Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Рду и РВ параллельны лйС (еиг. 39), РЯ и РТ параллельны 4В, и, сверх того, пусть и стороны лдС и ВЮ параллельны между собою, Прямая, разделяющая пополам эти параллельные стороны, разделит пополам и Яду; пусть О есть середина ВО, тогда РО будет ордикатою при этом диаметре. Если продолжить РО до точки К так, чтобы было ОК= ОР то ОК будет также ординатою при том же диаметре. Так как точки л1, В, Р, К находятся ва коническом сечении и РК пересекает .4В под постоянным углом, то, по предложениям 17, 19, 21 и 23 книги 1П Аполловиевых конических сечений, отношевзе РЯ ЯК к .сЦ ° оуВ будет постоянное." Но ОК= РВ, ибо взяв почлевно разность равенств ОК= ОР и 09= ОВ получим ОК вЂ” ОЯ = ОР— ОВ ф .22.
получим Р итал=Ам ° РВ = —. А Д|елая получим х=о е' угу = — Рр ° СХ= —, отиошевие угуз:х,ля =А: С. Если переносить оси паусжлельво, то ии А, ив С ие меняются. и значит, отпошеиие рассматри- ваемжк проивведевий стрелков остается восгояавым. Ет Для «руга зти пуоизведеиня, как отрезков хорд, будут мевсау собою равны; спуоектиууем зтот квуг ва ялосиость, получитси злюшс, отрезки лорд умиожатся па псстоявзые миожителз, зиачит отвошеиие пуоизведевий, бывших для крута раввымв, станет постоянным.
Жели вместо пРоекций взять перспективу, то легко убедиться в спрзв<дливости вгвго свойства и для любого «оиического сечевия. Авалитически зто свойство доказывается также весьма просто: пусть Ахт -е- 2Вху -+- Сут -и- 2Юх .+. 2ЛУ -г- Ег = О ионическое сечеиие, отнесенное. напр., к осям $В и Рм'. Делая у=о — 118— следовательно произведения РД. ДК= Р9. 1'В, поэтому произведение Р~ .
РВ находится в постоянном отношения к произведению А9 9В, это же последнее раино РВ. РТ. Случай 2. Когда протявоположные стороны четырехугольника АС и ВЭ (оиг. 40) между собою ве параллельны, проведи Ва параллельно АС, и пусть точки ее пересечения с прямою БТ н с кривою суть 8 и а. Про- Фиг. 4Ь Фиг. 40 веди: Со, пересекаюп4ую РЯ в г, н ИХ, параллельную Рьи и пересекаюп4ую Са в М и АВ в Х Тогда, по подобаю трехугольников ВЛ и ВВХ.
будет по замене Вэ' равной ей РЯ: Р9: Т8 = ЗХ: ХВ; также, заменив АЯ разной ему РБ, будет Вг: РЯ = 41М: АХ По перемножении этих пропорций, получитсн Р1„4 ° Вяч1 Тэ' ° РЯ = ВХ 101: ХВ ° А.Х. По доказанному для случая 11) будет Щ ° Рг: РВ ° Р4=Т4Х ВМ:ХВ ° АХ. Вычитая, получим РЯ ° РВ:РБ РТ=ЭХ РМ:ХВ ° АХ=постоянной. Пвучай 3. Наконец, если все четыре прямые РД, РЛ, Ж', РТ(фиг. 41) ве параллельны сторонам АС и АВ, яо наклонены к ннм под каким-либо — 119— углом, проведи Е'у, Е'г параллельно АС и ЕЬ, РЬ параллельно АВ; так кэк в среугольниках Рс'.)у, РВг, Рй, 1Т! угп с будук постоянные, то н отношения сторон РьЕ к Е31, РВ к РГ, Р8 к Рз и ЕсТ к Ет' будут постоянны, следовательно будут постовнны и отпошсонн РД ° РВ к 1!1 ° Рг и 18 ° РТ к 1й РФ, по доказанному же вьппе отношение Е!Е ° Езс". ЕЪ Р8 постоянное, следовательно постоншсо и отношение РЯ ° 1'В к РВ.
