Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(рзб. (и) !— Выражение уз в еуинции г и преобразование его к новой переменной приводите» в теореме ХЬ. Даваемые зде~ь егрмулы можно получить носкольгго иначе: величина ЮЬ = и есть высота треугольника РЬЯ; иовшму, обозначив его п.ющтдь через ф имеем йгб =РЯ ° л)Ь'=1 ° у с другой егоровы, 16 Мз = (1 -+- и .+- г ) (! -г- и — г) [г ч- (1 — и)] ° [г — (1 — я)] = [(1 -+- а)з — гз] ° ! гз — (1 — о)з] следовательно будет и значит, (и) Ньютоя вводит новую пергменну!б гз зу тогда яолагав для яраткости (1 .+-а)з 1 (1 — а) —; — =Л Э( (и) будем иметь Х = чй ° ! [Н вЂ” к] ° [л; — Л] ° — ° У (г) Ыя г а мз .
1 =.и ~ ~(Н--Ь) и —.1() — и Л.-у() — ' ' у()ДЯ. г г г а тзт Этою теоремою устанавливается выражение слагающей првтяясения тек влементарныз обтнмо, на котерые шар рщбиввныя по сгя, направленной от прнтягннаемой точка к центру шара, чтобы свести таким обрззом вычпслевне етого пржянгенкя к квадрттурам. Обозначая через й — плотность, через г' — ргс~т(янне РН до прнтягнваеи~й точяи от притягивающей чаю ицы йн через у(р) — оилу прнтнження между двумя массами„равными ! при расстоянии р, я полагая РЯ=) АЯ=ЯВ=а, ЮР.=у и РУ= 1г и обозначая через Х полное прнтяжевне на ! массы в точке .Р, можем написать на основании доказанною в теореме: — 260— Пример л.
Сила притяжения отдельной частицы обратно пропорциональна расстоянию. В агом случае вместо Р' надо в выражении ЗХ! написать ХлЕ и затем вместо ЕЕз — величину 2лзЯ. ХЗ; будем иметь ЗЛ= ЯБ — —, Х.Х)— Возьми вместо Зл)У удвоенную его величину ЗЗ АХ. ХВ ХЗ тогда: часть 2ЯЗ полной ординаты З.)т', при проведении ее по основанию АВ, опсшет площадь прямоуг;льпика 2ЯХ ° АВ; переменная часть ХЗ, при проведении ее вдоль по АВ непрерывным движением так, чтобы эта ордипата была постоянно нормальна к АВ и длина ее постоянно равнялась бы рас- ЛЮ вЂ” 1А' стоянию ХЗ ее основания до точки Х, опишет площадь т.
е. АХ ЗВ пло!падь ЯХ АВ; третья часть — --'--, при проведении вдоль по АВ от А Ы) до В, опишет гиперболическую площадь, которая, по вычитании из площади ЯХ, АВ, и доставит искомую пло!цадь АВВ. Отсюда следует такое построение: в точках Хь А и В (ьпг. 112) восстань перпентикуляры И, Аа, Во и отложи Аа = ЗВ, Во = ЗА Зто н есть та нормула, которак даман тексте. В самом деле, по построению миг. !11 имеем: РН =Ро" — НУЛЗ=(З вЂ” а"; РЯ= — = з РНз М вЂ” аз РЯ ! значит РХ=ЬЛ= — '-; 1.Я=РЯ-Р1.=' — — ' 1Л = ЬН вЂ” Лг=(— ',-' — = и; ЬВ = ЬЛ- ЛВ = — ', '- Н, (! — а)з (1 1-ь «)ч и( ' а1 н в зреллозкении ЬХХХ! показано, что РЖз = ЕРЯ ° ЬЛУ иначе, гз = и( ° 7д) по, по сличении с нермулою (4), показывает, что м=ЬЮ, елелоеательно (Н-+- и) и = ИНЬ ° ЬЮ; кт — 1ДИ; и вместе с тем, при слелаввом обозначениич 1 — =У(гй Рг= й У Н и= 41" Ьвз 11римеры прелложеяня 1ХХХ! состоят в вычислеяии интеграла (6) при разных заланикх о!вицин у(г).
