Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 80
Текст из файла (страница 80)
равно П- ь — (1-~-ьй)оь(~-ьцсйл Соотношение (19) Ньютон ве пишет, а заменяет его уравнением (12), определяющим я юывчяву )ь по отвошевию — отклонений маятника от нижней то ски С цнкаовды. ь вжходнщем движении; представим его весьма малою площадкою ВОдт, заключенной между параллельными ВО и тд, продолжим тд до Те, тогда ОНйд и ВОдт будут одвовремееиымк уменьшениями плошвдей ТОН и РТОВ. ОВ Вт Приращевве площади — ..ТХР—,ТОН равно (лХИд — —,ТЖР 0(у ОЯ' е Вт т. е. Вт НΠ— —,ТЕВ отношение его к уменьшению ВОдт пло- 0(,) щади РТЩ, т.
е. к Вт ° ВО, равно — 401— предыдущее отношение равно РТОЛ -,ТОН вЂ” —,Тжг ): ОРТК, ( ол од ' ол поэтому. если площадь — ТЕР< —,ТОдс обозначить через У уменьше- 09 < ние же ЛОег площади РТОВ положить постоянным,<л< то приращение У будет пропорциовальио РТО — У. Ксли обозначить через т' — дей< твующую на тело в точке Л по касательной пропорциональную дуге ОЗ слагающую силы тяжести и черезл— осиротев<ение, то разность У в В представит силу, ускоршощую тело в точке Л; следовательно, прпра<цевие скорости пропорционально этой силе à — В и тому промежуточку вре»ени, в продолжение коего опо происходит, самая же скорость прямо пропорциональна одновременно с тем происходим<ему приращению пройденного проьтранстна и обратно пропорциональна сказанному промежуточку времени.
Так как, по предположению, сопротивление пропорционально квадрату скорости, то приращение сопротивления (по лем. П) пропорпиопальво произведонию скорости ва приращение ее, т. е. пропорционально произведению приращений пройденного пространстза ва У в В, принимая же приращеш<е пройденного пространства посто- явным — величине У вЂ” Л. Коли написать вместо Г площадь РТОВ, которой ова представляется, и представить сопротивление В какою-либо другою площадью Я, то приращение сопротивления будет пропорпповально РТОЗ вЂ” Е Следовательно, когда площадь РТОВ будет равномерно убывать от отнятия постоянных бесконечно малых ее уменьшений, площадь У будет возрастать пропорционально РТОтЛ вЂ” У, п площадь Я в пропорционально РТО †, поэтому, если площади Уи Я вначале равны и вачнваются <овмество, то от приложения равных бесконечно а<алых приращений оии будут продолжать быть равныип, а тзьл<е прп убывании от отнятия разных бесконечно малых умею шевпй ови совместно уничтожаются.
И обратно, если ови одновременно начинаются п одновременно уничтожаются, то они будут иметь постоянно равные бесконечно ма.иые приращения и будут з<.е время между собою равны. Это происходит потому, что при увеличении <Е< этим условием постоянства бесиовечно малого приращения <нли, нан его Ньютон на;<ываст. уменыпения.
нбо оно отрицательное< площади Русел< эта паощадь принииангся н днооеренииальнои уравнении за переменную везависямую< по и едзощщевпю ще эта площадь цропорциоиэ.<ьна дуге з. значит это условие равносильно тому, что в нреоб; он ванном ., инду <3< уравнении <2 дота з нринимаетсн за переменную н зависииу о. Эчо сразненп и<стоя н виде Фсрмулы. а излагается далее <лозами.
сопротивления Я как скорость, так и дуга Са, на которую тело подни- мается, уменынаются, точка а, в которой движение прекращается, прэбли- жается к точке С и сопротивление уничтожается ранее, нежели площадь л'. Обратное имеет место, если сопротгьчление Я уменыпнть, Но площадь Л начнваетгя и исчезает тан, где сопротквление равно нулю. т. е.
при начале движения, когда дуга Слг равна дуге СВ и пряман В6 совпэдает с прямою чВ, и в конце движения, когда дуга С0 равна ОВ ОД дуге Са и В6 совпадает с ЯТ. Площадь У нли — — °,УЬР—,УСН вачи- ваетсн в исчезает там, где она равна нулю, т. е. там, где ОД вЂ”,РВЕ=,УСН, т. е. (по посгроевию) когда прямая В6 поочередно совпадает с прямыми гдЖ и ЯУ, поэтому сказанные плошади начиваютсн и уничтожаются совместно и, следовательно, между собою постоянно равны. Значит, площадь О — - УВР—,УггН= Я Оге и так как величина Я представляет сопротнвлекие, то отношение предыдущей площади к площади РуггМ, представляющей силу тяжести, равно отношении> сопрет~влепив к силе тяжести.
