Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Когда встречаютсн подобные случаи, вхт В тексте сказано: «ос шавва согропв «в аа шавваш согропв В» — ато есть одво кв яемкогкх мест к «Началах», где тяотреолеа термкв «шавва еогроп⻠— «масса тела», ° яе просто «согро⻠— «тело», для яыражеккя того же самого кокятяя, — 244— то притяжение тед надо рассчитывать приписывая отдельным частицам соответствующие силы и составляя сумму снд. Под словом «притяжение» я разумею здесь вообще какое бы то ви было стремление тед к взаимному сближению, происходит ди это стремление от действия самих тед, которые гг.ж стараются приблизиться друг к другу, или которые приводят друг друга в движение посредством испускаемого мира, или это стремление вызывается заиром илн воздухом, или вообпге какою-либо средою, материальною иди нематериальною, заставляющей погруженные в нее тела приводить друг друга в движение. В этом же смысле я употребхяю н слово «натиск» эди «напора, исследуя в атом сочинении не виды сид и хизические свойства их, а лишь их величины и математические соотвошевия между ними, как объяснено в определениях.
Математкческому исследованию подлежат величины снд и те соотношения, которые следуют из произвольно поставленных условий. Затем, обращаясь к шизике, надо этя выводы сопоставить с совершающимися падениями, чтобы распознать, какие же условия относительно свд соответствуют отдельным видам обладающих притягательною способностью тед. После того как это сделано, можно будет с бодыпею уверенностью рассуждать о родах сид, вх причинах и хизическнх между ними соотношениях. Итак, рассмотрим, с какими силами должны действовать друг па друга тела оэерической хорны, составленные вышеуказанным образом из частиц, и какие движения от этого должны происходить. ОТДЕЛ ХП О ИРИТЯРАТЕЛЬИЫХ СИЛАХ СФЕРИЧЕСКИХ ТЕЛ Иредложение ЬХХ.
Теорема ХХХ Ясли к отделэнылг точкам сферической поверхности направлены равные нентростремитс,гьные силы, убываюибие в огпноигсяии квадрагповрасстоннпй до этих точек, то чоспгииа, '" помеибеняая внутри етой повсрх- ности, от таких сил ни в какую сторону прглгпяхсения яе испытывает, не под словом «точк~» (рпвсга) сверическоа поверхности недо разуметь бесконечно малые влемевты агой поверхноотя, причем притяжение каждым элементом вредполагается пропорциональным его площади, так что притяжения злеиеятаии, равными по площади» равны; зто н выражается слонами: «к отдельным точкам поверхвостн напрыыяются резвые центростремительные силы».
Когда же говорится о «точкзх» тела, то вако разуметь бесконечно малые элементы его объема и принимать прнтнжевие пропорциональным величине этого объема гдля оюгородвых тел). Притягиваемую массу ньютон обозначает словом «с«грассо)пш» — «тельце; в пераюде принято слово «частнца, «тело» или «масса»„причем вщо иметь в виду, что размеры этой прнтягиваеион чаотипы прщполагаются бесконечно малыми, так что при теперешней термявологви зги олова рэивоеяльны термину «материальнав точка».
Пусть НХК1 (оиг. 102) — сказанная сферическая поверхность, Р— часпща, внутри ее находящаясн; проведем через Р две прямые НК и Уло заключающке весьма малые дуги Ш, КБ; так как треугольники НРУ и У РК(лем чП, след. 3) подобны, то эти весьма малые дуги будут пропорциональны расстояниям НР и РЬ, и весьма малые части саерической поверхности, прилегающие к Ш и КБ и ограниченные прямыми, проведенными через точку Р, будут находиться в отношении квадратов длин РН и РК, следовательно силы притяжения этих малых частей поверхности на точку Р между собою равны, нбо этн силы прямо прон рциональны этим частям поверхности и обратно пропорциональны квадратам расстояний.
Зтн же два отношения по перемножении дают 1, следовательно этн притяжения, направленные в противоположные стороны, взаимно уничтожаются. Иэ этого рассуждения следует, что притяжение всей сферической поверхности, как состоящее из противоположных элементов, уннчтожаетсн, следовательно частица Р ни в какую сторону этим притяжением к движению ве побуждается.
Предложение 1,ХХ1. леорема ХХХ1 Н1пь тех же кредкололсекиях утверждаю, что частица, каходяиьаяся вке сферической поверхности, куитягивоевюя к центру сфеуи с силою, обракьно пропорциональною квадрату ее уасськоякия до цектуа сферы. Фиг. 1оэ. Пусть АНКВ, аййй (фиг. 103) — две равных саерических поверхности, описанных из центров Яи в на диаметрах АВ и аЬ, Р и р — частицы, лежащие на продолжении этих диаметров. Проведем через Р и у прямые РНК, РаЪ, Р1Й, рд, отсекающие от больших кругов АНВ и аМ равные дуги НК н йй, Л' н 11, и опустим ва этн прямые перпещикуляры ЯЭ и з4, ЯЕ и зе, Ш и й, иэ коих ЯЭ и зЫ пересекают Рл и ф в Р и 1.
