда и остающиеся дуги СЗ и Од будут находиться в том же отношении, значит и сялы, этим дугам СЗ и ОЫ пропорциональные, останутся в этом же отношении, как и при самом начале движения, и тела будут продолжать описывать совместно дуги, яаходящнеся в этом отношении. Итак, силы, скорости и остающиеся дуги СЗ и ОИ будут постоянно пропорциональны полным дугам СВ и ОВ, поэтому эти остающиеся дуги описываются одновременно. Следовательно, оба тела З и я одновременно придут в точки С и О, —,одно при движенни,в среде яе сопротивляющейся в точку С, другое в среде сопротивляющейся в точку О. Так как, кроме того, скорости в точках С и О пропорциональны дугам СВ и ОВ, то дуги, которые тела будут одновремеяно описывать продолжая свое движение, будут находиться в этом же отношении; пусть они суть СЕ я Ое.
Сила, которою тело Ю замедляется в точке Е, пропорциональна СЕ, сила же, которой замедляется тело Ы в среде сопротивляющейся, в точке е равна сумме силы Сс и сопротивления СО, т. е. Ое; следовательно, силы, замедляющие тела, относятся, как дуги СЕ и Ое, пропорциональные дугам СВ и ОВ, поэтому и скорости, убывающие в этом отношении, остаются все время в этом постоянном отношении друг к другу.
Следовательно, скорости и дуги, с этими скоростямя опясываемые, все время находятся я этом постоянном отношении длвв дуг СВ и ОВ; поэтому, если взять полные дуги АВ и аВ в этом же отношении, то тела З и и' будут нх описывать совместно я одновременно утратят свое движение в точках .4 и а. Следовательно, полные размахи изохронвы и совместно описываемые дуги ВЗ, Вп' нли ВЕ, Ве пропорцнональзьэ полным размахам ВА, Ва. Следствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