Мвожвтеля кямькпон яе нижет, ибо вычиыяет лиюь величняу, пропер циовальную врвтвжевию. и через точки а и'Ь проведи гиперболу аЬ с асииоготаия И и ЗВ; хорда аЬ и замкист вековую площадь асйа = А#В. 11римср 2. Коли сила' притяжевия отдельпых частиц обратво пропорциональна кубу расстояьия, или, что то же самое, отпотению вгого куба Рйч и какой-либо заданной площади то вместо Г подставь —,,—.
и вместо РВл 2ЯА'" ЗРЯ ЗЗ, тогда ЗЛ будет пропорциопальпо ЯВ АЯЭ АБь АВ ° ВВ-АЯ' РЯ ° 11) 2РЯ 2РЮ.1Ю~ а так как АЯ'= РЯ ЯУ Фиг. 113. о ..ыз. гэ ЗХ будет пропорциокальпо 1Я. Я,у 1 „1 лк ° утВ ° Я,у 1Ю 2 ' 2ИЭь По проведении этих трех честей ордипзты ЗХ вдоль по прямой АВ ХЯ Я,Т от А до В первая часть — — ' произведет гиперболическую площа11ь, 111 1 вторая даст прямоуголькик — АВ. ЯУ, третья даст площадь АВ 1ВЮ Г1 11 1 ~ — — — ~ =- — - АВ ° Я,1. 2 ~1А 1В~ 2 Вычтя из первой площади вторую и третью, получим искомую площадь АЖВ.
Отсюда следует такое построение: в точках Л, А, Я, В (овг. 113) восставь перпепдикуляры: И, Ао, Яэ, ВЬ, из коих Ял равеп ЯХ, после чего через точку Я проведи гиперболу азЬ, имеющую асвмптотами И и ЗВ и пересекающую перпевдикуляры Аа к ВЬ в точках а и Ь; по вычитапив — 262— ив гиперболической площади АозЬВ площади прямоугольника 2АЯ Яу и осгапется искомая площадь Ас 7В. Прим "р Я. Если центростремительная сила к отдельным часпщам шара убывает пропорционально четвертой степени расстояния до частицы РГг — 'ст уь . со ев, т, рр ната Ю.сту пропорциональна величине я уз.
яг. Я,Р Я,Р АЛ ° ВВ 1 г~п. Ы. ду,Вз 2 дпЯ7. ду.уу 2 Ч2 . Я,7 ЧС7.7р По проведении этой ординаты вдоль прямой АВ, полученная площадь гl2. Я,7 ~ ~1А бьВ) 7231 = — 1 — — = — ~ ~7Х — г7ХА)— Я,ут ° Л7. ° ВВ Р 3 г72.Я,7 БА 1В отдельные части которой обраэуются соответствующими частями орди- наты ЮК, что, по надлежащем упрощении, дает 2Я'7 ' ВЯ 7 с7т 2Я'7з 4Яуз 7„7 ' 87.,7 31 7 Я уз Следовательно, полное притяжение массы Р шаром пропорцнональпо— т.
е. обратно пропорционально Роз ° Р7. Подобным же сбраэом могло бы быть найдено и притяжение мэссь1, лежащей внутри шара, по это делается проще при помощи сгедусощей теоремы. Предложение л ХХХИ. 'лаврена ХТ1 Гсли для жира, коего итинр Я и радиус ЯА, взять расстояния Я7 и ЯР так, чтобы быго Я7 ЯА ЯА ЯР то огниожеиие иритяасеиия жаром внутреииеп точки,Т к иритяксеиию внежнеа точки Р равно произведенное отнножеигся гl',7: г/ЯР иа корею квадраскггын мз отноисеигся иритняжегтй точек Р и,7 центром жара.ттз пв Зта теорема псстужила В.
томсону (лорку Кельвину) основанием того преобрыованин, которое нм названо «построением влектрическосо изображенине; именно, таким названа точна Л по отношению к точке Зт, и обратно. — 263— По этой теореме, осли притяжения отдольных частиц шара обратно гропорцпональны расстоянию, то отношение силы, с которою масси, помещенная в,7 (чпг. 114), притягивается шаром, к той силе, с которою она им притягивалась бы, будучи помещенной в Р, равно эг8 7 у/ЯР г78Р 1/8,7 т. е. этн притяжения равны.
