Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(6) По умвожевии этого ЯР' равенства ва получится" ~~ = 4Я.4.ЯР', фВ Фвг. 24. следовательно (предл. Ч1, след. 1 и б) цевтростреивтельвая сила обратно пропорциовальва 4Ял( ° Яуж, т. е. по постоянству 4Я4 обратно пропорциовальва квадрату расстоявия. ое Длв параболы вта часть Кокавательства может быть нровеиена твж в происке 4эао= сот=, =4РБ. РВ рт виР в елеиовательво — = 4РБ в1вт в, Дтч ЕБ— гяе и есть умы немку касательной в точке Р и осью. Ив треугольников РВру и Лвуу вхожи ВРУ= РЯ ° ыв о; .4Б ВРУ - вж в = РБ ° вы и =— Р 2 гке йр — главный нараметр, виачат Ртъ — — 2Р =л.
ЯЗ и ° Вуч = 2р ° ВРв = 4АВ ° ВРт. ОТт 942 — 98— Предложение ХП'. 'деорема т1 .Если несколько тел обраиьаются около обтеьо ценптра смл, причем тьенпьростремнтельные силы обратно пропоранональны квадрату расстояния до иентра, то клееные параметры орбит пропорциональны квадратам площадей, описываемых проведенными к телам радиусами в одно и пьо же время. лт Ье Теоремы предложении ХП', Хт и Хтт веносредствевно вытекают ит выражении зон ДП . ДТ~ 2Ы ь=ьл 'бт Ел 2тоЬ в которых с есть постоянная площадеэ, 2р = Х вЂ” параметр, оси еллнпсе, т — вреип оборота. Иа етих оормул следует ст 1 э=в р рва следовательно се — =ль = постоянной, и в — большая и Ь вЂ” малая полу- Следствие 1. Из последних трех предложений следует, что если какое- нибудь те.ш Р выходит из места Р по направлению прямой РВ с какою- либо скоростью и находится под действием центростремительной силы, обратно пропорциональной квадратам расстояний до центра Я, то это тело будет двигаться по коническому сечению, коего покус лежат в центре сил, и ~ аоборот; ибо прн заданных: покусе, точке касания и положении касательной можно построить лишь одно коническое сечение, имеющее в этой точке заданную кривизну.
Кривизна же найдется по заданной скорости и известной центростремительной силе: под действиеи той же центростремительной силы и при той же скорости не могут быть описываеиы две различные орбиты, касающиеся друг друга. Следсосвие 9. Если скорость, с которою тело выходит из места Р, такова, что в течение весьма палого проиежутка времеви ово прошло бы отрезок РВ, цензростреиительная жэ сила в течение того же времени могла бы заставить тело пройти путь ЯВ, то сказанное тело будет двигаться по такому коническому сечению, коего главный параметр равен предТе делу отношения при бесконечном уменьшении длин ьул и ВВ [см. +ори.
(5) доказательств предложений Х1, ХП и ХП1). В этом следствии я отношу круг к эллипсам и исключаю тот случай, когда тело падает к центру по прямой ливии. — 99— дт Параметр Х = — предполагая что точки Р и Ч (Фиг. 2Ь) слива- ()В г ются (предл. ХШ, след. 2). Но отрезочек 9Впропорциовзлевцевтростремвтельвой силе, т. е.
обратво пропорционален ЯР', следовательво— Я72 будет пропорционально ((Тв ЯР', т. е. параметр л. пропорционален квадрату площади ДТ ЯР. Следстоые. Так как ползая пло- щадь эллипса пропорциовзльна произведевию его полуосей, то ова пропорциональна произведевию корея квздратвого из параметра, умноженному ва время оборота, ибо эта площадь пропорцзовальна площади 1,(Я - ЯР, описываемой в задаввый промежуток времени, умноженной ва время оборота.
Фвг. 25. Предложение ХЧ. Теорема УП океюдв: лк е= ~/ —. С2р (пртд.Х171, ое 4пе ° ке ° де 4ке ° ав е ье еа. и евед юокглкцо е = ° а (предв. ХРР 2п в Наконец,. ее ачвк е /К Кзр о = — = — †. — (предв. ХУ1Р ЯХ У' 2 Ву лура тех же иредяололхениях уиеоерждаю, мао времена оборотов мо 3 оллмисам отиосятся между собою, ка» больиеие полуоси о стеаепи — ° Так как малая ось есть среднее пропорциовальпое иежду большою осью и параметром, то произеедевие осей пропорциовальво корню из пара- 3 метра и большой оси в степеви — > во это же произведение пропорцио- 2 велько (Х1Ч, след.) корню квадратному из параметра, уюзожеввому ва время оборота; во сокращевии корпя вз параметра останется, что врелш 3 оборота пропорциовальыо степеви — большой осв.
2 Следствие. Отсюда следует, что времена оборотов по эллипсам равны временам оборотов по кругам, коих диаметры равыы большим осям эллипсов. Предложение ХУл. 'Реорема кШ При жеа исе иредиолонсениям, если перев месизо жела на ело орбите провести и ней касательную и опустить на нее иг фокуса перпендикуляр, и~о скорость жела прямо и) окоримональна корню квадратному ив параметра орбита и обратно ирокормиональна этому перпендикуляру. Коли из ~окуса опущен первеы- У двкуляр ЯУ (Фиг.
