Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 68
Текст из файла (страница 68)
суть а, 6, с и т. д., то момент произведенного прямоугольника АВ есть аВ->- ЬА, момент же произведение> о объема АВС есть аВС-+- ЬАС-+- » э -+-сЛВ; моменты произведенных степеней, А', А', А', А', А", А", А '; > 1 > 1 Л ', и А ', соответственно будуг: 2аА, ЗаА', 4аА', — аА ', —,.аА > ;\ — аА ', — аА ', — 2аА "', — -аА Вообще момент иаков-лабо степени Л" будет — аА . Точно так же для произведении А'В момент будет 2аАВ-+- ЬА', для произведения А' В' С' момент равен За А' В' С' -+- 4ЬА' В' С' ->- 2сЛ' В' С, и для произведения — клп Л' В ' момент есть ЗаА' — 26Л>В ' н т. д. Вт Доказь>ваетсн эта лемма следующим образом.
Случай 1. Пусть какой-либо возрастающий вепрерывныи движением прямоугольник АВ, когда до сторон Л и В не хватало по половине нх мо- 1 1 ментов — а и — 6 был 2 2 (Л вЂ” —,, а) ( — --6) т. е. А — — аЗ вЂ” — 6А -и- — а6, 1 1 2 2 4 после же того как стороны увеличились на вторую половину своих момен- тов, прямоугольник стал (А -ю- -а) (З -!- — 6) . т. е. АВ -+- — аВ -+- — 6А -+- — а6. 1 1 1 2 2 4 по вычитании из этого прямоугольника предыдущего получается избыток аВ-+-ЬА. Следовательно, от приращений сторон а и 6 образуется приращение прямоугольника, равное аВ-+-ЬА.
Сэучай 2. Если положить АЗ = С, то по доказанному в следствии 1 лля объема АВС или СС момент будет равен дС-в- бсд заменив 6 к д их величинами АВ н аВ-ю- ЬА, получим аВС-!-6АС-+-сАВ, что относятся до объема с какими угодно сторонами. Случай 3. Если предположить. что стороны 4, З, С.между собою равны.
тогда моиевт А', т. е. прямоугольника АВ, будет аЗ -+- ЬА = 2аА к момент А', т. е. объема АВС, который был аАС-ч-6АС-+- сЛВ, обратится н ЗаА'. На основании такого же рассуждения момент какой уго!1но степени А" будет яаА~'. 1 1 Случай 4. Так как — А = 1, то момент —. умноженный на А Л' Л'. 1 плюс —, умноженное на а, будет равен моменту 1, т. с. нулю; поэтому 1 ! а момент —, нлв, что то же, момент А, будет равсн —;-- Вообще, так как —;; ° А" = 1, то момент А", умножевныйва Л", плюс яаА" ', умвожен- 1 1 ча кое на — „, равен нулю; поэтому момент — „или Л будет — — „, ° ! ! ! ! Случай Б.
Так как ..'Р ° Л"- = А, то момент А', умножеввыйна2А!, будет равен а (по доказанному в случае 3), следовательно момент самого ! ! а 1 А' будет, = — аА '. Вообще, если положить А" = В, то будет ! 2 2Л 1 =З", следонательно жаЛ '=яЬВ" ' или жаА '=яЬВ '=яЬЛ" ФИ значит — аЛ " = Ь, т. е. равно моменту А". 12в — 334— Случай б. Следовательно, момент какого угодно произведения Аю Ь" равен моменту Аы, умноженному на В", плюс момент В", умноженный на Аж, т. е. таА '. В"-е- нйВв ' А, гпгичем показатели степени ги и п могу г быть чпсламв целыми или дробными, положительными пли отрицательными. Следствие 1.
Таким образом для членов прогрессы, в которой задав какой-либо член, моменты прочих будут пропорциональны этим членам, умноженным на число промежутков между этям членом и заданным. Так, если А, В, С, З, Ж, Р составляют прогрессию и задается член С, то моменты прочих пропорциональны — 2А, — В, В, 2.Е, ЗР.
Следспгвме 2. Если из четырех пропорциональных два средних даны, то моменты крайних будут пропорциональны этим крайним. Это относится также и до моментов сторон какого угодно прямоугольника, коего площадь задана. Следствие 3. Если же задана сумма или разносп двух квадратов, то моменты сторон обратно пропорциональны сторонам. ПОУЧЕНИЕ В письме к Д. К Колли«ау, от 10 декабря 1672 г„в котором я описывал методу (проведения) касательных, относительно которой я подозревал, что ова та же самая, как и данная Слузмем, тогда еще ве опубликованвэв, Я гдобазнл: Это состпавлЯеги лмшь частный слУчай млм следствие мгуаздо более общего метода, которым расиростуоняепгся без всяких трудных выкладок ие только иа нуоведеиме касательных к каким унодяо кривым, «ак геометуическим, так и механическим, илм как бы то ни было связанным с дубини «рямыми мли кумвыми линиями, но и иа решение других, более трудных, родов задаче о «рмвмзие, нлощадях, д,гпнах и не итрах тяжести кумвых и т.
д., причем ие прихогйгтся ограничиваться ~как в методе Гуддеиа для наибольших и наименьших) случаем уравнений, не содеухсащих иррациональностей. Этот метод я сочепгал с другим, относящимся к решению ууавнеиий нри иомощи бесконечных рядов. Этой выдержки из письма достаточно. Последние же слова относятся к сочинению, написанному об этих предметах в 1671 г. Основанке же этого общего способа содержится в предыдущей лемме"". ыо Это есть то овемевятое место «Нетель, иоторое в Э-и ведения вемевяет сгедуюшее в первых двух: «В пвсьмех, которыин около десяти лет тому вельд я обмевннолся «весьма вскусвым математиком Г.
