Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Л", и следовательно, скорости обратно пропорциональны степени Л" ', то центростремительные силы обратно пропорциональны Л'" ', н наоборот. Следс«инке 8. Все сказанное вьппе о скоростях, временах и силах относится и к тому случаю, когда тела описывают подобные части каких- либо подобных фигур около центров, расположенных в сходственных их точках. Это следует из предыдущего доказательства, распространенного ва этот случай; надо лишь при этом виесто равномерного движения принимать равномерное описапие плошадей и вместо радиусов брать расстояния тел до цетров. Следситвие 9. Из того же доказательства вытекает, что длина дуги, описываемой в какой-либо промежуток времеви телом, равномерно обращающимся по кругу под действием заданной центростремительной силы, есть среднее пропорциональное между диаметрои круга и путем, проходимьщ тем же телом в то же время при свободном его падении под действием этой силы."' зт 06"зиачая через: я — радиус круга, з — длину дуги, т — рассматриваемый промежуток времени и р — Пептростремнтельпую силу, т.
е. ее у коренне, имеем по доказаинои теореме; где й — некоторая постоянаая. Заметив, что где « — скорость тела и — 80— ПОУЧЕНИЕ Случай, указавяыя в следствии 6, имеет место для иебесяых тел [как то иезависимо друг от друга отметили Нрги, Гуа и Галлен)', поэтому отвосящееся к цевтростремительяым силам, убывающим пропорционально квадратам расстояниЯ от центра, я решил изложить в последующем подробвее. Прв помопш предыдущих предложения может также быть выведено отношение цевтростремительвой силы к какой-либо известкой силе, напр.
к силе твжеств. Ибо если тело обращается около Земли по кругу под действиеи свлы тяжести, то эта сила и есть цевтростремвтельвая. Ее можно определить, ва освоваяви следшвия 9, по падению тел в по вреиеви оборота и величине дуги, описываемой в задаввое время. Такого рода предложевивмв Гюйгенс в превосходком своем сочияевии: «ь) е Пого1од)о озс11- 1а 1, от)оа, и сопоставил силу тяжеств с центробежными силами обращающихся тел. Все предыдущее может быть доказано и следующим образом: вообразим, что в круг вписав правильвый мвогоугольяик с любым числом сторон. Тело, при своем дзпжевии с данною скоростью по сторонам миогоугольввка при каждом из углов будет претерпевать отражение от круга; сила, с которою ово будет давить ва круг при каждом отдельном отражевии, пропорци~ пальма скорости, следовательно сумма свл в течевве задаввого времеви будет пропорцвоввльва скорости в числу отражений,4' т.
е. 1при данном числе сторон мвогоугольивка) сила будет пропорциональна длвве, описаввой в вышеуказзввое гремя, умвожеввой ва отвошевие атой двины к радиусу, т. е. будет пропорциовальяа отвгшеввю квадрата этой длгвы к радиусу; следовательво, при бесковечвом умевьшевии сторон мвогоугольвика, когда ов совпадет с кругом, сила станет пропорциональной отяошеввю квадрата где т есть время оборота, иа оориулы (с) и получим все перечисленные следствия 1 — 8.
Следствие З приведеаа, чтобы установить постоянную й в осрмуле 1О); для равномерно ускореяяого движении имеет место оориула 23 =Е ° тт, кроме того ел=зВ ° 3 при весьма малом 6; отсюда ят )гт Ф= Предполагая теперь промежуток времеви т конечным, дли свободного падения под действие» силы, коей ускорение Е, «меем 2Л = Ч ° тт, путь же Б, кройдевный равномерно по кругу в сто же время, будет Б= Р ° т, следовательно будет вообще Бт = 2ВЬ. ы Надо воображать многоугольник с весьма больжмв числом сторон, в под сжжамс «сумма сил» надо раеуисть сумму нвмевевий количества движения тала, проискодищвк в продожкеиве данково промежутка времеви.
