Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 55
Текст из файла (страница 55)
1ет. Фие. 106. вленная из этих двух, пропорциональна разности этих произведений, иначе— сумме двух равных площадей сечения ва полуразгость расстояний, т. е. пропорциональна произведешпо этой суммы на расстояние р8 частицы до центра шара. Совершенно так же притяжение всех таких сечений, как ЕРи еУ, во всем шаре, т. е. притяжение всого шара, пропорционально сумме всех площадей, т. е.
массе всего шара и расстовнню у8 частицы до его центра. Случай 6. Если из бесчисленного множества частиц таких, как р, составляется новый шар, расположенный внутри первого .4ХЗР(Фиг. 107), то, подобно предыдущему, можно доказать, что притяжения как простое одним шаром другого, так и взаимное их друг другом, пропорциональны расстоянию рЯ между центрами шаров. Предложение л ХХАХ. Теорема ХХХ'ь"Ш Если плотность н прнттоипельная сила вечаества нс однородноьо тара, пыль переходе оьп сю потира к поверхности, изменяются как угодно, в равных же удалениях от мснтра повсюду одинаковы, приьняокенив жс всякой точка пронорнионалжо расстоянию притяшваемоьо тела до нвв, — 254— то я утверждаю, чпго сила, с копюрою два шара гпаюпо рода притлигвают друг друга, прогюрикональна расстоянгао между иентрами ггх.
Это предложение можно доказать, на основанив предыдущего, совершенно так же, как предложение 1 ХХЧ1 доказано ва основании 1 ХХЧ. Следстже. Доказанное выше в предложениях Х и 1Х1Ч о движении тел вокруг центра конических сечений имеет место и в том случае, когда все притяжения происходят от шаров описанных вьппо свойств и притягиваемые тела также — шары таких же свойств.
ПОУЧЕНИЕ Я дзл изложение двух замечательнейших случаев притяжения, а именно когда центростремительные силы или убывают пропорционально квадратам расстояний, или же возрастают пропорционально расстояниям. Вследствие таких притяжений, тела в обоих случаях обращаются по коническим сечениям, и полные составные притяжения тел шаровой аормы следуют тем же законам возрастания или убывания при удалении от центра, как и силы между двумя частицами, что достойно того, чтобы быть замеченным.
Разбирать в подробяостях прочие случаи, приводящие к менее изящным выводам, было бы длинно. Я предпочитаю их объять и определить все совместно следующим общим методом.'" Лепна ХХ1Х Ес.ги из иенгпра Я описагпь какой-либо круг дЕВ и из иенгяра Р— два круга ЕР и еу', пересекаюише первый в точках .Е и е, прямую же РЯ в Р и у, и на РЯ опусншть перпендикуляра ЕЗ и ед, пю я угяверждаю, что ес.ги расстояние между дугалш ЕР и еу' уменьшать до бесконечносгпн, то предееьное отношенгю исчезающих длин За и бровко отношенггю РЕ к РЯ. Ибо, если прямая Ре (ьиг.
108) пересекает дугу .ЕР в д и прямая .Ев, которая совпадает с исчезающей дугой Ее, по продолжении пересекает прямую РЯ в Т, и из точки Я опускается на РЕ нормаль ЯН„то по подобию треугольников РТЕ, МТе,ЛЕЗ будет ХН: .Ее = РТг ТЕ= 1гЕ: ЕЯ и по подобию треугольников Еед, ЕЯН (лем. Ч111 и лем. Ч11, след. 3) будет .Ее: ей =.Ее: Щ=.ЕЯ: ЯН г'О В предыдущих предложеииях учевие о притяжении шаров изложено чиото теометричееки — общий метод, иа который укачываетея в атом поучезии, примеияемый в дазьяейьзем, гоотоит в приведеиии задачи к квадратурам по перемвожевии этих пропорций получается .Пд: Рт = УгЖ г Яа откуда, по подобию треугольвиков РлчЕ и РС«Я, следует лсд гйу'= л)Ж:Яб= УЖ: РЯ.
Фаг. 1Ое. 31редложеиие У.ХХ1Х. Теорема ХХХ?Х Жели площадь ЖГе~, коей тирана Щ, уменьшаясь до бесконечносчпи, почтгг исчезаечп, описывает при своем обращенил около оси РЯ сфергсческое выпукло-вогнутое тело, и к отдельным равным его частицам наировляюгися равные центросчпремичпельные силы, то я учпверлсдаю, что зчпо чпело пгпснгягивает массу, находящуюся в точке Р, с силою, пропорцгсональиою произведению ЭЖ« ° лсг'и той силе, с которою заданная частица тела, будучи помещена в У~ иричпягивала бы массу Р.
Рассмотрим сперва силу притяжения саерической поверхности, абра- р з и Ь зуемой вращением дуги.ИГ (Фиг. 109). Пусть эта дуга пересекается прямою сге в г, тогда элемент .Жг произведет при вращении шаровой пояс, поверхвость коего Фаг. 109. при заданном радиусе РЖ пропорциовальва Рд, как это доказано лгркимедом в книге: «О игоре и цилиндреа. Силы притяжения элемевтов поверхности этого пояса, ваправлеввые по производящим казуса РЖ вли Рг, пропорциональны поверхности пояса, т. е. длине З4, составляющие же этих сил по ваправлеввю РЯ РЗ меньше самих сил в отиошениии, т.
