Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 54
Текст из файла (страница 54)
— 249— Ибо если рассматриаать, что шар состоит как бы из бесчисленного миожестаа концентрических слоев, то притяжение каждого слоя обратно пропорционально каалрату расстояния частицы до центра шара ~пред к 1 ХХ1). Слагая, получим, что и сумма этих притяжении, т. е. полное притяжение частицы шаром, следует той же пропорции. Следсттите 1. Поэтому а равных расстояниях от цеатроз однородных шаров притяжения пропорциональны объемам этих шарон, ибо по предложению 1,ХХП, когда расстояния пропорциональны диаметрам шаров, то силы притя кения пропорцпонзльны этик же диаметрам.
Если ббльшее расстояние уменыпить и этом отношении. после чего расстояния станут разными, то сила притяятеаия увеличится а отношении, разном второй степени предыдущего, и следоаательао, притяжения шаров будут относатьсн друг к другу, нак кубы диаметров, т. е. как объемы шарон. Следстпвие л. При любых расстояниях, притяжения шаров пропорциональны объемам шаров, разделенным аа квадраты расстояний. Стедстште 3. Если частица, находящаяся ане однородного шара, притягивается силою, обратно пропорциональною квадрату расстояния до его центра, и шар состоит из притягинающнх частиц, то сила притяжения каждой частицы убывает пропорпиоаальао кеадрату расстояния до ягой частицы. Предложение ЬХХ т.
'л еорема ХХХ т' Если к отдельным точкам ваданнто шара направлнкппся равные иентпростремительные силы, убываюшие ироиюрииональко квадратном расстояний до оттек тпочек, ию я утверждаю, что любой тпакой шар ирктнэивается первым с силою, обратно ирояориа ояальною кводратпу расстпояния между иситрвми шаров. Притяжение каждой отдельной частицы обратно пропорционально каадрату ее расстояния до центра притягивающего шара (предл.
1 ХХ17) и, следоаательао, такое же, как будто бы оао происходило от одной частицы, помещенной а центре шара. Полное же притяжение всего тпара такое же, как и обратное ему притяжение сказанной частицы, если рассматривать, что оаа притягивается каждою частицею второго шара с такою же силою, с какою оаа сяиа притягизает эту частицу. Но это притяжение частицы шаром обратно пропорционально каадрату ее расстояния до центра шара, следоаательао и равное ему притяжение шаров следует той же пропорции.
— 250— Следспгтсе 1. Првтяжеввя шарами других однородных шаров пропорцвовальвы объемам'" (массам) првтягвваюсцвх шаров, разделенным ва квадраты расстояний ях цевтров до цевтров притягиваемых шаров. Следствие 2. То же самое вмеет место в в том случае, когда првтягвваеиый шар сам првтягввает. Так как отдельные его точки притягивают отдельные точки другого с тою же самою силою, с какою сами првтягвваются вмв, вбо по закону П1 во всяком првтяжеввв одинаково побуясдается как точка првтягвваемая, так в притягивающая, то в будут образовываться две взавмвые првтягательвые силы, сохраняющие ту же пропорцвю. С«гедсттсе 3. Все что было доказано выше относительно дввясеввя тел вокруг покуса ксввческвх сечений имеет место в в том случае, когда в покусе находится првтягввающвй шар в тела дввжутся вве шара. Следствие 4.
Все же доказанное отвосвтельво движения тел вокруг центра конических сечений кмеет место, когда движение совершается ввутрв шара. Предложемяе У ХХЧ1. Теорема ХХХЧ1 Гслн плотность н нриттагпельная сила вегаества неоднородною шара, нрн переходе от его ценгпра к поверхности, ивменяиппся как уюдно, в ранних же удалениях от ценгпра повсюду одни н пге же, притягательная же «ясла каждой отядельной точки убивает пропорционально квадрапгам расспюяний до притягиваемою тела, то я утверждаю, что полная сила, с которою токой шор при гпяювоет другой такой же, обратно пропорциональна квадрвпту расстояния между цени»ромк шаров.
Пусть АВ, СЭ, ВР(пвг. 105) суть какие-либо шары одвоцевтреввые в одвваковов плотвоств, тогда, прилагая ввутреввве к наружным, получви шар, плотвость вещества которого возрастает по направлению к центру, вычвтая же вх получки шар, коего плотвость убывает к цсвтру. Такие шары, каждьа в отдельвостя, по предложению 1 ХХЧ, првтггввают любые другие одвородвые шары СХ,,ХК, ХМ с свлою, обратно прспорцвсвальясю квадрату расстояввя ЯР между цевтрамв.
Слагая влв вычитал, получим, что сумма влв развссть сказанных притяжений будет ваходвться в том же отвошеввв, т. е. что полные силы, с которьшв притягиваются шары лгВ в СН, составлеввые вз сумм влв разностей ковцсвтрвческв одвородвых шаров, заходятся в сказаввом отношении. Увелвчввая число ковцевтрвческвх шаров до бесковечвостм так, чтобы плотность вместе с првтягательвою силою возрастала гге В зевоте си»вано: «нг арзаетае», что воино нерсвести и словака «врон»рви»валави обьеиаи шаров» вли «иассаи талон».