Подобным жэ образом увидим, что ксгда притяжение частиц обратно пропорционально квадргтам расьтснний, то отношение притяжения в точке,у к притяжению в точке Р равно отношению ЯР Е к ЯА. Коли притяжение чапмщ обгратнг пропорционально кубу расстонппй то отношение прптнженка в точке,7 к прпи д й й тяжеэпю в точке Р раино Я! ', ЯА'-.
Если лл притяжение частиц обратно пропорционально четвортой степени расстояний, то сказанное от- Фиг. ыа ношение равно Ярг: ЯА', во для этого последнего случая уже было найдено, что притяжение на точку Р обратно пропорционально БР' ° 7~7, следовательно прнтгжение на точку,7 будет обратно пропорцио альпо ЯА' ° 7~7, т. е. обратно пропорционально Р7, пбо ЯА постоянно. Подобным образом надо поступать и для всякого другого случая. 'Теорема эта доказывается так: ссхрапяя прежние п"ьчроенин и предполагая, что притягиваемая месса помещеьа в Р, было найдено, что орди- Р7.г, Р8 ната ЗХ пропорциональна ', , Поэтому, есле провести,7Е, то когда притягиваемая масса будет псмсщена в,7, сказанная ордипата будет про- РЕ" 78 порцпональна —,— ° Предположим, что прптнгательныс силы частиц шара, исходящие из какой-либо его точки Е в расстояниях,уЕ и РЕ, относятся между собою, как РЛ":,7Ж"; тогда скачанные ординаты будут ооответствеипо пропорциональны ВВ' РЯ РВ.
РЯ» ВВ' 78 уу . тВл коих отношепне равно РЯ УЕ.ЛГ": УЯ РВ 1'Ж" во так как> в виду пропорции Я т: ЯВ = ЯВ: ЯР треугольники ЯРВ и ЯЕТ подобны, то Л~'. Руй=,УЯ: т = ЛЯ; Я,ч и предыдущее отношение, по замене произведения РУЗ,УЯ равным ему про- изведением .ТУй. Я 1, обратитсн в такое: УБ'УВ":Я.ч. РК"; ЕВ:Я1=4РЯ: А,УЯ УВ": РЖ" во отношение и отношение Предложение 1.ХХХШ, Задача Х1.П Найти тир, с которою масса, наметенная в центре тора, нритяеивается его сеиисн~ном.
Пусть Р(аиг. 115) есть масса, помещенная,в центре шара, ВВЯЗ— сегмент этого шара, заключенньш между плоскостью ВЯП и частью шаровой псверхности ВВЯ. Пусть ЭВ пересекается с шаровой поверхностью ВГЯ, описанной из центра Р в точке Х*, так что сегмент разделяется на части ВВЕГПЯ и ТЕ06. Пусть, кроме того, эта поверхность не математическая, а аизичоская, имеющая весьма малую толщину Ь, тогда объем такого слоя ~по доказанному Архимедом) будет пропорционален РР-ЗЕ Ь.
Полож и, в виду пропорции (*) равно корню квадратному нз отношения сил в расстоиниях РЯ и 7Я. Следовательно, ординаты ВВ, а значит, и площади кривых чЖВ, коим притяжения пропорциональны, будут находиться в атом отношении. кроме того, что притяжение частиц шара обратно пропорционально и-ой степени расстояния; тогда, по предложению 1 ХХ1Х, притяжение массы Р ЭЕг ° Ъ зтим слоем будет пропорционально т. е. колнчеству 2РгР ЮРг ~ Ррг-г РЕн ~ Пусть ордипата РХ, уможенпзя пай, пропорциональна предыдущей величине; тогда криволинейная площадь, происходящая от продвижения ординаты РЖ по длине ЭВ, будет пропорциональна полной силе притяжения массы Р сегмегггон ВВЯВ. Фнг. 116. Фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
