Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Затем надо 5. Зак. 3350 Иредлоикеиие ХХ. Задача ХП Нрм заданном фокусе мосьчроикеь коническое сечение, мрокодяибее через заданные стопки млм касаюибееся данныи ио мояожению мрямаке м модобное данному. Случай 1. Прв даевом искусе Я (еиг. 32) требуется построить кривую АВС, проходящую через две даввые точки В и С. Так как зта кривая долясва быть подобна данной, то взвество отношение ее главной оси к расстояввю между искусами. В атом от- М кошевая возьми длины КВ а к ВЯ и Т,Ск СБ, опиши два круга, и к общей к вим к..сательвойщ КХ, проведи Фиг.
За через Я перпевдикуляр Я6 и рас.еки его в точках А и а так, чтобы было 6А:АЯ= 6а:аЯ=КВ:ВЯ; по оси Аа и вершинам А, а строй кривую, ова и есть искомая. Пусть Н есть второй искус построеивой кривой; так как 6А:АЯ= 6а:аБ то будет в ~6а — 6А): (аБ — АБ) = 6А: АЯ, Аа:ЯНии 6А:АЯ т. е.
аа В леиме Хлу покаэако, что геометрическое место оснований перпендикуляров, опущеиаых иа еокуса иа касатехьяые к параболе, есть касатехьваи в ее иершиие, отсюда сеедует, что геометричсское место точек р; симметричвых с еюкусощ егвоситеэьио касатеаьвой есть каоравхяющая параболы. ьт Зта примак есть вапраивпоптая эллипса ихи гиперболы. Звая еокус и иапращщющую и писучим кривую, провести врямую,УГ," которая илв касается обоих кругов Р6 и уу, когда даны две точки Р и р, или проходит через точки Р" и о, когда девы две касательвых ТВ в Фг, или которая проходит через точку Г в касается круга Р6, когда давы точка Р и касательная ТВ.
На прямую РХопускается перпевдикуляр ЯХ и разделяется в точке К пополам. По оси ЯК и вершине К строится парабола, которая и есть искомая. Ибо такая парабола по равенству ЯК и ЛГ, ЯР и УР проходвт через точку Р, и по равевству БТ и 1 Р'в по перпевдикулярвости ЯТ и ТВ касается (леаь Х1У, след. 3) до прямой ТВ. — 109— т.
е. отношение большой оси к расстоянию между еокусаьш будет заданное, и следовательно, построенная кривая будет подобна данной, и так как отношении КВ: ВЯ и 1 С: СЯ равны предыдущему, то эта кривая пройдет через точки В и С, как это следует из учения о конических сечениях. Саучай 2.
При заданном юокусе Я (ювг. 33) требуется построить кривуго, касающуюся прямых ТВ и Ег и подобную давней. Из юоггуса на касательные опускаются перпендикуляры ЯТ и Б и продолжаются до лги у так, чтобы было Тгг= ЯТ и ьи = Яс. Череа середину О прююй РЪ проводится к ней перпендикуляр ОН, неопределенно продолженный, продолженная прямая ГЯ рассекается в точках К в й так, чтобы было угК: КЯ = 1'7с: )сЯ = а: с где а есть длина главной оси искомой » кривой и с — расстояние между еокусаии ее. На диаметре Кй строится круг, '" пересекающий ОНв точке Н, после чег» по юоггусам Я н Н и главной оси )гН сь строится кривая, которая и будет искомой. Ибо, если разделить Кй в точке Х пополам, и провести НХ, НЯ, Нуг, Нп и так как по построению Ф г. зз. )гК: КЯ = ггус: 1сЯ следовательно и (угК УЪ)г(КЯ -йЯ)=(1 й — Л?);(йЯ вЂ” КЯ) 2РХ: 2КХ= 2КХ: 2ЯХ ггХ: НХ = НХ: ЯХ т.
е. иначе то треугольники угХН в .ВХЯ подобны, и следовательно, будет У11: ЯН= Р'Х: Х71 = УК: КЯ т. е. отношение главной оси вековой кривой к расстоянию между рокусами как раз требуемое, а так как, кроме того, )гН и еН равны между собою ео Точки е и У врииэдлежат ваправляюплеву иругу, следовательво еоиус Н лежит яа перпевдивуляре, иоссгавовлеввои иэ средины хорды «У.
Кроме того, таи иаи отиоюеяве расстояний точки Н до точеи о и У должво быть равно отвоюевию с: о, т. е. эадаво, то точиа Ндолжва левгать ва круге, востроеввом ва Хй, иая иа диаметре, ибо этот круг есть. гсомегричесиое место таких точек; отсюда и следует построеяие, даииое в теис*с. и главной оси, прямые же Р8 и с8 разделяются перпендикулярами к внм ТВ и уг пополам, то проведенная кривая касается этих последних (лем. Х т). Случай 3. Прн заданном еокусе надо построить такую кривую, которая касалась бы прямой ТВ в данной точке Я (миг. 34) н была бы подобна данной кривой. На прямую ТВ опускается перпендикуляр 8Т и продолжается до Гтак, чтобы было ТГ= 8Т. Неопределенно продолженная прямая Р8 рассекается в точках й и К так, чтобы было ГК: 8К = Г7с: 8Ь = а: с.