Г. Лейбвнпем, я ему сообшел, что я обледыо методою для определения иокснмумов я минимумов, пронедевяя кнсьтльвых я решевяя тому подобных вопрг» аю, одинок«но приложимою кек Лля членов роционлльвых, тнк я для яррецвовольиых, Предиожемие т1И, Теорема е1 сила — их разностью КС, скорость тела †длин АР, среднею пропорциональною между АК н АС и, следовательно, пропорцйональной корню квадратному из сопротивления, приращение сопротнвгения, происходящее в продолжении весьма малого заданного проиежутка времени, — отрезочком КЬ и одновременное с ним прнь ращение скорости — отрезочком Рч.
П сть какан-либо гине бала ВУВ у р +иг. 142. имеющая своими взаимно перпенд'гкулярныии асимптотами прямые СА и Слт и центром точку С, пересекает перпендикуляры АВ, ХУ, ВО в точках В, У, О. Так как АК пропорционально АР', то ее момент КБ будет пропорционален моменту АР', равному 2АР. Рйу, а следовательно, и АР КС, вбо приращение скорости РЯ (по 11 закону) пропорпвональво действующей сале КС.
Умножггв КТ, на ХУ получим, что прямоугольник Кл. ° КУ пропорционален АР КС КУ, а так как (по свойству гиперболы) произведение КС КУ постоянное, то КЛ ° КУ пропорционально А Т. Но предельное отношение гиперболической площади КУСЬ к прнмоугольнику КХ ° Кит', когда точки Х и л совпадают, равно .Если тетю в однородной ссвротивляюгаейся среде под дейспюием силы тяжести движется прямо вверх или вниз, полное же прогиенное пространство разбито на равные части и требуетея найти д.т начала каиедой масти (прилагая сопрснгивление к силе гпяжестгги, когда тело дгвтжется вверх, и вычитая, когда оно дштжется вниз) ве.тичину во,той силы, то я утверждаю, чиго величины швей гпслы состав.гяюнг геомепгупгмескую ар агрессию. Положим, что сила тяжести представляется заданною длиною АС (авг.
142), сопротивление — переменвоюдлиною АК, действующая на тело гг причем я ее скрыт, п»гиставив буквы следуюшето предложеии»г. «быа аечвагюве чногсиючие Пшпгез чваагааге«!пто~т ш ° Уатгопез штеп1«е»г тюе тегта» (когда задано уравнение, содержашее любое число п» ременныт количеств, найти илюксии и ваоборотй Знаменитейший куж отвечал мне, что он также ковал иа такую кетоду, в сообшил ине свою методу, которая оказалась едва отлича«шейся от моей, я то голы»о тгрвинами и начертанием еормул». Перестановка букв, упомянутая Ньютоном, была следующая: ба, 2г, И, ае.
19с, 21. 7Ь Вг. 9», 4о, 42, 2г, 4з, 94, 12е, и. — 336— едпшще, следовательно эта гиперболическая площадь пропорпиовальва АР Но так как полная пшерболвческэя площадь АВОХ слагается из таких частиц, как К)(УОХ~, постоянно пропорциональных скорости АР, то эта площадь пропорциональна пройденному пространству. Если эту площадь разделить на равные части АВМТ, ХМОК, КУОХ и т. д., то действующие силы АС, ТС, КС, ХС и т. д.
будут составлять геометрическую прогрессию. На основании подобного же рассуждения, если взять в противоположную сторону от точки А равные площади АВте, еиий, йпол и т. д., то окажется, что действующие силы АС, еС, )еС, еС и т. д. образуют непрерывную пропорц ю; следовательно, если взять все части пройденного пространства как при восходящем, так и при нисходящем движении, мопеду собою рэзньпви, то все силы ьС, ЙС, еС, АС, ХС, КС, ХС и т. д. составят геометрическую прогрессию."' Сяедсеиюлс 1 Поэтому, если пройденное пространство представляется гиперболическою площадью АВЕК, то сила тяжести, скорость тела и сопротивленне среды могут быть соответственно представлены отрезками АС, АР и АК, и обратно. Сведет пле Л.
Наибольшая скорость, которую только может достичь тело падая бесконечно долго, представляется длиною АС. Следствие 3. Следовательно, если известна величина сопротивления среды при какой-либо заданной скоростк, то зта наибольшая скорость пай- ыо Урзявеаие восходящего дзижевия тела, зеяз ось л зергакальпо вверх, будет, при очезидвых обоавачевиях, аиЬ вЂ” = — (жд-+- ьы) ш (1) Это ураввевие можво записать так: отауда следует )ю — — !об (юд -4 лез) +" Сл л. э ь Обозвачая вачальвую скорость через ео и — череа я, получив 1 Ю (э) юд -+.
Лез = (юд -+. азот) е — зил. Но тд -ю- лез ееть паевая сила лт делотзующая ва тело з раооматриваемыб момент, юд -е- Ьеез = Ро — та же зила прв вачале движеиия, следовательно Из геометрячеакого предотавлевив этого ураввевва, уже ве рач объвевеввого, и получаетея вее выаказаввое в теореме и ее оледетзиях. дется взяв ее в таком отвошевии к вышеупомявутой зодаввой скорости, как коревь квадратвый из отвошекия силы тяжести к известной соле сопротивлевия. Предложевие лХ. 'реореиа чИ Х~ринимая уже доказанное, я утверждаю, что если ири радиусе надлехсаиеей величина брать таньенси секторов круьових и секторов иаырболичвсвих ироиорииональними скоростям, то время кодьема до наибольшей высоты будет ирояоущаональко сектору круьовому, время жв видения от наивысшей точки — ьииерболическому. а г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