26) ыа касательную РЛ Я к орбите, то надо доказать, что скорость р тела будет обратно пропорциоыальва Т 8Г' корню квадратному из величивы —- л. Скорость эта пропорциональна 3 весьма малой дуге Хф, описываемой в заданный весьма малый промежуток Фкк. зс. времени, т. е. (лем.
7П) пропорциоыальва касательной РВ, а так как РВ: Ял = БР: Ял' то скорость пропорпиоыальыа величине, во 9У-8Рпропорционально мл ° 8Р площади, описываемой в заданный промежуток времени, которая (предл. Х17~ пропорцкоыальыа корею квадратвому из параметра. Следствие А Главные параметры пропорциоыальвы квадрату произведения скорости ыа перпендикуляр ЯУ. Следствие й. Скорости тел в их ваимевьшем и наибольшем расстоявиях от Фокуса ыаходктся в обратном отношении расстояиий до Фокуса я в прямом отвошевви корвей квадратыых из параметров, ибо при этих положевиях тел перпевдикуляры ыа касательные и суть самые расстояиия тел до в окуса. Следствие Э. Следовательыо, прв дзижевви тела по коническому сечеивю, скорость в наибольшем вли ваимевьшем расстоявии от ~окуса отвосится к скорости дзвжеввя по кругу, радиус коего равен этому расстоявию, как корень квадратный из параметра относится к корню из диаметра круга, т.
е. к корню из удвоенного расстояния, упомянутого вышетн Сяедсвьвие 4. Для тела, обращающегося по эллипсу, скоросп в среднем расстоянии от ьокуса та же самая, как и для тела, обращающегося по кругу того же радиуса, т. е. (вредя. 1Ч, след.
6) обратно пропорциональна корню квадратному из расстоянвя, вбо дтя этих положений перпендикуляры разны длине малой полуоси, которая есть среднее пропорпиональное между большою полуосью и полупараметром; произведение корня из параметра на обратную величину перпендикуляра и дает величину, обратную корню из расстоявиятк Следсвгсие б. Для той же кривой или даже для различных кривых, но у которых параметры равны, скорость тела обратно пропорщзональна расстоянию от еокуса до касательной.
Спедспьсме 6. Для параболы скорость обратно пропорциональна корню квадратному из расстояния тела до фокуса, для эллипса она изменяется более, для гиперболы — менее, нежели в эт'ом отношении. Ибо (лем. Х1Ч, след. 2) для параболы перпендикуляр, опущенный из еокуса на касательную, пропорционален корню квадратному из расстояния.
Для гиперболы перпендикуляр изменяется менее, для эллипса — более, нежели этот корень.ж Х ю Так как т = — т где г есть расспжнне теса до центра, прк двпженяп же по кругу тз в том же расстоянян должно быть (оз 9= т зо тХ 'Ро == 4т' Прн прозожденкя через главные вершины, скорость е, пря двяжеввп по жжвческому сечению, есть „ /Х 42Р с=" 2 г отсюда ет ке = 42Р ° 42г.
Зт В этом соучае 31 = Ь, сзедоватезьво „ /2Ьз /Х 421 уХ Уо тт д. Х 42Р /Х С а = (то (прк т'=а). 2 Ь у/ 2 Ь ж В лемме Х(У покзаано, что перпевднкузяр на касатезьвую к парабоас БЖ=43л БР=-, 4яр р° 4г, 2 где 2р — параметр я т = БР. Дзя аззвпса перпевднкузяр язмевяется между предезамя в -т- с в а — с нзн 'между предеззмв а (1-т-е) и н (1 — ей н значат,отнопнжке накбозыпего его — 102— Следствие г.
Для параболы скорость тела в каком-либо расстоянии от вакуса относится к скорости тела, обращающегося в том же расстоявив по кругу„как У2 относится к 1. Для эллипса это отношение менее, для гиперболы — более. Ибо по следствию 2 этов теоремы скорость в вершине параболы находится в этом отношении, по 6-му же следствию этой теоремы и по 1 редложевию 1У это отвошевве сохраняется для всех расстояви11. Таким образом для параболы скорость повсюду равна скорости на круге половинного расстояния, для эллипса скорость менее, для гиперболы — более.ю Следсемаме 8. Скорость тела, обращающегося по любому коническому сеченвю, так относится к скорости обращения по кругу, радиус которого равен половине параметра сечения, как этот радиус относится к перпендикуляру, опущенному из вакуса на касательную к сечению.
Явствует из следствия о. Сюгдсмгаме й. Так как (яредл. 1У, след. 6) скорость обращения по упомянутому в предыдущем следствии кругу находится к скорости обраптения но 1 -+. е авачевия к наименьшеку есть, где с=ае — оксцевтряситет аллипса. Это есть нкесте с тем 1 — с 1 ю е /1»- е и отношевие наибольшего расстанная к наименьшему, и очевидно, гто ) зуг —, 1 — е у 1 — с т. е.
перпеядануляр изменя»тек а более шнронах пределах, в»жгли корень кз рзсшанння. Для гиперболы перневднкулар остается всегда «онечныи, расстояние же мажет измеваться до бесконечности. аз Скорасть при двюкавия по коническому сечению нырзжаетск (прим. 49) оормулою Дли параболы: ох = оХ= — ~'Хр Ь1»., 2 и следовательно, снорогаь о=112 = = »12 ро — »»м Ъ~г где 1те — скорость движения по кругу н расстоянии г. Скорость южжевия врн норзболе более скорости дниженяи по аллин»у в кевее, нежели по гвперболе 1см. доказательство предл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