На диаметре Кк описывается круг, " пересекающий продолженную прнмую УгЯ в точке Н. По +окусаи 8 н Н н по главной оси Х'Н строится крнван, которая и будет искомой. Ибо из пропорции (в), подобно тому как при доказательстве второго случая, следует пропорцня У'Н:8Н= УгК:8К=а.'с показывающая, что кривая Фаг. 34. подобна заданной„ и так как прямая ТВ разделяет угол У'Я8 пополам, то она касается кривой в точке В. Случай 4.
При заданном еокусе 8 (+иг, 35) требуется построить кривую АРВ, которая касается прямой ТВ, проходит через точку Р, нележащую на этой прямой, и подобна данной кривой арЬ, коей главная ось аЬ и еокусы г и Ь. На касательную опускается перпендикуляр 8Т н продолжается до точки Гтак, чтобы было ТУд=8Т, и строят<ж углы Ьзд и зйд, соответственно равные углам УУ8Р и 8РР.
Центрам д и радиусом, который так относится к аЬ, как 8Р к Уг8, описывается круг, пересекающий кривую арЬ в р. Соединив зр, проводят 8Н так, чтобы было сс точна Уг приваддежвт направлеющену кругу, авачит второй еокус Н лежит на привод Гль. Крове того„отнощение УгН: НН= а: е, т.
е. постоавное, следовательно точна Н лежит и на круге Хй, отсюда и следует построение, данное в тексте. — 111— .и чтобы угол РЯН= рзЬ и гЯН=узз, после чего по еоьусам Я и Н и главной оси АВ, равной РН, н строится кривая, которзяи естьвскомая. Ибо, если провести зз так, чтобы было и чтобы угол озр = Ьзд и ззЬ = вмь тогда треугольники ззЬ и зуд и У$Р и Ьзд будут подобны и будет оЬ: во = зЬ: зз = РЯ: ЯР= ай: рд, Фнг.
35. следовательно Далее по подобвю треугольввков ТЯН н тзЬ будет РН: ЯН = иЬ: зЬ = ай: зЬ, т. е. отношение оси РН к еокусному расстоянию ЯН построенной кривой равно таковому же отношению для заданной арй, следовательно эти кривые подобны. Кроме того, кривая АРВ пройдет через точку Р, ибо треугольник РЯН подобен треугольнику рзЬ, а так как ТН равно главной осв и рЯ вЂ” 112— перпевдикуляриою к вей ТВ разделяется пополам, то ТВ касается построеввой кривой.ас Лемма ХЧ1 ХХз трех заданных точек провести и четзергяоб незаданной три юрямые так, чтобел их разности были или заданные, или розны нулю. Случаи .л.
Пусть А, В, С(Фяг. 36) — три заданные точки и Я вЂ” искомая четвертая. Так как разность ВŠ— АЯ задана, то точка Я будет ваходиться ва гиперболе, коей Фокусы суть А и В и коей ось равна сказаввой разности. Пусть эта ось есть луХЖ. Возьмем точку Р так, чтобы было РМ: ЭХА = ЛХВ: АВ; восставь перпевдикуляр РВ и проведи ЯВ перпекдвкулярво к РЧ., тогда по свойству гиперболы будет Кроме того, точка Я лежит и ва другой гиперболе, коей Фокусы суть А и 0 и главвая ось коей равна разФиг.
36. ности СŠ— Щ следовательво, можво провести прямую (1о перпевдикулярво к АС, подобно тому как проведева прямая РВ, т. е. что расстояние точим Я гиперболы до этой прямой едЯ будет находиться в постояввом отвошевии к расстоянию этой точки до Фокуса, т. е. будет ж Аг=(СК вЂ” а~: АС; ев Точка У приидлзежит ианравляющему круту, следовательно второй еокус Н лежит ва круге, описанном иа точки У, как центра. ясли вообразить, что построен треуц льиик БедР, подобныо УБН, так, чтобы угол прн Р был равен углу при У и, аначвт, Бйн БН=БР. "БУ= ьзР: УН то в этом треугольнике стороны БЯ и ГЗР будут остааатыя постояннымн, когда точка Н будет перемещаться по кругу, вместе с тем угол УБН будет равен углу ОБР следовательно, если точку Я соединить с Н, то полученные треугольник НБО будет подобен треугольнику УБР.
Ньютон в строит сперва треугольник лжь подобный БНО, тогда точаа р, сходственная с точкою Р, должна лежать ва круге, описанном иа Ч, кая на центра, радиусом БР чр =аь БУ и ка ааданноа кривой. После того как ета точка р, сходствевяая с точюио Р, в аваева, нскомая крююя строится беа всяких аатрудвевиа. Как видно, ре|певие этой аадачи ныполннется прн помощи пересечения круга и кривой второго порядка, т. е. вообще циркулем и лииеакои невыпаавимо. — 113— во величива СЯ вЂ” АХ задаввзя. Следовательво, будут извествы отвошевия ХВ и Я8 к АЯ, а значит, и друг к другу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