РТ. Лемма Хч'Ш 11ри тех же предположениях, если произведения отрезков РЯ ° РВ и РВ ° РТ, заключенных между точкою Р и сторонами четырехусолькнка АЛСЕс, находятся в настоянном откосаекии, то точка Р лежит на коническом сечении, описанном около этоса четырех- е уюлькика. Вообрази, что через точки А, В, С, Э ! юпь 42) и какое-нибудь одно из оесчисленного множества поло кенвй точек 1', скажем р, проведено коническое сечение; п утверждшо, что точка Р лежит на нем.
! й;ли отрицаешь, соедини А1', которая ~огда пересечет это коническое сечение х' в наной-.шбо другой точке, а не в 1', ска- н ;кем в Ь. Следовательно, если из точек р иЬ провес пс к сторонам четырехугольника под Фиг. за ээдавньиш углами прямые рсЕ, рг, рэ, р~ н Ыс, Ьк, ЬЕ; ЬИ, то будет Ыс ° Ьи: ЬЕ' Ы = р!! рг: рз ° р! = РС ° РВ: Р8 ° РТ.
11о подобию же четырехугольников ЫсАЕ' и 1ЯАВ: Ьй: ЬЕ'= Еф: 1'8 и следовательно, по разделении предыдущей пропорции на эту, будет Ее,: Ы = РВ: РТ следовательно четырехугольники ЗиЫ и РКРТ, коих углы равны, будут подобны, и поэтому их диагонали Езй и ЕзР должны совпадать. Следоватольно, точка Ь упадет в пересечение прямых АР и РР, т. е. совпадает о точкою Р. Таким образом, где бы ни была нанта точка Р, удовлетворяюпсап условипп теоречы, она упадет на проведенное коническое се"ение. Следсяюие.
Если три прямых РЯ, РВ, Р8, проведеяпые из какой-либо точки Р к заданным по положению прямым АВ, СЭ и АС под давпыми углами,,'каждая к каждой таковы, что отношение произведения Рч. ~В к Р8' постоянное, то точка Р, из которой прямые проводятся, находится на коническом сечении, касающемся прямых АВ и СЮ в точках А и С, и обратно. Ибо если прямая ВЗ будет приближаться к совпадению с АС причем положение трех прочих прямых АВ, СЭ, АС сохраняется, то отрезок РТ будет приближаться к совпадеввю с РЯ, и произведение РЗ ° РТ обратится в 1%', прямые же АВ и СЭ, которые пересекали кривую в точках А и В, С и З, при совпадеиии этих точек уже не будут секущими, а обратятся в касательные.
ПОУЧЬВВВ Словам «коническое сечение» в предыдущей лемме придается швроквй смысл, т. е. в вих включаются как прамолияейяые сечеяия конуса плоскостью, проходящей через вершиву его, так и круговые его сечеккя плоскостью, параллельною основанию. Действительно, если точку Р взять я» примой, проходящей через А п З или С и В, то коническое сечение обратятся в две прямые, из которых одяа есть та, ва которой берется точка Р, другзя же есть та, которая проходит через прочие две точки. Если сумма двух противоположных углов четырехугольника равна двум прямым углам и ливии Рф РВ, Р8, РТ проводятся пли перпепдвкулярно, итя, вообще, под одним и тем же углом к сторонам, п произведевия Р~ ° РВ и Р8 РТ равны,то сечение будет круг. То же самое будет и в том случае, когда эти четыре пряиые проводятся под какими угодно углами и произведение двух отрезков Р~ и РВ так относятся к произведеввю РЯ и РТ двух других отрезков, как произведение синусов углов В и Т, ями составляемых с соответствующими сторонам, относятся к произведевию сивусов углов В п ф составляемых первыми.
В остальных случаях пестом точек Р будет служить одна из тех трех кривых, которые обыкновенно называются коническими сечениями. Вместо четырехугольника АВСЭ можно брать и такой четырехугольник, коего стороны между собою пересекаются ва манер диаговэлей, Наконец, из четырех точек .А, В, С, Э одна пли две могут уделяться в бесконечность„. в атом случае стороны фигуры, сходившиеся в этих точках, становятся между собою параллельными в коническое сечение, проходя через прочие точки, удаляется в бесковечность в направлеппи параллельных сторон четырехугольника.