Опустим также на диаметры перпевдикуляры Л~ н зо. Когда углы ЭРЕ и Ире бесконечно малые, то в виду равенств ЭЯ= ~й и ЕЯ= сз длины РЕ с РР и рс с р( и отреэочкн ЭР с эу' можно счесть эа равные, ибо предельные их отношения, прн совместном исчеэании углов ЭЕ'Е и Ире, равны единице. На основании этого будет: Р,Т: РР = В,Т: Х>У РГ: 1я = 4': ~ъ' = ЭР; й. Отсюда РУ' РУ: РР'ум = Ей-'гз= НТ: Ьг' (лом. у11, след. 3) (1) О другой стороны, РХ:РЯ=К:ЯЕ Рз: рй = зе: гй = $Е: Ьо. РЮ. рз: Р$ ° р1 = Щ: (д. По перемножении пропорций (1) и (2) получится РУЗ,РУ Рз Р~2 ХЕ РЯ ( УХХ) У() ( последнее же отношение равно отношению частей сеерическнх поверхностей (шаровых поясов), описьваемых дугами УНн Й при обращении полукругов АЕВ и айй около диаметров АВ и ао.
Силы же, с которыми отдельные элементы этих поясов притягивают к себе частицы Рн р, по предположению пропорцнональяы величине этих элементов и обратно пропорциональны квадратам расстояний до них, т. е. относятся друг к другу, как РУ' рз: РУ РЯ. Но эти силы так относятся к своим составляющим (след. П законов), направленным по прямымм РЯирзкцевтрам шаров, какРУ: Хб)и как рг': по, т. е., ввиду подобия треугольников ЕУЯ.и РЯР, ргд и узы; как РЯ: РЕ и как рз: р1'. Отсюда следует, что притяжение частицы Р к центру Я относится к притяжению р к з, как РР рУ.гз ру РР.РЯ РЯ ' рз РВ'* — 247— На освовавви такого же рассуждения и притяжевия поясов, описаввых дугами, КЬ и И находятся друг к другу в том же отвошевии рзг: I я', следовательио в этом же отвошевии будут ваходиться и притяжения всех шаровых поясов, ва которые разобьется каждая из сгьерических поверхвостей, если брать постоявво: з4=8Э и ее=8.Е.
Слагая, получим, что и силы притяжеяия упомявутых частиц Ри р целыми саерическиыи поверхностями будут находиться в том же отношении. Предложение ХХХ11. 'леорегга ХХХ11 Хелп к отдельним гпочкам кокто угодно шара направляются равные центросигремггтельнце силы, убывающие пропорниональпо квадратам расстояний до этих точек, и задается пготность шара и отноигение ею диаметра к расстоянию чостицм до ею ценгпра, гпо я угпверждаю, что частица притягг~ваегися пропорционально полудиаметру шара.
Вообрази, что две частицы, каждая в отдельности, притягиваются двумя шараии, одна — одним, другая — другим, что расстоявия частиц пропорциовальвы диаметрам соответствующих шаров и что эти шары разделены подобвым образом ва весьча малые элементарные объемы, расположенные подобвым образом относительно притягиваемых частиц; тогда отвошеяве притяжевия одной частицы к отдельяыи элепевтаи притягивающего се шара к притяжевию другой частицы к соответствуюшим элечевтам другого шара равно произведеяию прямого отяошеввя этих элементарных объемов ва обратное отвошевие квадратов расстояний до вих. Но зги элечевтарвые объемы пропорпвовальвы полвым объемам сахих шаров, т. е.
кубам диаметров, расстояния же по условию пропорциональны диаметрам, поэтому произведение вышеупомянутых прямою и обратного отношений равно отяошевию диаметров. Следспите 1. Поэтому, если частвцы обращаются по кругам вокруг шаров, состоящих из вещества, притягивающего одинаково, и расстоявия частиц до центров шаров пропорциональны диаметрам, то времена обрашевия равны. Следсиюие 2. Обратно, если времева обращения раввы, то расстояяия пропорциояальвы диаметрам.
Оба эти следствия имеют место иа оглговавии следствия 3 предложения 1ь. Сгедствие 3. Ксли к отдельным точкам двух каких угодно тел, между собою подобных, однородных и одииаковой плогвости, направляются раввые цеитростреиительные силы, убывающие пропорциовальво квадратам расстояний, то силы, с которыми втяни телами притягиваются частицы, сходственным образом расположенные, пропорциональяы линейным размерам тел. Предложение 1ХХ1П. Теорема ХХХИ1 Если к отдельным точкам какою.«ибо шара направляются равные ценжрострелштельньсе сгслы, убывающие проиорцгсоссально квадуатам уассжоянин до точек, то я утверждаю, чаю час«пни,а, находяшаяся сну«при шара, при«пи«квас«иск пропорционально ее 6 расспюягсию до центра шара. Пусть в шаре АЗСХ« (миг.
104), описанном из центра 1, помещена частица Р. Вообрази, что из центра Я радиусом ЯР описана внутренняя сеерическая поверхвость РЕДХ". Очевгцно (по предл. 1ХХ), что концентрические сеерические поверхности, из которых состоит слой АЕЗУ, представ.гяют« щий разность объемов шаров А1«СЭ и РЕБР, Фвк 104.
не оказывают ва частицу Р никакого дей- ствия, нбо нх притяжения уравновешиваются. Остается только притяжение внутреннего шара, которое, по предложению ЬХХП, пропорционально расстоянию 1К Поверхности, из коих слагаются тела, надо здесь разуметь не как поверхности чисто матеиатяческие, а как чрезвычайно тонкие счьерические слои, коих толщина как бы равна нулю, точнее говоря — как слои исчезжощей толпщны, из которых в пределе состоит шар, когда число этих слоев увеличиваетсн, толщина «ке их уменьшается до бесконечности. Подобно этому, под словом точки, из которых расснатрнваются как бы состоящими линии, поверхности и тела, надо разуметь равные между собою часпщы пренебрежимо палой величины. Предложение 1 ХХ1 ч. Теорема ХХХ1 г 11ри жех же предположениях ужвеуждаю, что частица, расположенная вне шара, притягивается с силою, обратно пропорциональною квадрату ее расспгояиия до цсжпра шара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
