Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Х1 1Г1» следовательно крятерни орбит суты е 1о Парабола — = тГ 2 1а Гипербола — ) Х 2 11ж 1"е= — ' Х вЂ” пастовввая, определяюпгая »абсолютную силу центра». какому-либо кругу в обратном отношении корней квадратвых из расстояний, то отвошеиие скорости обращеивя по копвческому сечеиию к скорости обращения по кругу в том же расстоянии равно отвошеияю средней пропорвиоиальиой между этим общим расстоянием и половиною параметра к перпевйвкуляру, опущеввому из покуса ва касательиую к коиическому сечению. Предложевие ХтП. Задача 1Х 11редполатал, что центростремительная сила обратно пропорциональна квадратам расстояний мест до центра и что абсолютная величина этой силы известна, требуется найти кривую, которую опишет тело, выходящее иг ладанното места с паданкою скоростью.
Пусть тйентростремительная сила, вапраэлеввая .3 к точке Я(аиг. 27), такова, р что тело р, обращаясь по .'Х а зздаввой орбите рй, имеет у известную скорость в задаввой точке р. Из места Р по направлению РВ выходит другое тело Р, вмея задаииую скорость. Цеитростреьштельвая сила уклоияет его от прямой РВ и заставляет двигаться по ковическому сечению РЯ, которое касается прямой РВ в точке Р. Пусть прямая рт касается орбиты ро в точке р; если вообразить первеидикуляры, опущенные из точки 8 па касательную рк и РВ„то (вредя. Хт'1, след.
1) параметр искомого сечения ваходится к параметру задазвой орбиты в отношении квадратов пропзведевий скоростей и перпевдикуляров, следовательно этот параметр определится.ы Пусть Ь есть параметр искомого сечения; сверх того, для этогосечеиия известев и ао44ус 8. Дополнение угла Вал до двух прямых будет З« Задание орбиты, описываемой телом, точки иа ией и скорости в этой точке определяет «абсолютную силу центра», как то следует из оориул, приведенных в примечании 49 и выражающих урэиненияия выскаазниое в «манилах» проперциями и словамв. Как покааано в прп- ст мечании 49«величина — » где сесть постоянная площадей н зр-параметр орбиты есть величина и постов виан, поэтому, обозначая, как в тенете, через Х -параметр поповой орб4»тьь через «и Н- скорость и длину перпендикуляра из еокуса ва касательную н через й с, И вЂ” ы4о4з»етстяуюптяе «зНл сзйк величины хлв данной орбты, будем иметь пропорцию — = —, из которой и вай- Х дется Х.
угол ЛРН, следовательно будет известно положение прямой РН, на которой находитсн второй фокус Н. Опустив из оокуса Я на РЫ перпендикуляр ЯК, вообразим, что построена малая полуось ВС. Кроме того, будет ИР = 4 СН' = 4БН» — 4ВС» = БХм — 2 КР РН-»- РН' = =(ЯР-»-РН)» — Х (ВР-»-РЫ) =ЯР' -+- 2БР РН-»-РЫ' — Х,(ЯР-»- РН). Отсюда следует Х, ° (БР-»- РН) = 2ВР РН-»- 2КР РН иначе (ВР-»- РН): РН = 2 (ВР -»- КР): Х следовательно РН будет известно как по величине, так и по положению. Затем, если окажется, что скорость тела в точке Р будет такова, что параметр Х будет меньше, нежели 2(БР»- КР), то ХН расположится по ту же сторону от касательной РЛ, как и прямая ХВ, в значит, искомзя кривзя будет эллипс, который и определится по оокуса»» В и Н и по большой оси ВР-»-РН.
Если же скорость тела будет такова, что параметр Х окажется равным 2(БР-»-КР), то длнна РН будет бесконечной, п следовательно, кривая будет параболой, которой ось ИХ параллельна РК и, следовательно, известна. Если же тело выходит из точки Р с еще большею »жоростью, то длину РЫ придется откладывать по другую сторону касательной, и тогда окажется, что касательная проходит между еокусамн, т. е. кривая будет гиперболой, коей действительная ось равна разности БР— РЫ и, значит, будет известна. Если тело будет двигаться по коническому сечению, определяемому как здесь показано, то в предложениях ХХ, Х11 и ХП1 доказано, что центростремительная сила будет обратно пропорциональна квадратам расстояний тела до центра сил Я и, следовательно, кривзя ХЛ представит действительно ту, которую тело будет описывать под действием сказанной снлы, выйдя из заданной точки с заданной скоростью.
Следстопе 7. Таким образом для всякого конического сечения по заданной главной вершине З, параметру Х и покусу Я второй фокус Ннайдется взяв ЗН: ЗЯ = Х: (4ЗЯ вЂ” Х) ябо пропорция (БР-»- РН): РЫ = 2 (ВР-»- КР): Х з рассматриваемом случае, т. е. когда точка Р находится в З, будет (ЗБ -»- РН): ЗН= 4 ЗЯ: Х вЂ” 105— из которой следует РЯ г РН= (4Р — Р): Х. Следсгявие 2. Отсюда следует, что если задается скорость в главной вершине Р, то орбита находится проще, а именно взяв параметр так, чтобы его отношение к удвоенному расстоянию РЯ было равно квадрату отношения заданной скорости к скорости обращения по кругу в расстоянии РЯ (вредя. ХУ1, след.
3), затем определив РН по пропорции РН: РЯ = Ъ: (4РН вЂ” Ъ). Сяедсиюие 8. Если тело, двнжу|цееся по коническому сечению, будет сбито с своей орбиты каким-либо натиском, то можно определить ту орбиту," по которой оно будет затем продолжать свой путь. Ибо, совокупив количество движения, которое тело имело, с тем, которое ему сообщено натиском, получим количество движения, которым тело после натиска будет обладать в даннои месте по направлешпо заданной по своему положению прямой. Сгсдсгявие 4.