— 251— или убывайа по какому угодно закону от поверхности к центру, и заполняя материей, не обладающей притягательной силой, те места, где плотвость оказалась бы отрицательной, получим шар любого желаемого строения. Притяжение таким шаром другого, подобным же образом составлевного, будет попрежвему, ва основавии рассуждения, изло>кевпого выше, обратво пропорциональво квадрату расстояния между их центрами. Следе>и>и>е л.
Позтому, если несколько подобвого реда шаров притягиваются взаимво, то ускорительные силы притяжения каждым отдельвым шаром другого будут, в равных от центра, расстояниях, пропорциональны массам притягивающих шаров. Следси>еие Л.
При различных же расстоявинх эти силы пропорцвовальвы массам, разделсввым ва квадраты расстояний до центров. Следеииие 3. Движущие силы притяже- Я У вий, иваче †ве одного шара на другом при равных расстояниях между цевтрамв, будут пропорциовальвы произведе- г виям масс првтягиваю- н щего в првтягяваемого шара. Фиг. >оз. Следствие А При вераввых расстояниях зти силы прямо пропорпвгвзльвы сказанному прсизведевию масс и обратво пропорписнальвы квадратам расстояний. Следе>иаие б. То же самое имеет место в тогда, когда притяжевве происходит оттого, что оба шара одзревы притягательвою споссбвостью и действуют взаимво друг ва друга. Ибо притяжение будет образовываться обеими силами и пропорция останется прежней.
Следов>а>е б'. Если шары такого рода обращаи>тся около других таковых же, каждый порознь около другого ему соответствующего, ваходящегося в покое, и расстоявия между центрами шаров, покоящихся и обращающихся, пропорпвопальны диаметрам покоящихся, то времева обращения будут одиваковы. Следе>я>иле 7. Наоборот, если времева обращения равны, то расстояния пропорциональны диаметрам.
— 252— Следствие 8. Все доказанное выше относительно движения тел вокруг покусов конических сечений имеет место и в том случае, когда в покусах помещаются шары описанного выше вида и строения. Следствие 9. То же будет и тогда, когда обращающиеся тела суть также притягивающие шары описанного вида и строения. Предложение 1ХХч11. Теорема ХХХУП Если и отде,ььным точкам шаров наировляются иенгпросягремительные силы, пропорииональяые расстояниям точек до пршпяьиваемых тел, то я утверждаю, чгио полное взаилгное пригпяженгее двух гпаких шаров пропорционально расстоянию между иентроми их.
Случай 1. Пусть .4ЕВЕ ганг. 106) — шар, Я вЂ” его центр, Р— притягиваемая частица, РЯЯ — ось шара, проходящая через центр частицы, ЕЕ и еу — две плоскости, перпендикулярные к оси, равноудаленные от пентра шара и пересекающие шар, 6, д — точки пересечения оси и зтих плоскостей, Н вЂ” любая точка плоскости ЕР. Сила, с которою точка Н действует на часпщу Р, пропорциональна расстоянию РН, следовательно ее слзгающая, направленная к центру Я по прямой РС, пропоршловальна длине РС, значит притяягевие всех точек плоскости.ЕР, т. е. полная сила притяжения частицы Р этою плоскостью по направлению к центру 8, пропорциональна длине РИ, умноженной ва число точек, т. е.
пропорциональна объему цилиндра, коего основание равно ЕР и высота РС. Подобно атому и притяягенио частицы Р плоскостью е~ направленное 'к центру 8,' пропорционально произведению площади сУ' на длину 1гд, т. е. и произведению равной ей площади ЛУ на длину Рд. Сумма сил, происходящих от обеих плоскостей, будет пропорциональна площади .ЕР, умноженной на сумму Р6-ь- Рд, т. е. величине 2ЕР ХБ или (ЕР-+- ег).РВ.
Рассуждая таким же образом, получим, что силы, происходящие от всех прочих сечений шара, произведенных рзввоудаленныии от центра плоскостями, пропорциональны сумие площадей этих сечений, умноженных на расстояние РВ, т. е. пропорциональны массе всего шара в расстовнию РЯ. Случай Я. Если частица Р притягивает шар ЛЕВЕ, то рассуждая подобным же образом докажем, что сила, с которою этот шар ею притягивается, пропорциональна расстоянию РЯ.
Сьучай 3. Пусть второй шар состоит из бесчисленного множества таких частиц, как Р; так как сила, с которою каждая отдельная его частица притягивается к центру первого шара, пропорциональна пассе этого шара и расстоянию до его центра Я, то зто притяжение такое же, какое происхо- — 253— дило бы от одной частицы, расположенной в этом центре 8. Полная сила, с которою притягиваются все частицы второго шара, т. е. сила, с которою притягивается этот второй шар, та и<е самая, как если бы это притяжение происходило от одной частицы, помещенной в центре первого шара; поэтому это притяжение пропорционально расстоянию между центрами шаров.
Случай 4. Если оба шара притягивают друг друга, то н обе соединенные силы следуют той же пропорции. Случай б. Положим теперь, что частица у расположена внутри шара и1ГЗК (Фиг. 107). Так как сила притяжения частицы р плоскостью с~ пропорциональна произведению су' ру и обратно ей направленная сила притяжения плоскостью ХР пропорциональна произведению КР по, то сила, соста- Фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