— 121— Лемма Х1Х Найти званую точку Р, нз которой волн провести четырв правых РС, РЯ, ХБ, РТ каждую соответственно нод заданным уыюм и одной нз чвтырех данных но ноложвнню прямых АВ, СЗ, .4С, ВЭ, то произвсдсння Щ ° РЯ и РВ РТ находнлнсь бы в данном отношении. Пусть првмые 4В н СЭ (аиг. 43), к которым проводятся отрезки Еф п РЯ, образующие одно из произведений, пересекаются с двумя другими даннымв прямыми в точках А, В, С, Э. Через которую-нибудь вз этих точек А проводится произвольно прямая АН, на которой желательно чтобы лежала точка Р, пусть эта прямая пересекает соответственно ВЭ в Е3, СЭ в ,7; так как все углы н авгуры заданы, то будут извесзны з отношения Р~ к РА и РА к ХЯ, следовательно и отношение Рй .
- Р~: к РЗ. Разделяя яа это отношение '- - - З т" заданное отношение произведений 3 у РС, ° РЯ к Ж. РТ, получим отно- з / шенпе РЯ к РТ; тогда, зная отношение Р,7 к РЯ, РТ к РН, найден л отношение Р7 к РН, а следовательно, и точку Р. 4 з Слсдствнз 1. К геометриче- Фин 43. скому месту точек Р можно построить и касательную в какой-нибудь данной точке, напр. Э. Ибо, когда точки Р и Э, по приближении друг к другу, сливаются, т.
е. когда прямая 4Н проходит через точку Э, то хорда РЭ обращается в касательную. Предельное отношение исчезающях длин 7Р и РН найдется для этого случая попрежнепу, поэтому если провести прямую СРпараллельно 4Э в расстояяие СР разделять точкою Я в вышенайдезном предельном отношении, то Э.Е и будет требуемой касательной, нбо СРи предельное положение УН парзллельны и разделяются в точках Р и Е на части пропорциональные.
С.зедствие .з. Поэтону геометрическое место точек Р может быль определено следующим образом: через которую-нибудь иэ точек 4, В, С, Э, напр. А (аиг. 44), проводятсп касательная ХЕ к искомому месту и через другую точку В проводится прямая ВГ, параллельная касательной, и по — 122— лемме Х1Х находится точка Р, в которой она пересекает место. Гели, разделив ВГ в точке 6 пополам, провести прямую А6, то Вйз будет хордою, сопряженною с диаметром А6. Пусть прямая А6 пересекает место в точке Н, тогда длина АН будет Л6' АЛ длвною диаметра. соответствующий еиу параметр есть „° Если А6 не пересекает места, т.
е. длина АН бесконечна, то место точек Г есть В6а парабола, и ее параметр при диаметре А6 будег — . А6 к КОГда же ггрямая А6 пе1гесекает место, го оно будот гиперболого, если точки А и Н располагаются по одну сторону от В6, и эл.гипсом, если точка 6 лежит между А н Н. Если, кроне того, угол А6В прямой и то получится круг. В этой лемме, как видно, изложено решение задачи древних о четырех линиях. Задача эта была предложена Эвклиоом, продолжена Ано,зданием, и такое решение, как приведенное вьппо, т. е. исполняемое геометрическими со- Фпг.
44. наставлениями, а не аналитическизг расчетом, и изыскивалось древ- Лемма ХХ ЕЗ Как уже уюшпнуто в примечании 66, ииенпо зту задачу взял Декарт нак пример приложения алгебраического способа решения геометрических нопросов. Объяснив по~ г роение «орней квадратного уравнения,он говорит. евое задачи элементарной геометрии могут быть решены, делая .шшь зтп немногие построении, объясвенные в предыдущих четырех примерах.
Мне кажешься, что зто не было замечено древники, пбо опи не стали бы затрачивать труд на писание стольких толстых «ннг, в которых с гмый норидон предложений поназывает, что они не нлгеюг истинного сиособз, ~тобы пх нсе находить, а что оип собирали лишь те предлоясения, на ноторые случайно нападали». Ньютон ставил геометричесное рассуждение гораздо выше алгебраического, и весьиа возможно, гто его замечание относится к зтии словам Декарта, хотя са» ньютон большую часть своего сочинении «Агггьшеггса пгггтег*апзо посвящает решеикю геометрических вопросов прп помощи алгебры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