Следствие 1. Отношение сопротивлеиин в низшей точке С к силе ОВ тнжести равно отношению —,УЕР к площади Р1ЖМ. ОО Следствие л'. Сопротивление наибольшее там, где плошадь РУНВ относится к площади УЕР, как ОВ к Оф пбо в этом случае его бесконечно малое пркрагцение РУО — У обращается в нуль. Следствие 3. Таким образом может быть определяема скороагь в отдельных местах, ибо она пропорциональна корню квадратному из сопротивления и в самом начале движения равна скорости тела, колеблгощегося по той же циклоиде без сопротивления.
I Впрочем, в виду того, что вьггисление для нахождения по этому предложению сопротивления и скорости трудно, добавляется следующее предложение. Предложение ХХХ. Теорема ХХг г'. Вели прямая аВ равна длине дуги иггклоиди, описиваемой телом ири ею качаниях, и ио перпендикулярам ЮК, восставленным в калюдойг оигдельной точке О этогг прямои, откладывать дмгни, ьоик отногаение к длине маятника ровно отношению сопрет вления, испитиваемого — 403— гневом в момент прохождения через соответствующую точку дуги.
п силе тяжести, то я угнвсрждаю, чпго разность между д,гинею дуги. описываемой телом на нисходящей часгпгг размаха. и длиною айги, описываемой на следующей запгем восходягаец будучи умножена на позусумму этих дуг, равна гыоигади ВКа. образуемой перпендикулярами РК. Пусть длина дуги циклоиды, окисьваемая при полком размахе, предгтавляется (Фиг.
167) равною ей длиною аВ, длива же дуги, которая была бы оппсака в пустоте, — длиною.4В. Точка С, середина дуги АВ, представит пившую точку циклоиды, и длина СР будет пропорциопальва составляющей силы тяже-,Г г сти, действующей ка тело зге / в точке Р по направлению ( касательной к циклоиде, 4 -',. ~ г-..
отношение этой длины к дливе маятвика равно от- с и ношению этой силы к силг" Фиг. 167. тяжести. Поэтому эту силу будем представлять дливою СР, силу же тяжести — длиною маятника: если же откладывать по РЖ длину РХ, которая относится к длине маятвика, как сопротивление к тяжести, то РХ будет представлять сопротивлевие. Центром С и радвусом СА или СВ описывается полукруг ВЖе4. Когда тело, двигаясь в пустоте, описывает в весьма малый промежуток времеви весьиа малое простравство Рд, то перпепдккуляры РЕ и Ре, восставлеввые в точках Р и д и пересекающие полуокружпость в Х и е, пропорциовалькы скорости, которою обладает прк прохождепии через точки Р и д опускающееся из В тело, качаясь в пустоте 1предл. 1Л1 кв.
1). Пусть эти перпевдикуляры СЕ и де и представляют сказгпгвые скорости, и пусть РГ представляет скорость, которою обладает в точке Р тело, опускающееся ич В в сопротивлягогцейся среде. Если точкою С, как цевтром, и радиусом Сх' описать круг Хуан, пересекающий прямые де и 4В в 1 и Ж, то Л1 будет тем крайвим положевпем, до которого тело достигло бы затем без сопротивлевия, и ЫУ'была его скорость в точке д. Поэтому, если Уу представляет бескопечво малое прпращевие скорости, утрачиваемое те,юм вслед<таке сопротивления среды при описавви весьма малого пути Рд, то, взяв СЖ= Ог, получим в ггг место тела, до которого ово затезг достигло бы без сопротивления, и МК представляет утрату в дуге восхождения, происходящую вследствие сказанной утраты скорости.
На Э1 опускается перпендикуляр Рги; отношение уменьшения Ру скорости ЭР, производимого сопротивлением ЭК, к приращению 1ш скорости, производимому силою СЗ, равно отношению самих сил ЗК к СЭ. Из подобия уке треугольников РигГ, Р1зд, РЭС следует 1гзс; Рпь = 1иг; Ззь = СЗ: ЭР. Но, как сказано, Ру: Рш = ЭК: СЭ и так как Рш = Эс1, то из этих пропорпий имеем Рр: Эг1 = ЗК: ЭР. Точно так же а так как го будет йч1Х. СМ=- Эг1 ° ЗК Гледовательноз сумма всех М1зг СМ равна сумме всех ЭК.ЭА Вообрази, что через подвижную точку М постоянно проводится ордипатз, по которой откладывается длина, равная СМ, и которая непре~ывным движенкем переходит от А до а; площадь трапеции, описываемая 1 этою ординатою, равная площади прямоугольника —, аЛ ° Аа, будет равна ~ умме всех произведений СМ М1зг, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