— 81— дуги, описанной з заданное время к радиусу. Такова цеитробежвав сила, с которою тело давит на круг; ей равна и противоположна сила, с которою круг отталкивает тело к своему центру. Предложение т. Задача 1 Лрн иэввстной в любом месте сксростн, с котоуюю тело описывает заданную фтуру нод двйствнсм снл, нанравленних к ностоднному нснтру, наатн втот монтр. Пусть трн прямые РТ, Щуг, TВ (еиг. 14), пересекающиеся в точках Т н Р; касаются дюжой авгуры в точках Р, 9, В. К касательным в точках Р, ф В носставляются пер- пендикуляры, н по нии откладываются длины РА, ЯВ, ВС, обратно пропорциональные соответствующим скоростям, и через точки А, З и С проводятся, параллельно касательным прямые СЕ, РЗЕ и АЮ, пересекающиеся з точках Р и Е. Проведя рЕ н ТЗ з точке их пересечения 8 и получии требуемый центр.
Действительно, перпендикуляры, опущенные на касательную РТ в ЯТ Фиг. 14. из центра 8, обратно пропорциональны скоростяи, следовательно по построению пропорциональны дашам РЯ в (дЗ, т. е. расстояниям точки Э до касательных РТ в фТ. Отсюда легко закпочить, что точки Т, Р, 8 лежат на одной прямой.
Подобно згому н точки р, Е, 8должны лежать на одной прямой, следовательно искомый центр 8 находится в пересечении прямых ТЗ и ГЕ.ст лт Аналатнчесте решение этой ээдача своднтся к сэедующену: пусть скороста в точках Г, й, лэ соответственно суть ел, еэ, еэ н уравневня касательных е я-е-Ь и-е-ее=с ('=у, з, з» тщда коорднваты центра В($, Ч) п постоанвая площадей е определиотся нэ уравневнй (сей-+.Ь ч 4-сд ° ж=э ° 'т'с т-+-Ье (с (э Зэ Зь вырашающнх условно, что постоявная плопээдей е раева пренэведеваю кэ скорости на расстоявае ст центра до касательяой н траевторнн.
Как видно, этн ураэвеняя первой степевн стнесательно непэвествых 1, ч н е; следовательно, нх решевве не представляет аатрудвеннй. Предложение УУ. Теорема ч Есмь «ыло, обращаясь ио каков би то ни биле орбите около не«оде«- ам«по центра в пространстве, ие окаэиваюкьем сопротивления, оиисььвает в течение какою-либо весьма малоьо нромеаеутка времени весьма малую дулу, и через середину этой дува проведена стрелка, направленная и не«оде«ясному иеньпру, то иентростремителъиая сила ио середине дуьи ировциьиональиа это« сьпрелке и обратно «ро«ори«о«алька квадрату времени ее он«сания. Действительно (след.
4 предл. 1), стрелка дуги, описанной в течение задэяиого промежутка времени, пропорциояальна силе, а так как при увеличении промежутка времеви в каком- .нибудь отношении пройденная дуга Я. увеличится в том же отношении, а стрелка же увеличится в этом отношении, возвьппенном во вторую степень (след. 2 и 3 лем. Х), следовательно стрелка пропорциональна силе и ква- 5 драту времени. Отсюда следует, что оьа и. сила нропорциональна стрелке и обратно пропорцновальна квадрату времени. То же самое легко доказывается пользуясь следствием 4 леммы Х.
Следствие 1. Коли тело Р (оиг. 15), обращаясь вокруг центра 8, описывает кривую ЯРД и прямая ЕРВ касается этой кривой в точке 1; и из какой-либо точки Яэтой кривой, весьма близкой к Р, проводится прямая ДВ, параллельная БР, и на 8Р опускается перпендикуляр ЯТ, то центростремительная сила будет обратно пропорциональна предельной величине, БР' ° еТь к которой приближается количество, когда точки Р и Я сливаются между собою. Ибо ДВ равно стрелке удвоенной дуги 9Р, коей середина есть Р, удвоенная же площадь треугольника АР, т.