Если же тело непрерывно возмущается какою-либо внешнею силою, то его путь может быть найден приближенно, определяя те изменения, которые производит сила в каках-либо точках и рассчитывая изменения для промежуточных мест по ряду проперций. ПОУЧЕННЕ Если тело Р под действием центростремительной силы, напрзвлеввон в данную точку В (евг. 28), движется по периметру какого-либо заданного конического сечения, коего центр есть С, и требуется найти закон центростремительной силы, то надо провести прямую СС, параллельную радиусу ВР и пересекающую касательную РС в С, тогда искомая сила (Х, 1 и поуч.
ССл и тП, 3) будет пропорциональна — , Зз В этом следствии и в следующем униюывается общий код расчета (но крайней мере числового) возмущения, ороиэводиного, наврт вланетой на комету, т. е. кааим образом во вроизводвмому изменению сюрости во величине и навравлению и изменением воложавяя тела определять иэманения элемевтов орбитьь Дальнебглее развитие этого расчета дано в примечании Пб в изиде наумов иввги. — 106— ОТДЕЛ 1УУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ, ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ОРБИТ ПРИ ЗАДАННОМ ФОКУСЕ" Лемма ХУ Волго из обоих фокусов Б и В эллипса или гипеуболы провести к какой-либо точке лг две прямые Ягг и В)У, кз коих вторая равна оливкой осы кривой, ю. е.
юои, на которой расположены фокусы, и из середины Т псялвой пуямой Я))г восстивитнь к ней перпендикуляр ТВ, юо он будет касаться кривой, и наоборот, если этою перпендикуляр касается кривой, юо Ву уавно клавкой отз. л' Пусть пересечение перпенднкуляра с прямою В'г (аиг. 29) или ее продолжением есть В, проведем ЯВ; по равенству ТБ = Т)г будут равны и длины ЯВ в В ~' и углы ТВБ и ТВ Р; следовательно точка В лежит на коническом сеченив и пернекйикуляр ТВ касается этого сечения, н обратно. Предяожение ХТШ.
Задача Х тури заданных фот1се и длине элавнов оси построить эллипсы и ьииербагы, проходящие ч»уеэ данные юочки и касающиеся данных прямых. Пусть Я(аиг. 30) есть дэянып покус, Л — длина главной оси, Р— точка, через которую кривая должна проходить, и Т — прямая, которой онадолжна касаться. Центром Р и радиусом, равным Л — ЯР для эллипса и хВ-о-ЯР зо Этот отдел и следующий — чисто геометрические и заилючжот в себе решение задач об определеяяи конических се«сини по данным их точкам или касательным. В предложении ХЬ1 третьей книги, в к«гором изложен способ определения орбит комет, Нькнон говорит« «я пробовал решать разными способами зту зайачу, которая весьма *рудна, для э*ого я и решил задачи, приведеяные в первой иннге, ио вате»г я пришел к более простому решению, излагаемому киже».
Такик образом же содержащееся в отделах 1Ч и Ч не находит дальнейших непосредственных вриложеннй в «Началах», и зти два внодяые отдела, представляя интерес с точки зрения геометрии, не представляют такового для механика или ««1зики. Приводя решение этих задач, Ньютон всегда поступает таш он описывает то построение, которое для решения э»дачи следует выполнить, и затем, предпослав нраву: «йсо уаствш»вЂ” «утверждаю сделанное», доказывает справедливость даваемого им решения.
Анализа задачи, ярнводящего к описываемому построению, ие дается. Лт Эта лемма включена, ионы«иному, потому, что у Аполлония дается совершенно иной способ построенвя касательной, яе пользуясь сзойствамя покусов и заправляющего круга. Для лальнейшях задач необходимо посгояяво иметь в виду, что геометрическое место точек Уг для вллипса и гиперболы есть круг, описанный вз другого покуса Н, как яз центра, радиусом, равяым дляво главной оси (направляющий круг). 1'еоиетрическое вес~о ~очек т есть также круг, описанный ва главной оси, как на диаиетре; ато последнее свойство указано в теоремах 49 п бс книги П1 Аполлояия. для гиперболы, проводится круг Н6. На касательную ТВ опускается перпендикуляр $Т и продолжается до Ктак, чтобы было ТР'= $Т.
Точкою Г как центром, и радиусом .5В описывается круг РН. Таким образом, когда задано дзе точки Р и р илн две касательные ТВ и й., или же точка Ри касательная ТЛ, то будет проведено два круга. Пусть Н вЂ” их пересечение; по еокусам $ и Н и динке АВ главной осн и строится кривая, которая Фиг. зо. и есть искомая. Ибо зта кривая (так как $Р-+-РН для эллипса и НР— $Р для гиперболы равно ося) проходит через точку Р, по предыдущей же лемме она касается прямой ТВ. Рассуждая подобным же образом, покажем, что она проходит или через обе точки Р и р, нли будет касаться двух прямых ТВ и й . Предложение ХлХ. Задача Хд Нри данном фокусе определить параболу, проходящую через заданные яеочки или касающуюся заданннх прямых.
Пусть $(еиг. 31)искус, Р— точка, Т — касательная к искомой кривой. Центром Р и радиусом Р$ описывается круг Р6, из еокуса на касательную опускается перпендикуляр и продолжается до Р" так, чтобы было Т к = $Т. Подобвыи же образом надо построить и второй круг 9, когда дана другая точка р, или вторую точку с, когда дана другая касательная зс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