е. зти составляющие пропгрциовальвы РЗ ° ЗА Если вообразить, что линия ЗРразделена на бесчисленное множество равных частей, из коих какая-нибудь обозначена через Зс~, го и поверхность .ЕР разобьется ва сто.ько же разных поясгв, коих сала притяжения будет пропорциональна сумме всех произведений РЗ ° За; зта же сумма равна 2 РГ' — 2 РЗ' т. е. — ЗЕь значит сказанное притяжение пропорционально ЗЕг. Кслн поверхность ГЕ умножить на высоту .Щ то получится, что првтяжение массы Р объемам ЕРеу' пропорционально ЗЕг. Щ предполагая, что когда задана частица У7, то задана и сила, с которою она действует ва массу Р, если же зта сила не задается, то притяжение тела ЕРег' будет пропорционально произведению З.Е' Рг' и той силе, с которою частица Щ притягивает массу Р.
Предложение 1ХХХ. Теорема Хг Если к отдельным частицам шауа гВЕ, коего центр Я, направляются равные центуостремительные си.гы, и к оси шауа гВ, на коек ламмт масса Р, проводягяся в пгочках З неупендикуляры ЗЕ, пересекающие поверхность шауа в Е, и ио ним огнигдываюгнся длиньг И', нуопоуииональЗЛг ° РЗ ные величине, и гзгле, с которою частггца шауа, лепсаиагя на оаг в рассгиоянии РЖ, дейсгнвует на массу Р, то я угпверксдаю, ояо полная сила нрипгяокения массы Р шаром нуопоригнтольна юощади АлгВ, траниченной осью гВ и куивою АХВ, на которой постоянно лепсигп гпочка Е.
Сохраняя обозначения и построения предыдущих леммы и теоремы, вообразя, что ось шара ггВ (оиг. 110) разделена ва бесчисленное мвоягестзо равных частей ЗЫ и что шар разделен ва такое же число выпукло-вогнутых слоев ЕЩе, и проведи перпендикуляр Ын. По предьцущей теореме сила, с которою слой ЕЩе притягивает массу Р, пропорциональна ЗЕ' ° Ру н силе притяжения одной частицы при расстоянии РЕ или РЕ Но по последней лемме имеем — 257— следовательно РЯ ° ХИ РВ ЗЮ РУ'=.Ы вЂ” ' — ' ЗР2, РЯ РЛ ЗГ' ° РЯ значит притяжшие слоя ЕРУе пропорционально величине —, „° ЗИ н силе притяжения одной частицы при расстоянии РР, т.
е. по предположению величине ЗХ ХН, представляющей исчезающую площадку ЭЛювА Следовательно, притяжение массы Р всеми с,оями пропорщюнальво сумме площадок ЭЛвИ, т. е. всей площадн А#В. евс ыо. Слсдсвнплс 1. Так, напр., если центростремительная сила к отдельным частицам одна и та же при всяком расстоянии и ордината ЭЖ борется ЗВ' РЯ пропорциональной †- то полная сила будет пропорциональна пло- РЛ спади АЛтв. Следствие Я. Кслн центростремительная сила к каждой отдельной частице обратно пропорциональна расстоянию ее до притягиваемой массы Р, ЗЬ' ° РЯ то взяв ординату ЭХ пропорционально, „— ~ получим, что притяжение массы Р шаром будет пропорциональпо площади .4.УВ.
Следсивие 3. Если центростремительная сила к каждой отдельной часпще будет обраэво пропорциональна кубу расстояния ее до притягиваемой ЭГл ° РЯ массы Р, то взяв ордннату ЭХ пропорционально,,„получим, что притяжение этой массы шаром будет пропорционально площади АХВ. Сьтдс>пвие 4. Вообще, если цонтрос>ремнтельнан сила, направляющаяся к кажлой отлсльной частице шара, обратно пропорциональна велнчи е И Л 1'.и РЯ ! н орлипата у>у>л пропорциональна ',-'--,— — --, то полное притяжение массы Р шаром будет пропорционально площади АЛс> !!реда»и>ение 1ХХХ!. Задача ХУ ! Сол1>опля предыдущие обозпичсш>л, и>р>бдс>пси измсРи>нь площадь Ав>л Фв» 1» . Из ш>чки Р (миг.
111) провов>тсв к шару касательнан РХХ из точки сл' па ось <шуапплся перпспли>!улар НТ, и,>лина уу раалеляетсв точкою Л пополам, легла будет (прелл. хи, кн. !1 элем.) УУР— УУ + сУ'- > 21>>о. Я>, по по колобов> треугольник в ИН и ХНЮ с.>г.,сО>»о, с,г следовательно 7 Е" = В(УЪ ->- Я ->- 2У)) = Т(2л В ->- 2В1>) = 2 ! Я П>, а т>пс как дя> сна я >,с Е' уяг > 2я . у,Р> уд> = 2,'Ь УР— ЛУ>> — ЛЛ ° УВ, ибо — — ! ре;л. т1, к . Идоле,.), — 259— то написав вместо РЕт вышеприведеввую раввую ему величину, получим РЕт ° И 1 2ЯЕ ЕР ]зЯ Ь П' Узя г(Ь ° ЕВ 1зз РЕ Р' РЕ. )' РЕ )' РК Р" Ксли подставить вето последвее выражение вм(стэ )г брат уювеличпву кентростремительпой силы и виесто РЖ его ве,п!чипу 'в21Ь' 1 1), то каждый иа трех члевов предыйуп(его выражении, по представлении его ордиватою отдельвои кривой, даст такую площадь, которая паходитсп по обыкновениым правилам.'ю н следоватвльно Лгч Х= и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