е. 8Р. ьдл, пропорциональна времени, в течение которого эта двойная дуга описьшается; следовательно, это произведение можно ввести в пропорп;ню вместо времени. Следствие э. Центростремительная сила обратно пропорциональна пре- 8Уь ° Рф делу количества где КГесгь перпендикуляр, опущеняый нз центра сил на касательяую РВ к орбите, ибо произведения Следствие 3. Если сама орбвта круговая влк если в точке Р проведен к этой орбите круг, имеющий с пею в этой точке одинаковую кривизну в образующий с всю вавмевьшвй угол сопрвкосповевмя (см. прим. 32), м если РК естьхорда этого круга, проведеввая через центр скл, то цевтростремвтельвая сила будет обратво пропорциональна объему ЯУт РУ, вбо РУ=.— ЯР-' ДВ ю Эта теорема н ее следствия приводит к основной оормуле, служащей для определенна иентростреинтельных сил.
Обозначая через с — постоянную плопшдей, через т — весьма мальлй промежуток времени, в течение которого тело проходит путь РЯ, и череа р — ускорение, буден иметь б)Л = — р ° сл 1 2 с . с =2ВРб) =ВР ° Ятннях ° РЯ, откуда ВРт . Ятт Вхт ° Рб)з 2ст ЯЯ =" ' ()Я =яхт. РУ' Это и сеть оормула Ньютона. Обозначим через р — радиус кривизны в точке Р п черт ю — угол РВ л; тогда, полагая Вл =р и ВР=г Р)с=засол ив р=гсоаю будем иметь: и следовательно, 2ст сл г 9 (2) рт ° 2р соа и р ° рз Впъаше! в «Месйобез бана !еа аиепсеа бп га)аепнешеваз», с. )т, р. 276, обращает внимание, что оориула Ньютона равиосизьва так вааываевой оормуле Бине, которою лнжыуются по свойству круга крввкзвы.
Слсдстиве А Прв тех же предположеввях цевтростремвтельвзя сола прямо пропорцвовальва квадрату скорости в обратно пропорциональна сказавяой хорде, вбо скорость обратно пропорцвовальва перпеядвкуляру 8У (след. 1 предл. 1). Следствие б. Таким образом, если дава какая-либо кривизна АХф м ввутря ее точка 8, к которой посгоявво ваправляется цевтростремвтельвэя сила, то можно найти закон этой свль1, действием которой тело Р отклоняется от прямолинейного пути, удерживается ва кривой в вывуждается опксывать ее.
Для этого надо вычислить влв объем, влв же объем 8Ра ° ЯТ' 8Хт ° РГ, обратно пропорцвокальвый этой силе. '- В следуюшвх задачах мы даем првмеры такого определеввя певтростремвтельвых свл. Предложение УП. Задача П теперь. В самом деле, примем точку 8 за полюс, кыуую-вибудь прямую, иаир.
оЛ, за по зврвую ось, тогда, полагая угол ЛЯР = В, будет: (бл)з 47 бь. р = г сое ю = Гз ° — ' бе > подставляя в оормулу (2), имеем Зто я есть оормуль Нике. Но так вал Ньютон, прк изложевнв еНачал», ве пользуется авалатвческой геометрией и язбегает пркиеяеввй исчислеикя олюксий, и юмором выражеиве длк крввизвы у вето имеетсв, то ов и огравичвваегся ооркулаив (16 выражая мл яропорцикмя в ве ярююдк ксзеевцяеята пропорцкоиальвосчв Зст. Тело обрацмлеяюя мо окружкости круиз; требуетсз найти замом центростремительной силы, наароелзюибейся к какой-.еибо ладанкой точке.
Пусть У9РА (аиг. 16) есть окружность круга, 8 — заданная точка, к которой, как к певтру, направляется сила, Р— движущееся по окружности тело, Д вЂ” близкое к нему место, в которое бы ово перешло, РВŠ— касательвзя в точке Р. Через точку 8 проводим хорду Р гс, проведя диаметр РА, соедявяем РА, ва 8Р опускаем перпевдикуляр ЯТ, коего продолжение пересекает касательную в точке Я. Через 9 проводим хорду ЬВ, параллельу вую РБ, пересекающую касас тельную в точке В и круг в точке л.. Из подобия треугольввков ЕЯВ, ИТР, УРА, следует ВРо: ЯТз = А Уз: РУв, по свойству же круга: ВР*= Еа ВУ„ следовательно К (бК ° ВХ ° Р ггт фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
